Cours de Structures en béton Chapitre 5 LES SECTION SOUMISES À LA FLEXION COMPOSÉE Section 5.1 Les bases du dimensionnement Tour CN, Toronto, Canada 5.1.1 les principes du calcul 5.1.1.1 La description du problème 5.1.2 Le calcul en phase élastique 5.1.2.1 Avec une section non fissurée 5.1.2.2 Avec une section rectangulaire fissurée 5.1.2.3 Par la méthode de Wuczkowski 5.1.2.4 Avec une section quelconque fissurée 5.1.3.1 Avec une section non fissurée 5.1.3.2 Avec une section rectangulaire fissurée 5.1.3.3 Par la méthode de Wuczkowski 5.1.3.4 Avec une section quelconque fissurée 5.1.3 Un exemple de calcul détaillé Version 1.0 5.1.1 Les principes du calcul 5.1.1.1 La description du problème Soit un élément soumis à un effort de compression. Lorsque cet effort est excentré selon l un des axes principaux, on dit que la section est soumise à la flexion composée. Les causes de ces excentricités sont multiples: - cas 1 : colonne d un portique, soumise en tête à un effort normal et à un moment de flexion dû à l encastrement de la colonne dans la traverse (assemblage rigide) - cas 2 : colonne de support pour un pont roulant, où le moment en tête de colonne provient de l excentricité de la réaction d appui - cas 3 : colonne de bord supportant une dalle de bâtiment. Ici, le moment provient de la déformation de la dalle, qui induit une excentricité de la réaction d appui (déformation sous l effet des charges verticales, où sous l effet des effets différés - cas 4 : pile de pont, pour laquelle la flexion transversale provient en partie de l action du vent sur le tablier et sur les piles. 1 2 4 3 Flexion composée
5.1.2 Le calcul en phase élastique 5.1.2.1 Avec une section non fissurée Qui dit section non fissurée suppose que la section en béton n est pas soumise à des contraintes de traction (on néglige la résistance à la traction du béton) et donc que le point d application de l effort normal est situé à l intérieur du noyau central de la section. 5.1.2 Le calcul en phase élastique 5.1.2.2 Avec une section rectangulaire fissurée Idem flexion simple, mais autres tables = autres coefficients (paramètre supplémentaire e/d) On a 3 élements qui sont: - le béton comprimé - l acier tendu - l acier comprimé Qui génèrent 10 inconnues - 3 déformations spécifiques - trois contraintes - la position de l axe neutre - trois forces intérieures On applique: - la loi de Hooke - on se ramène au niveau de As - les conditions de compatibilité - l équilibre des forces intérieures - les conditions d équivalence On obtient : La détremination de l axe neutre, qui dépend de b, d, As, As et de l excentricité e
5.1.2 Le calcul en phase élastique 5.1.2.3 Par la méthode de Wuczkowski 1/2 L idée consiste à ramener l effort normal au centre de gravité de l armature tendue. Dès lors: - la section mixte n est plus sollicitée que par un effort de flexion simple Ms - A l effort de traction dans l armature dû à Ms, on ajoutera l effet de l effort normal N 5.1.2 Le calcul en phase élastique 5.1.2.3 Par la méthode de Wuczkowski 2/2 Le pourcentage d armature étant dépendant de la contrainte dans l acier, le processus de dimensionnement est un procédé itératif. Dès que le calcul de la contrainte dans l acier converge, on peut déterminer la valeur de la contrainte dans le béton, en fonction du dernier pourcentage fictif obtenu. Remarque: Les réflexions précédentes supposent que la contribution de l armature comprimée peut être négligée. En cas de forte armature (cas des colonnes), on pourra en tenir compte en utilisant les tables appropriées (par ex. autres tables Hofacker qui intègrent la contribution de l armature comprimée)
5.1.2 Le calcul en phase élastique 5.1.2.4 Avec une section quelconque fissurée La méthode de Wuczkowski est bien adaptée à la résolution du problème ardu qui consiste à calculer les contraintes dans une section quelconque soumise à la flexion oblique. Hypothèse: L axe neutre de la section se situe dans la partie supérieure Et ce cas complexe se ramène au calcul d une section rectangulaire de largeur b1 et de hauteur statique d1 soumise à une flexion simple Ms. Pour le calcul, on se ramène au processus itératif donné au chapitre 5.1.2.2 5.1.3.1 Avec une section non fissurée ε = ε = 3.0% c c2d o Fixer ε c = 3,0 pour miles Estimer x
5.1.3.2 Avec une section rectangulaire fissurée 1/2 εc = εc2d = 3.0% o σ = c fcd Fc = 0.85 x fcd b 0.85 χ2 = 2 ε = ε = 3.0% c c2d o 5.1.3.2 Avec une section rectangulaire fissurée 2/2 N Ed M Ed f sd f cd SIA 162 (68) SIA 162 (89) SIA 262 (2003) Réf: Abaques Walther-Houriet
5.1.3.4 Par la méthode de Wuczkowski Zone non applicable pour laquelle la déformation dans l acier est inférieure à fsd-> formules à adapter (voir TGC 7 chap. 6.2.2.2) Attention au domaine de validité de la méthode de calcul!!! 5.1.3.3 Avec une section quelconque fissurée Les étapes du calcul: 1. Choix des armatures (taux ω 1 ) 2. Détermination de l axe neutre 3. Choix d un état de déformation 4. Calcul des forces intérieures 5. Calcul des forces intérieures résultantes 6. Calcul des efforts intérieurs équivalents 7. Report dans un diagramme d intéraction = 1 point 8. Répéter les étapes 3 à 7 pour d autres états de déformation = autres points pour le taux d armature ω 1 9. Vérifier les conditions de résistance 10. Le cas échéant, modifier les armatures et recommencer le processus pour un autre taux d armature ω 2
5.1.4 Un exemple de calcul détaillé Soit un pont sur 3 appuis, qui repose sur une pile centrale H = 50 m L Charges à considérer : Poids propre Ng = 9000 KN Trafic Nt = 1500 KN Vent transversal Nv = 250 KN Hv = 300 KN v = 20 KN/m L Largeur b Hauteur h Béton C 30 / 37 Dimensionner la pile centrale du pont selon la procédure suivante: (on se limitera à la section à la base de la pile) 1.Déterminer les efforts primaires de service et de dimensionnement à la base de la pile 2.Choisir b, h et un concept d armature 3.Dimensionner l armature de flexion, à l aide du diagramme d intéraction donné en annexe 4.Déterminer l armature minimale pour satisfaire à un niveau d exigence sévère vis-à-vis de la fissuration, au sens de l article 4.4.2.3.3 de la norme SIA 262 (2003) 5. Calculer les contraintes correspondantes dans le béton 6.Dimensionner les étriers dans la section de base 7.Etablir le schéma des armatures Hypothèse de base: - le vent n induit pas de torsion sur le tablier - les effets du 2e ordre ne sont pas considérés - l ouvrage n est soumis à aucunes charges longitudinales 5.1.4 Un exemple de calcul détaillé Abaque de dimensionnement pour la flexion composée (Walther Houriet)