Correction du DS n 3

Correction du DS n 3 Problème n I : étude d'un cable coaxial 1.0/0,5 Le cable est composé de 4 zones : A : l'enveloppe extérieure en plastique D : l'âme du cable B : la gaine, conducteur périphérique C l'isolant qui isole l'âme de la gaine. 1.1/0,5 L'équation de Maxwell-Gauss : div E = ρ ε 0 et E = grad V impliquent l'équation de Poisson V = ρ ε 0 Dans l'isolant ρ = 0 donc l'équation devient l'équation de Laplace V = 0 1.2/2 1 r V = 0. r V r Il vient r V = C puis V = C r + D. r En r =, V = C + D = En r =, V = C + D = 0 d'où C = et D = soit Vr = r r 2 1.3/1 E = grad V = 1 r er 1.4/1,5 Les relations de passage exprimant la discontinuité de E à travers une interface chargée surfaciquement s'écrivent : E N2 E N1 = σ n12 et E T2 E T1 = 0 ε 0 A l'interface âme/isolant en, E N1 = 0 et E N2 = 1 er = σ 1 ε 0 er d'où σ 1 = ε 0 1

Devoir surveillé n 3 A l'interface isolant/gaine en E N2 = 0 et E N1 = 1 er = σ 2 ε 0 er d'où σ 2 = ε 0 La surface de l'âme est S=2π l et la charge présente sur l'âme est donc : Q 1 = 2π lσ 1 = ε 02πl De même la surface de la gaine est 2π l et la charge présente sur la gaine est : Q 2 = 2π lσ 2 = ε 02πl On constate que ces charges sont opposées et que le cable est bien électriquement neutre. 1.5/1 La capacité du cable est : C = Q = 2πε 0l 1.6/2 On dénit la capacité par unité de longueur du cable : Γ = C l = 2πε 0 On mesure approximativement = 0, 5 mm et = 3 mm d'où Γ = 0, 3 nf.m 1 1.7/2,5 L'énergie volumique du champ électrique est : u E = 1 2 ε 0E 2 W E = 1 2 ε 0E 2 dτ On intègre dans l'espace où E est non nul, c'est à dire dans l'isolant. W E = r= θ=2π z=l r= W E = θ=0 z=0 r= 2 r= 2 1 2 ε 0E 2 rdr rdθ dz 2 ε 0 2r drl2π

d'où W E = πlε 0 2 et C = ε 02πl 2.1/1 Le plan de la feuille est plan de symétrie. B est perpendiculaire à ce plan et est donc selon e θ. L'invariance par rotation selon Oz et par translation selon e z le cable est inniment long impliquent que B ne dépend ni de z ni de θ. Finalement, B = Br eθ 2.2/2 On choisit un coutour d'ampère circulaire de centre un point de l'axe du cable et de rayon r ] ; [. L'intensité enlacée est I. B. d l = µ0 I enlacée = 2πrB Br = µ 0I 2πr pour < r < 2.3/2 On intègre de la même façon qu'en 1.5 et e B = B2 2µ 0 W B = r= d'où W B = lµ 0I 2 4π lµ 0 I 2 r= 4π dr r = 1 2 LI2 On trouve alors µ 0 l L = 2π µ 0 2.4/2 L'inductance par unité de longueur est donc Λ = 2π 3.1/1,5 C'est une question de cours. = 0, 35.10 6 H.m 1 3.2/1,5 E B Π = = µ 0 3 1 r µ 0 I er e θ 2πr

Devoir surveillé n 3 soit Π = I 2π e z 3.3/3 Nous avons la situation suivante : B E Π Il faut calculer le ux de Π à travers une section du cable. On calcule le ux à travers une couronne d'épaisseur dr et de surface 2πrdr puis on intègre de à : dφ = 2πrdr Π Π. ds = 2πr I 2π dr d'où Π. d S = I Le champ électromagnétique transporte la puissance I : c'est la puissance électrocinétique transportée le long du cable. Thermodynamique 1/2 Le système{calorimètre+eau} est calorifugé donc H = 0 = C + m 1 c eau t f t 1 + m 2 c eau t f t 0 + m 2 l fus d'où l fus = C + m 1c eau t f t 1 + m 2 c eau t f t 0 m 2 = 330J.g 1 2/2 Le deuxième principe implique S = S e + S c = S e puisque le système est calorifugé. On a donc S c = C + m 1 c eau T f T 25 + m 2 c eau T f T 0 + m 2 l fus T 0 = 4, 7J.K 1 II. Autour du magnétisme 4

5/2 J'applique le théorème du moment cinétique à l'aiguille aimantée dans le référentiel du laboratoire : soit en projection sur u z, J d2 α dt 2 uz = M B, J α t = MB sin α. À l'équilibre, d2 α = 0, donc sin α = 0, soit α = 0 ou α = π. dt2 La position stable est α = 0, lorsque M et B sont colinéaires et de même sens. Pour α petit, sin α α, l'équation diérentielle vériée par α est donc : d 2 α dt 2 + MB J α = 0 d 2 α + KBα = 0. dt2 La solution de cette équation est : α = α 0 cos KBt. 6/2 Le champ magnétique uniforme créé dans le volume intérieur d'un solénoïde inni est B = µ 0 ni u z, où n est le nombre de spires par unité de longueur. L'unité de n est donc m 1, ainsi la seule expression de B 0, parmi les expressions proposées, qui a la même dimension est : B 0 = µ 0I 2R. 7/2 Le champ magnétique en un point repéré pa x = XR est la somme des champs magnétiques créés par chacune des deux bobines, d'après l'expression fournie, on obtient : soit B X = [ B 0 1 144 ] 125 X4. B X = N B0 [ 8 5 5 Soit X max la valeur de X telle que B X max B 0 B 0 Comme B X max B 0 ] [ 2 2 144 ] 125 X4 + o X 4, = 2 100. = 144 B 0 125 X4 max, on calcule X max = + 0, 4, et on en conclut que la plage des valeurs de x telle que le champ magnétique ne varie pas de plus de 2% de sa valeur maximale en x = 0 est : La valeur du champ magnétique en O est : 0, 4R < x < 0, 4R. B 0 = 1, 2.10 3 T. 5

Devoir surveillé n 3 8/2 Comme ω = KB, K = ω2 B, soit K = 2 2π 1 T B. Numériquement : K = 3, 7.10 5 s 2.T 1. 9/2 L'énoncé parle de pôle nord magnétique N m et de pôle sud magnétique S m, or ce sont les pôles géographiques, ce sont les vrais pôles sud et nord respectivement de l'aimant qui crée le champ magnétique terrestre. Ils sont distincts des pôles Nord et Sud situés sur l'axe de rotation de la Terre, la diérence de position étant liée à la déclinaison magnétique. D'après le schéma, on peut relier tan i à B r et B θ soit : soit tan i = 2 cos θ 2 et tan θ = sin θ tan i. Numériquement, θ = 44 ou θ = 136. tan i = B r B θ, La latitude λ de Paris donnée dans l'énoncé est donnée dans le repère lié à l'axe de rotation de la Terre, soit λ = θ 90 + δ, où δ est la déclinaison magnétique. Je garde donc la solution θ = 136deg qui donne θ 90 = 46deg soit une déclinaison magnétique δ = 3deg, puisque λ = 49deg d'après l'énoncé. 10/2 Lorsque l'axe de rotation est vertical, la boussole oscille avec une pulsation reliée à la composante horizontale B θ du champ magnétique soit ω = KB θ. De plus B θ = µ 0M sin θ 4πR 3, soit : T M = ω2 4πR 3 T Kµ 0 sin θ, et B = 1 + tan 2 i 0.5 B θ. Numériquement : M = 8.10 22 A.m 2, ce qui est conforme à l'estimation habituelle du moment magnétique terrestre ; et B = 4, 6.10 5 T. 11/2 ȷ = ne v, soit v = ȷ ne, et numériquement v = 3, 2.10 4 m.s 1. 12/2 6

La force magnétique subie par l'électron est : f = e v B. en régime permanent les électrons ont une vitesse v opposée au vecteur densité de courant qui est selon u x, ainsi la force magnétique qu'ils subissent est selon u z, les électrons se déportent vers la face 4. La face 4 se charge négativement, la face 2 positivement. 13/2 On applique le PFD à un électron dans le référentiel de la plaquette de semi-conducteur supposé galiléen, en régime permanent. m e d 2 v dt 2 = e E h e v B ee xux m e v τ 0 = eeh e v B ee xux m e v, τ en régime permanent, v est colinéaire à u x, en projetant sur u z le PFD, on obtient : 0 = ee h u z evb u x uy u z 0 = ee h evb E h = vb u z = I 0 neac B u z. Le champ E h est un champ électrique permanent, on en déduit : V 2 V 4 = 4 2 V 2 V 4 = E h a E h u z dz u h = V 4 V 2 = E h a = I 0 nec B. Finalement : Numériquement : γ = 95 V.T 1. γ = u h B = I 0 nec. 23/2 Le dispositif déni est invariant par translation selon u z et rotation autour de Oz, donc le potentiel V ne dépend que de r. Comme le conducteur est non chargée, le potentiel électrique vérie l'équation de Laplace : V = 0. 7

Comme V = 1 d r dv, on déduit r dv r dr dr dr = K 1. Soit V r = K 1 r + K2, à l'aide des conditions limites en r = et r =, on établit : V r = V 1 + V 1 V 2 r/ /. Et le champ électrique entre les cylindres de rayon et : dv E = ur = V 2 V 1 1 ur. dr / r Devoir surveillé n 3 24/2 Le PFD appliqué à l'électron dans le référentiel de la magnétorésistance qui est galiléen s'écrit, en "régime permanent" : m e d v dt = 0 = e E λ v e v B. Avec v = v rur + v θuθ, le pfd projeté successivement sur u r et u θ donne le système : ee r λv r ebv θ = 0 λv θ + ebv r = 0 On en déduit : v θ = v r = e2 B λ 2 + e 2 B 2 E λe λ 2 + e 2 B 2 E et ȷ = ne v. 24/2 Le courant I est est le ux du vecteur densité de courant électrique à travers le cylindre de hauteur h et de rayon r : I = ȷ d S I = 2π h j r rdzdθ θ=0 z=0 λe V 1 V 2 I = hπ λ 2 + e 2 B 2 / ne, soit : R = V 1 V 2 I = λ2 + e 2 B 2 / 2πnhλe 2. 8

Quand B = 0, R = R 0 = λ /, 2πnhe 2 et R R 0 R 0 = e2 B 2 λ 2. Numériquement : R R 0 R 0 = 7, 9.10 11, et R 0 = 112 Ω. Cette variation relative de résistance est vraiment très faible, et probablement très dicile à déceler. 9