Risque microéconomique, aversion à l incertitude et indétermination de l équilibre

ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 48 1997 Rique microéconomique, averion à l incertitude et indétermination de l équilibre Jean-Marc TALLON* RÉSUMÉ. Cet article e propoe d étudier le propriété d un modèle d équilibre général en préence de rique purement microéconomique lorque le agent e comportent elon le modèle d utilité epérée au en de Coquet (Coquet expected utility), i.e., il maximient une epérance non-additive d utilité. Cette formaliation repréente un comportement reflétant un certain peimime, ou encore de l averion à l incertitude. Sou l ypotèe qu il exite un certain conenu dan l économie, nou montron que le agent aurent totalement à l équilibre, que l allocation d équilibre et indéterminée, et que l enemble de allocation d équilibre croît avec le degré de peimime. Micro-Economic Rik, Uncertainty Averion and Indeterminacy ABSTRACT. Ti paper tudie te propertie of a general equilibrium model wit purely microeconomic rik, in wic agent beave according to Coquet expected utility (i.e., tey maximize a non-additive expected utility). Ti formalization repreent a beavior exibiting uncertainty averion or peimim. Under te aumption tat tere i a minimal conenu in te economy, it i own tat agent are fully inured at an equilibrium, tat te equilibrium allocation i indeterminate, and tat te ize of te equilibrium et increae wit te degree of uncertainty averion. * J. M. TALLON : CNRS-MAD, Univerité de Pari 1. Je tien à remercier deux rapporteur anonyme pour leur commentaire.

1 Introduction Cet article étudie le implication de l ypotèe d epérance nonadditive d utilité (ou utilité epérée au en de Coquet) ur le propriété d un modèle d équilibre général avec incertitude microéconomique. Cette repréentation de préférence de agent a été propoée dan de contexte aez différent par SCHMEIDLER [1989] (dan l incertain) et par QUIGGIN [1982] (dan le ca du rique) 1. Le but de ce téorie alternative et de éloigner de l ypotèe d utilité epérée et de paradoxe qui en découlent en propoant une formaliation dan laquelle le croyance de agent ne ont plu repréentée par de probabilité (additive), mai plutôt par une capacité (c et-à-dire une meure non-additive). La téorie propoée par Scmeidler part du contat que, dan un environnement incertain, le agent tendent à préférer le ituation dan lequelle il poèdent une information ur la probabilité d occurence d un évènement (comme par exemple dan le paradoxe d Ellberg). Ce comportement uggère que le agent économique cercent à éviter le ituation dan lequelle il font face à une certaine ambiguité; en d autre terme il ont adveraire de l incertitude. La modéliation propoée dan la littérature récente ur la téorie de la déciion dan l incertain permet d étudier ce comportement. Cette repréentation de préférence de agent cange le propriété de l équilibre d un modèle d équilibre général. Nou nou concentron donc ur un modèle d équilibre général à deux période, dan lequel exite un rique individuel en econde période. L averion de agent enver l incertitude et repréentée par l ypotèe elon laquelle il maximient une epérance nonadditive d utilité, ou plu préciément, qu il ont un enemble de croyance a priori (additive) et qu il évaluent l utilité d une perpective aléatoire par l utilité epérée minimale de celle-ci. Dan ce ca de figure, il et montré, ou l ypotèe qu il exite un minimum de conenu entre le croyance de différent agent, que ceux-ci aurent totalement à l équilibre, oit, en d autre terme, qu il conomment le même panier de bien dan le différent état de la nature. Ceci n et vrai dan le modèle avec croyance additive que i le agent ont exactement le même croyance. En econd lieu, le allocation d équilibre ont indéterminée, contrairement au modèle avec croyance additive. De plu, lorque l averion à l incertitude augmente (dan un en que nou précieron dan la ection 4), l enemble de allocation d équilibre croît. L intuition ou-jacente à ce réultat et que l averion à l incertitude introduit un coude dan le courbe d indifférence, au point de certitude. Cette non-différentiabilité et introduite au traver de croyance (reflétant un comportement d averion à l incertitude), et n et pa uppoée ur l indice d utilité, qui repréente le préférence de l agent dan le certain. 1. WAKKER (1990b) montra par la uite que ce deux approce ont en fait formellement identique, i l on admet que la dominance tocatique et repectée. 212

En conéquence, le préférence de agent ne ont pa lie, ce qui explique l indétermination de l équilibre. En effet, l environnement et par ailleur tandard et le réultat d unicité locale de l équilibre de DEBREU [1970] appliquerait i le croyance étaient additive. L article et contruit de la manière uivante. La econde ection préente le modèle et quelque réultat ur la fonction d utilité de agent, néceaire pour l étude de propriété d équilibre du modèle. Ce dernière ont regroupée dan la ection 3, où il et montré que, ou l ypotèe d un conenu minimal, le agent aurent pleinement et que l allocation d équilibre et indéterminée. Cette ection comprend également une repréentation grapique intuitive de ce pénomène. La quatrième ection contient une dicuion de l effet d un accroiement du peimime ur l enemble d équilibre. 2 Le modèle et la repréentation de préférence de agent Nou conidéron une économie d écange à deux période, avec incertitude en econde période, dan laquelle le agent maximient une epérance non-additive d utilité. H conommateur ( = 1;... ; H), conomment C bien (c = 1;... ; C) dan l état, 2 = f1;... ; Sg en econde période 2. Il et poible d écanger tou le bien contingent en première période. De manière alternative, il erait poible de uppoer l exitence d un ytème complet de marcé financier 3. Ce deux formulation ont équivalente, et nou nou concentreron ur la première (qui et plu imple du point de vue de notation à adopter). La conommation de bien par le ménage dan l état et notée x (), pour = 1;... ; S. Le prix de bien contingent à et noté p(). Le ménage poède de dotation dan caque état, e (), et nou retreindron notre attention au ca de rique purement individuel (rique microéconomique), c et-à-dire qu il n exite pa de rique agrégé. De plu, nou uppoon qu il exite bien un rique individuel intrinèque, excluant aini l ypotèe de tace olaire (étudiée dan TALLON [1995a]). L ypotèe uivante reflète ceci : HYPOTHÈSE 1 : P P H Rique microéconomique : =1 e H () = =1 e ( 0 ) pour tout ; 0. Pa de tace olaire : Pour tout ; 0, il exite tel que e () 6= e ( 0 ). 2. On uppoe donc, eentiellement par ouci de garder de notation imple, que le agent ne conomment pa en première période. 3. On pourrait également uppoer l exitence d un fond mutuel d aurance, comme dan MALINVAUD (1972) et CASS, CHICHILNISKY et WU (1996). RISQUE MICROÉCONOMIQUE 213

P Soit e la dotation agrégée (contante pour tou le état de la nature), i.e., e () = e pour tout. Le préférence de l agent ont repréentée par un indice d utilité u et une meure de probabilité non néceairement additive. Une telle repréentation de croyance peut provenir d axiomatiation différente. Nou nou contenton d une brève dicuion de certaine de ce axiomatiation et renvoyon le lecteur aux article de yntèe de KARNI et SCHMEIDLER [1991], MUNIER [1995] et KAST et LAPIED [1995] pour une analye plu complète de développement récent de la téorie de la déciion. Leur but commun et d aboutir à une éparation entre la repréentation de l attitude d un agent enver le rique (ou l incertitude) repréentée par e croyance, de celle de e préférence dan le certain repréentée par l indice d utilité u. Dan le ca du rique (c et-à-dire lorque tou le individu connaient la vraie ditribution de probabilité de état), QUIGGIN [1982] et YAARI [1987] ont propoé la téorie de l utilité epérée dépendant du rang (Rank Dependent Expected Utility), elon laquelle le agent tranforment le probabilité objective avant de calculer leur utilité epérée. WAKKER [1990b] montra par la uite que cette formulation et un ca particulier de la repréentation de croyance par une meure non-additive. SCHMEIDLER [1989] montra que, dan un environnement incertain, le croyance peuvent être repréentée par de meure non-additive (ou capacité). La non-additivité de la meure reflète l attitude du décideur enver l incertitude, c et-à-dire enver le fait qu il ne connait pa la vraie probabilité d apparition de état, et n a qu une information limitée du proceu générant ce état (i celui-ci exite). Récemment, GHIRARDATO [1994] a propoé une axiomatiation différente de croyance non-additive. Dan on modèle, le agent penent ignorer certain apect de l epace de état de la nature, qui ont important pour calculer la conéquence de leur acte. Il ont donc concient de ne pa avoir tou le tenant et le aboutiant de conéquence de leur acte. Dan ce cadre, la non-additivité de croyance reflète cette ignorance (voir aui JAFFRAY et WAKKER [1994]). L une ou l autre de deux première interprétation et compatible avec le modèle préenté ici. Un agent peut connaître la probabilité objective qu il tombe malade mai tranformer la fonction de ditribution de cette probabilité. Alternativement, un agent peut avoir peu d information en ce qui concerne a probabilité (aini que celle de autre) de tomber malade, auquel ca e croyance ont repréentée par une meure non-additive. Afin de repréenter formellement le croyance, définion 6 = 2, et uppoon que le croyance de l agent ont caractériée par : 6! [0; 1], ur laquelle on fait le ypotèe uivante : HYPOTHÈSE 2 : Pour tout ménage, (;) = 0 et () = 1, Monotonie: Pour tout E, F 2 6, E F =) (E) (F ), Convexité: Pour tout E, F 2 6, (E [ F ) + (E \ F ) (E) + (F ). Sou le deux première ypotèe, et appelée une capacité. 214

Le réultat uivant (propoition 1), démontré dan GILBOA et SCHMEIDLER [1994] par exemple, era utilié dan le rete de l article. Il permet de caractérier l epérance d une variable aléatoire elon une capacité, connue ou le nom d intégrale de Coquet. Définion d abord l intégrale de Coquet (dan le ca d un nombre fini d état de la nature, S). Soit une capacité et f une variable aléatoire ur S, telle que f(1) f (2)... f (S). L intégrale de Coquet de f elon et définie par : Z fd = S01 ((f;... ; Sg) 0 (f + 1;... ; Sg))f() + (S)f(S) =1 Définion maintenant le noyau (core) d une capacité (que nou noteron Core()) : Core () = f' j ' et une meure de probabilité additive et, '(E) (E) 8 E 2 6g PROPOSITION 1 : Suppoon monotone, alor et convexe i et eulement i (i) Core () 6= ; (ii) Pour toute variable aléatoire f ur S, R f d = min '2Core() R f d': La notion de convexité d une capacité a une interprétation naturelle lorque celle-ci repréente de croyance : i le décideur et peimite, e croyance eront convexe. En effet, en prenant le minimum de toute le epérance (additive), le décideur e comporte de manière peimite puiqu il anticipe que l incertitude (repréentée ici par le fait que le noyau ne e réduit pa à une eule meure additive) e réoudra en a défaveur. Pour un traitement formel de la quetion, on pourra e reporter à WAKKER [1990 a] 4. De manière imilaire, DOW et WERLANG [1992], reprenant SCHMEIDLER [1989], définient ( ; E) = 1 0 (E) 0 (E c ) comme étant le degré d averion à l incertitude de en E, E c étant le complément de E. Cette meure repréente l écart de la capacité par rapport à l additivité en E. Cet indice et toujour poitif pour de meure convexe, et et toujour égal à zéro pour une meure additive. Le préférence d un agent ont donc repréentée par une fonction d utilité U, qui exprime comme l epérance de l indice d utilité u par rapport à la capacité, i.e., (en upprimant l indice pour alléger le notation) : U x(1);... ; x(s) E u(x(:)) = min '2Core() S '()u(x()) =1 L ypotèe uivante ur la fonction u era maintenue dan tout l article. 4. Voir aui la dicuion de la propoition 3 dan YAARI (1987), aini que KARNI et SCHMEIDLER (1961), p. 1805-1807, CHATEAUNEUF (1991). RISQUE MICROÉCONOMIQUE 215

HYPOTHÈSE 3 : u : R C +! R et trictement concave, différentiable et trictement croiante pour tout. De plu, fx 2 R C +ju (x) = cg et fermé dan R C ++. Ceci ignifie, en particulier, que le réultat que nou obtiendron ne ont pa le fait de préférence dan le certain particulière, mai découlent bien de la modéliation de croyance adoptée. Sou l ypotèe précédente, la propoition uivante et facile à démontrer : PROPOSITION 2 : Sou le ypotèe 2 et 3, U et concave ur R SC +. Démontration : Evident car U et le minimum de fonction concave. 3 Finalement, on peut oberver que U, étant un minimum de fonction, n et pa différentiable, même i ce fonction le ont. En particulier, elle n et a priori pa différentiable aux point de certitude, c et-à-dire le point où x() = x( 0 ), pour tout ; 0. C et la raion pour laquelle le réultat de DEBREU [1970] (elon lequel, génériquement, l équilibre et localement unique) n et pa vrai dan notre économie : le préférence ne ont pa lie. 3 Aurance complète et indétermination de l équilibre Dan cette ection, nou montron que, ou une ypotèe de conenu minimal, l allocation d équilibre et telle que caque agent et parfaitement auré. Nou établion enuite le réultat d indétermination de l allocation d équilibre, et en donnon une interprétation grapique. Commençon par définir la notion (uuelle) d équilibre retenue. DÉFINITION 1 : (p? ; x? ) 2 R+ CS 2 R+ CSH et un équilibre i : Pour tout et étant donné p?, x? et une olution au programme max U ((x (1);... ; x (S)).c. p? ()x () = p? ()e () P x? () =P e () pour tout. Un équilibre exite dan cette économie ou le ypotèe faite cideu. Nou établion maintenant que ou l ypotèe 4 d au moin une croyance additive commune de agent ur la réaliation de tout état du monde, le agent aurent totalement à l équilibre. HYPOTHÈSE 4 : Il exite une meure de probabilité ' 2 \ Core( ) telle que '() 6= 0 pour tout. 216

PROPOSITION 3 : Suppoon le ypotèe 1, 2, 3, et 4 atifaite. Alor l allocation d équilibre et telle que x () = x ( 0 ) pour tout et tout ; 0. Démontration : Soit x? = (x? 1 ;... ; x? H ) une allocation d équilibre. Suppoon qu il exite 0, et 0 tel que x? 0() 6= x? ) (pour 0 (0 implifier, et an perte de généralité, on uppoe P x 1? (1) 6= x? 1 (2)). Soient S ' 2 \ Core( ) vérifiant '() 6= 0 pour tout et x = =1 '()x? () pour tout. Nou montron maintenant que l allocation x domine au en de Pareto l allocation d équilibre x?. Obervon tout d abord que l allocation x donnant x à caque agent dan caque état et réaliable : x = = '()x? '() () e () puique x? () = e () = e puique e () = e et '() = 1 Maintenant U (x ;... ; x ) = u (x ). Du fait de la concavité de u : U (x ;... ; x ) Puique ' 2 Core( ), on obtient alor : '()u (x? ()) U (x ;... ; x ) U (x? (1);... ; x? (S)) pour tout De plu, pour le premier ménage, on a, puique '() 6= 0 pour tout, x? 1 (1) 6= x? 1 (2), et u 1 et trictement concave : u1(x1) > P '()u 1(x? 1 ()), d où U1(x1;... ; x1) > U (x? 1 (1);... ; x? 1 (S)) Aini, l allocation d équilibre x? et dominée au en de Pareto par l allocation réaliable x, ce qui contitue une contradiction au premier téorème du bien-être, qui et vrai dan cette économie. En conéquence, à l équilibre, x () = x ( 0 ) pour tout ; 0 et tout. 3 A l équilibre, aucun agent ne upporte plu de rique. Si le agent ont peimite, l aurance totale peut être obtenue même il ont de croyance différente, tant que celle-ci ne ont pa trop différente. Ce réultat d aurance complète, n et vrai, dan le cadre uuel d epérance d utilité avec fonction d utilité différentiable, que i le agent ont tou le même croyance (additive). On voit d ailleur que la condition il exite ' 2 \ Core( ) de la propoition e réduit, dan le ca additif, à = ' pour tout, où ' et une meure additive ur S. Comme on l a vu dan la démontration ci-deu, toute le allocation d équilibre ont Pareto optimale, puique le premier téorème du bienêtre et vérifié dan cette économie. Cependant, la propoition uivante montre qu il exite (au moin) un continuum d équilibre i l interection de différent noyaux de croyance n et pa vide mai recouvre de RISQUE MICROÉCONOMIQUE 217

croyance uffiamment différente (dan le en préci de l énoncé de la propoition). PROPOSITION 4 : Suppoon le ypotèe 1, 2, 3 vérifiée. S il exite ' et ditincte, appartenant à \ Core( ) et telle que (i) '() 6= 0 et () 6= 0 pour tout, (ii) pour tout p 0, p P '()e () 6= p P ()e () pour au moin un ménage, alor l enemble de équilibre contient un continuum d allocation. Démontration : On normalie le prix de manière à ce qu il appartiennent au implexe. Soit un équilibre (p? ; x? ) de l économie dan laquelle tou le agent ont le même croyance additive, ' 2 \ Core( ) avec '() 6= 0 pour tout. Nou montron que cet équilibre et un équilibre de l économie d origine (celle dan laquelle le ménage ont le croyance ). En premier lieu, x? peut être aceté aux prix p? par le ménage. De plu d aprè la propoition 3, nou avon que x? () = x? (0 ) pour tout ; 0. En econd lieu, nou devon vérifier que ce panier donne le maximum d utilité à lorque e croyance ont. Suppoon qu il exite un autre panier x, 0 pouvant être aceté au prix p? et tel que U (x 0 ) > U (x? ). Alor, min 2Core( ) ()u (x 0 ()) > min 2Core( ) ()u (x? ()) = u (x? ()) puique x? () et contant ur le état de la nature. Ceci implique, en particulier, que '()u (x 0 ()) > u (x? ()) = '()u (x? ()) ce qui et une contradiction au fait que x? et une allocation d équilibre aux prix p? dan l économie '. Aini (p? ; x? ) et un équilibre de l économie d origine. Nou montron maintenant qu un équilibre de l économie ' (l économie dan laquelle tou le agent ont le même croyance additive ') et naturellement relié à un équilibre de l économie an incertitude (appelon-la l économie ' réduite) dan laquelle le agent réolvent le problème : max u (x ).c. epx = ep '()e () Plu préciément, i (ep; ex) et un équilibre de l économie ' réduite, alor (p? ; x? ) et un équilibre de l économie ', avec p? () = '()ep pout tout, et x? () = ex pour tout et tout. Pour cela, il faut vérifier en premier lieu que x? aini défini, vérifie le condition de premier ordre de l économie ' (celle-ci ont uffiante ou no ypotèe) : '() @u (x? ()) @x c () =? pc? () pout tout et c 218

Cette égalité et vraie étant donnée la définition de x? et p? et puique : @u (ex ) @x c = e ep c pout tout c Il uffit alor de coiir? = e pour que le condition de premier ordre de l économie ' découlent de cette dernière égalité. En econd lieu, nou montron que x? vérifie la contrainte budgétaire au prix p? : p? ()x? () = '()epex = epex = = ep'()e () p? ()e () Enfin, il et évident que x? vérifie le condition d équilibre ur le marcé i ex le vérifie. On remarquera que p? appartient au implexe i ep y appartient également. Montron maintenant qu un équilibre de l économie ' réduite, précédemment décrite, ne peut être un équilibre de l économie réduite, dan laquelle le agent maximieraient : max u (x ).c. px = p ()e () i ' et vérifient notre ypotèe (ii). On note le variable d équilibre de l économie ' réduite avec un e et celle de l économie réduite avec un. Suppoon ex = x pour tout. Obervon que, étant donné que u et trictement croiante pour tout, le prix ont trictement poitif à l équilibre de économie ' et réduite. Il vient alor de condition de premier ordre : ep c ep c0 = p c p c0 pour tout c; c 0 et donc, du fait de la normaliation adoptée, ep = p. On a alor : 8 >< >: epex = ep px = p ex = x 8 ep = p '()e () 8 ()e () 8 =) ep '()e () = ep ()e () 8 ce qui contitue une contradiction à l ypotèe (ii). Un équilibre (ep; ex) de l économie ' réduite n et donc pa un équilibre de l économie. RISQUE MICROÉCONOMIQUE 219

Nou avon aini montré qu une allocation d équilibre de l économie ' réduite et différente d une allocation d équilibre de l économie réduite. De plu, nou avon que ce allocation ont également de allocation d équilibre de l économie d origine (plu exactement, (x? () = ex ) H;S =1;=1 et une allocation d équilibre de l économie originelle). Aini, ou no ypotèe, il exite (au moin) deux allocation d équilibre dan l économie originelle. Nou montron maintenant qu il en exite un continuum. Core( ) et convexe pour tout. L interection et donc convexe : i ' et appartiennent à T Core( ) toute le meure () = ' + (1 0 ) appartiennent également à cette interection pour 2 [0; 1]. De plu, i le condition (i) et (ii) ont vérifiée par ' et, elle le ont également par le deux meure () et ( 0 ), 6= 0. En conéquence, à cacune de ce meure correpond (au moin) une allocation d équilibre différente. En concluion, l enemble de allocation d équilibre contient un continuum de point. 3 La propoition ci-deu appelle quelque remarque. En premier lieu, ce réultat n et pa trè urprenant étant donnée la non-différentiabilité de fonction U. Cependant, l intérêt de la préente approce et de montrer que cette non-différentiabilité provient de l averion à l incertitude (peimime) et non d une non-différentiabilité de la fonction u, ce qui emblerait plu difficile à jutifier et à interpréter. D un point de vue tecnique, la condition (ii) n et qu une condition uffiante. En fait, il uffit qu elle oit vérifiée uniquement pour tout ep, prix d équilibre de l économie ' P réduite. Par ailleur, il uffit que l on ait '()e () P ()e () pour au moin un ménage pour que (ii) oit vérifiée. Aini, dan le ca d un bien et deux état (c et-à-dire dan le cadre de l exemple développé grapiquement ci-deou), la condition (ii) et automatiquement vérifiée, du fait de l ypotèe d abence de tace olaire, dè l intant où il exite deux meure ditincte ' et appartenant à T Core( ). Enfin, il et clair que la econde partie de l ypotèe 1, elon laquelle il exite bien un rique microéconomique intrinèque, et néceaire pour que (ii) puie être atifaite. L intuition du réultat d indétermination de l équilibre e repréente aiément dan une boîte d Edgewort. On uppoe ici qu il n exite que deux état ( et ) en econde période, et qu il n y a qu un eul bien. La boîte et carrée, reflétant aini le fait qu il n exite pa de rique agrégé, et le dotation initiale e ituent en deor de la diagonale. Sur ce grapique, le agent ont de croyance identique quant aux état et, repreentée par la capacité () = 1=3 et () = 1=3. Dan ce ca, la pente d une courbe d indifférence en un point ur la diagonale et (1 0 ())=() = 2 i x() x(), et ()=(1 0 ()) = 1=2 i x() x(). La courbe d indifférence de paant par x et indicée par u, et celle paant par x? par u.? Le allocation d équilibre ont celle ur la diagonale entre x? et x. Pour tout point entre ceux-ci, la pente de la droite budgétaire appartient à l intervalle défini par le taux marginal de ubtitution à gauce et celui à droite (évalué en un point ur la diagonale) de deux agent. Le réultat obtenu et donc un réultat d indétermination de l allocation d équilibre : la propriété d unicité locale de l équilibre n et pa vérifiée 220

GRAPHIPHE 1 Indétermination de l équilibre puiqu il exite (au moin) un continuum d équilibre. Un autre modèle dan lequel on obtient une indétermination réelle et celui de marcé financier incomplet avec actif nominaux. Il convient toutefoi de ditinguer la ource de l indétermination obtenue dan le préent modèle de celle rencontrée dan la littérature ur le marcé incomplet (voir, e.g., TALLON [1995b]). Dan ce dernier ca, l équilibre et indéterminé lorque le agent ne peuvent aurer contre une différence de taux d inflation entre le état. La ource de l indétermination et à recercer dan la tructure de marcé financier (marcé incomplet) et la forme de actif préent dan le modèle (actif nominaux). Ici, l indétermination explique par le fait qu à caque meure additive (partagée par le agent) correpond une allocation d équilibre différente, et qu un continuum de ce meure et admiible pour repréenter le croyance de agent. Aini, ce ont le croyance de agent et non de imperfection de marcé qui créent cette indétermination. Comme dan tout modèle dan lequel l équilibre et indéterminé, il manque un mécanime de élection permettant de déterminer l équilibre effectivement réalié. Ceci pourrait conduire à introduire dan le modèle une variable de tace olaire, qui ervirait de mode de élection de l équilibre. Une certaine volatilité erait aini introduite (voir par exemple la dicuion de tace olaire dan un modèle de prix d actif avec epérance non-additive d utilité dan EPSTEIN et WANG [1994]). Le principe de la démontration de la propoition 4 permet également d établir que le enemble d équilibre de deux économie différant par RISQUE MICROÉCONOMIQUE 221

le croyance de agent ont une interection non vide (i le croyance (non-additive) ne ont pa trop différente). Soit E l économie caractériée par le croyance ( ) H =1, le utilité (u ) =1 H, et la répartition de dotation. 5 e, et oit E 0 l économie caractériée par le croyance () H 0 =1, le même utilité (u ) =1 H, et la même répartition de dotation. PROPOSITION 5 : Suppoon que le ypotèe 1, 2, et 3 ont vérifiée. S il exite une meure ' 2 \ Core( ) i T \ Core() i 0 telle que '() 6= 0 pour tout, alor, l enemble de allocation d équilibre de l économie E et celui de l économie E 0 ont une interection non vide. Démontration : Soit ' une meure additive appartenant à Core( ) i T \ Core( 0 ) i. Par le même raionnement que celui utilié au début de la démontration de la propoition 3.2, il et clair que l allocation d équilibre de l économie dont tou le agent ont le croyance additive ' et une allocation d équilibre de économie E et E 0. 3 Cette propoition montre donc que tant que le croyance de agent dan le deux économie conidérée ne ont pa dijointe, le enemble d équilibre ne le ont pa non plu. Trivialement, i \ Core( ) i T \ Core( 0 ) i contient au moin deux meure (additive) vérifiant le condition (i) et (ii) de la propoition 3.2, alor l interection de enemble d équilibre contient un continuum d allocation. \ 4 Peimime et degré d indétermination Nou nou concentron dan cette ection, ur le lien entre le degré d averion à l incertitude et la taille de l enemble d équilibre. Nou préenteron dan un premier temp une approce trè imple, étudiant une économie dan laquelle tou le agent ont le même croyance, qui prend la forme d une capacité imple (voir DOW et WERLANG [1992] et EICHBERGER et KELSEY [1994]). Nou étendron enuite cette approce au ca général. 5. Nou cangeon un peu le notation adoptée juqu à préent : e repréente dorénavant une répartition de dotation initiale, i.e. e 2 R CSH +, et non plu le vecteur agrégé de dotation dan caque état. 222

La capacité imple que nou conidéron pour commencer et obtenue de la manière uivante : oit ' une meure additive, et un paramètre dan [0; 1]. La capacité imple et obtenue en augmentant uniformément le degré d averion à l incertitude de ' (l averion à l incertitude étant identiquement nulle pour une meure additive). On poe alor (S) = 1, et (E) = (1 0 )'(E) pour tout E 2 6 n S. Ce capacité ont le propriété uivante (voir DOW et WERLANG [1992]) : et convexe. Le degré d averion à l incertitude et contant, égal à. Soit f une variable aléatoire telle que f = min 2S f (), alor E f = f + (1 0 )E ' f. Ce capacité peuvent repréenter un comportement de type maximin ( = 1), c et-à-dire un peimime extrême, aui bien qu un comportement neutre vi-à-vi de l incertitude ( = 0), aini que tou le degré d averion à l incertitude entre ce deux extrême. Nou pouvon maintenant démontrer que l enemble de équilibre croît au en large lorque le degré d averion à l incertitude augmente. PROPOSITION 6 : Soit (p? ; x? ) un équilibre de l économie dan laquelle tou le agent ont le même croyance = (1 0 )', ' étant additive. Sou le ypotèe 1, 2 et 3, (p? ; x? ) et un équilibre de l économie dan laquelle le agent ont le croyance 0, i 0. Démontration : Il uffit de démontrer que i x? maximie l utilité de lorque le degré d averion à l incertitude et, il maximie l utilité de lorque le degré d averion à l incertitude et 0. Obervon que i 0, alor, pour tout x (1);... ; x (S), la propriété uivante et vraie : E u (x (:)) = (1 0 )E ' u (x (:)) + min u (x ()) (1 0 0 )E ' u (x (:)) + 0 min u (x ()) = E 0 u (x (:)) car E ' f min (f ()) et 0 0 0 pour toute variable aléatoire f. De plu, puique (p? ; x? ) et un équilibre, d aprè la propoition 3, nou avon que x? () = x? (0 ) pour tout ; 0, et donc E u (x? (:)) = E 0 u (x? (:)) Donc, i x? maximie E u(:), ou la contrainte budgétaire p? x = p? e, il maximie E 0 u(:) ou cette même contrainte. (p? ; x? ) et donc un équilibre de l économie dan laquelle tou le agent ont le croyance (1 0 0 )'. 3 Lorque le peimime accroît dan l économie, l enemble de équilibre augmente, et l indétermination devient plu importante. On aura remarqué que l ypotèe que le agent ont de croyance commune n et pa eentielle. Suppoon en effet que caque agent ait de croyance du type dicuté ci-deu, avec un coefficient contant d averion à l incertitude. Le même type d argument montre que i (p? ; x? ) et un équilibre RISQUE MICROÉCONOMIQUE 223

de l économie dan laquelle l averion à l incertitude de et et min f g =, alor, c et un équilibre de l économie dan laquelle l averion à l incertitude de et 0 et min f 0 g = 0, i 0. En fait, ceci rete vrai pour de économie dan lequelle le croyance de agent ont quelconque, comme on le montre dan la propoition uivante. PROPOSITION 7 : Soit (p? ; x? ) un équilibre de l économie dan laquelle le agent ont le croyance. Alor, ou le ypotèe 1, 2, 3 et 4, (p? ; x? ) et un équilibre de l économie dan laquelle le agent ont le croyance 0 i Core( ) Core( 0 ). Démontration : L argument et emblable à celui de la démontration de la propoition 6. Il découle de l obervation que i Core( ) Core( 0 ), alor : E u (x (:)) = min E ' u (x (:)) '2Core( ) min E ' u (x (:)) = E 0 u (x (:)) '2Core( 0 ) Maintenant, x? maximie E u (x (:)) ou la contrainte budgétaire p? x = p? e, et puique x? () = x? (0 ) d aprè la propoition 3, E u (x? ) = E 0 u (x? ) et donc x? maximie E 0 u (x (:)) ou la même contrainte, et (p? ; x? ) et un équilibre de l économie dan laquelle le agent ont le croyance 0. 3 Cette dernière propoition montre que lorque l enemble de croyance a priori de tou le agent augmente, alor l enemble de allocation d équilibre croît. Il et toutefoi difficile de donner une meure précie du lien entre le degré d averion à l incertitude et la dimenion de l enemble de olution d équilibre. En effet, nou avon établi que l enemble de allocation d équilibre contient un continuum, c et-à-dire que la dimenion de l enemble de équilibre et au moin un. Nou n avon cependant pa établi qu il n exite pa de degré upplémentaire d indétermination. 5 Concluion Nou avon montré dan cet article que lorque le agent e comportent de manière peimite (i.e., leur croyance ont repréentée par une capacité convexe) et i le rique auquel il font face et de nature purement microéconomique, alor l allocation d équilibre et indéterminée, même i leur fonction d utilité dan le certain et différentiable. La raion de cette indétermination et que le peimime de agent crée un coude dan leur fonction d utilité. La ource de ce coude réide donc dan la formaliation de croyance. Nou avon par ailleur montré que lorque le peimime croît dan l économie, l enemble de équilibre croît également. Aini, 224

lorque l averion à l incertitude augmente, le prédiction d une analye concurrentielle ont de moin en moin dicriminante. Une allocation concurrentielle fournit aux agent une aurance totale, mai le niveau de leur conommation en econde période peut être un point quelconque dan un continuum. v Référence bibliograpique CASS, D., CHICHILNISKY, G., WU, H.-M. (1996). Individual Rik and Mutual Inurance, Econometrica, 64(2), pp. 333-341. CHATEAUNEUF, A. (1991). On te Ue of Capacitie in Modeling Uncertainty Averion and Rik Averion, Journal of Matematical Economic, 20, pp. 343-369. DEBREU, G. (1970). Economie wit a Finite et of equilibria, Econometrica, 38, pp. 387-392. DOW, J., WERLANG, S. (1992). Uncertainty Averion, Rik Averion, and te Optimal Coice of Portfolio, Econometrica, 60(1), pp. 197-204. EICHBERGER, J., KELSEY, D. (1994). Non-additive belief and game teory. Dicuion Paper 9410, Center for Economic Reearc, Tillburg Univerity. EPSTEIN, L., WANG, T. (1994). Intertemporal Aet Pricing Under Knigtian Uncertainty, Econometrica, 62(3), pp. 283-322. GHIRARDATO, P. 1994. Coping wit Ignorance: Unforeeen Contingencie and Non-Additive Uncertainty, mimeo, Univerity of California at Berkeley. GILBOA, I., SCHMEIDLER, D. (1994). Additive Repreentation of Non-Additive Meaure and te Coquet Integral, Annal of Operation Reearc, 52, pp. 43-65. JAFFRAY, J. Y., WAKKER P. (1994). Deciion Making wit Belief Function: Compatibility and Incompatibility wit te Sure-Ting Principle, Journal of Rik and Uncertainty, 8, pp. 255-271 KARNI, E., SCHMEIDLER, D. (1991). Utility Teory wit Uncertainty, In Hildenbrand W. et Sonnencein H., éditeur, Handbook of Matematical Economic, capitre 33, pp. 1763-1831, Nort-Holland. KAST, R., LAPIED, A. (1995). Probabilité individuelle et probabilité de marcé, Revue d Economie Politique, 1, pp. 71-90. MALINVAUD, E. ( 1972). Te Allocation of Individual Rik in Large Market, Journal of Economic Teory, 4, pp. 312-328. MUNIER, B. (1995). Entre rationalité intrumentale et cognitive : contribution de la dernière décennie à la modéliation du rique, Revue d Economie Politique, 1, pp. 5-70. QUIGGIN, J. (1982). A Teory of Anticipated Utility, Journal of Economic Beavior and Organization, 3, pp. 323-343 SCHMEIDLER, D. (1989). Subjective Probability and Expected Utility witout Additivity, Econometrica, 57(3), pp. 571-587 TALLON, J.-M. (1995a). Sunpot Equilibria and Non-Additive Expected Utility Maximizer, Mimeo, M.A.D. A paraître dan Journal of Economic Dynamic and Control. TALLON, J.-M. (1995b). Téorie de l équilibre général avec marcé financier incomplet. Revue Economique, 6, pp. 1207-1241 WAKKER, P. (1990a). Caracterizing Optimim and Peimim Directly troug Comonotonicity, Journal of Economic Teory, 52, pp. 453-463 RISQUE MICROÉCONOMIQUE 225

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