SCIENCES DE L INENIEUR Modéliser et représenter le réel Dnamique Fiche cours FC.0 ) Introduction : La dnamique est la partie de la mécanique qui traite des mouvements en relation avec les forces qui les engendrent. Newton fut le premier à formuler correctement le principe fondamental de la dnamique et la loi de gravitation universelle. Par la suite, Euler, d lembert, Lagrange, Laplace, Poinsot, Coriolis et Einstein apportèrent une contribution importante au développement de cette science essentielle. Il eiste trois méthodes pour traiter un problème de dnamique :. Par application du principe fondamental (loi de Newton). Par utilisation des théorèmes relatifs au travail et à l énergie (Energétique). Par utilisation des théorèmes portant sur les quantités de mouvement et le moment cinétique. ) Lois de Newton : ) Repère aliléen : Notion de repère absolu : ère loi : Dans un repère galiléen, tout objet en état de mouvement rectiligne uniforme et soumis à aucune force etérieure, conserve son mouvement. ème loi : Force = masse accélération ème loi : Tout corps soumis à une force eerce en retour une force de même intensité et de direction opposée Pour que le principe fondamental de la dnamique soit correct, l accélération a doit être une accélération absolue. Par commodité, l accélération a est généralement repérée ou déterminée par rapport à un repère fie lié à la terre (référence absolue). Cependant, la terre n est pas un référentiel absolu (ou galiléen) rigoureu mais approché. Pour la plupart des problèmes de mécanique terrestre, cette approimation suffit et amène des erreurs négligeables. Pour un certain nombre de problèmes, faisant intervenir des avions, des fusées, des missiles ou autres soucoupes volantes, il est parfois nécessaire de faire intervenir les accélérations dues au mouvements de la terre. Eemple : Pour un corps en chute libre, la rotation de la terre autour de son ae engendre une légère accélération dirigée vers l est (accélération de Coriolis) créant une perturbation du mouvement de chute libre. Le solide ne tombe pas eactement verticalement mais subit une déviation vers l est égale à : d =. avec = 0.79 0 - rad/s (vitesse de rotation de la terre) g = 9.8 m.s² (accélération de la pesanteur) h = hauteur de la chute en m = latitude nord ou sud
Notion de temps relatif et temps absolu : Dans l équation de Newton, le temps est considéré comme une grandeur absolue, s écoulant ineorablement d arrière en avant au rthme régulier indiqué par les pendules et les calendriers. D après Einstein, le temps n est pas absolu mais relatif et dépend de la vitesse propre de l observateur et de la position finale de celui-ci. Cependant la notion de temps relatif n est valable que pour des particules se déplaçant à très grande vitesse (proche de la vitesse de la lumière (00 000 km/s). ) Principe fondamental de la dnamique : Cas d'un solide "unité de matière" M (S) (R) Ce solide (S) est si petit qu'il peut être considéré comme un point. Le solide (S) est soumis à des actions etérieures se réduisant à une résultante R et S. Soit : =. Son mouvement est tel que : = m. vec en N en m/s² m en Kg (masse du solide) Cas d'un solide quelconque Soit un solide (S) quelconque de masse m. Contrairement au solide précédent, celui-ci peut subir des efforts en différents points. Ceu-ci peuvent le faire tourner. Il aura donc présence de moments En appliquant la démonstration précédente à ce solide, il suffirait de considérer celui-ci comme une somme de points Mi de masses m i. Le principe fondamental de la dnamique peut alors s'écrire : C'est le torseur dnamique C'est la résultante dnamique C'est le moment dnamique Remarque : Le torseur dnamique contient des relations difficilement utilisables par un élève de première et/ou de terminale S SI. Nous allons donc uniquement nous intéresser au cas particuliers de la translation rectiligne et de la rotation autour d'un ae fie. -) Cas du solide en translation rectiligne / = ccélération du centre de gravité du solide en m/s² et S = et S = Somme des forces etérieures en N m = masse du solide S en Kg Trajectoire de m. et = + + + Remarque : la résultante et doit passer par, sinon Il a mouvement plan
Eemples : Sphère en chute libre : Une sphère de Kg est en chute libre, la résistance de l air est négligée. z Bilan : et = (vecteur poids) a = 9.8 m/s² (accélération de la pesanteur) et = m. d où = m. MRU En projection sur l ae z : P = m. g = 9.8 = 9.8 N P = = 9,8 N Navette spatiale Une Navette spatiale est supposée à l arrêt dans l espace. Ces moteurs sont allumés, la poussée de chaque moteur est de F = 00 kn, les poussées sont parallèles et leur résultante passe par. Déterminons l accélération supportée par un astronaute, si la masse de l engin est de 00 tonnes. Bilan : et = (Poussée des moteurs) a =? m/s² (accélération de la navette) m = 00 000 Kg et = m. En projection sur l ae z : F = m. a d où a = = = 69 a = 69 m/s² Principe de d'lembert : Soit environ 7g ( = 7.0). Le principe de d'lembert prend en compte la "Force d'inertie". Cette force est opposée à l'accélération et = - m.. La force d'inertie devient un effort etérieur et le principe fondamental de la dnamique peut alors s'écrire : / Câble Cabine Eemple : Cabine d ascenseur Un homme de 80 kg se tient debout sur une balance dans une cabine d ascenseur à l arrêt. Le moteur est mis en route et la tension du câble atteint la valeur de 900 dan pendant les trois premières secondes. Les frottements sont négligés et la masse de la cabine (cabine + balance) est de 70kg. Le centre de gravité de l ensemble est situé sur la verticale commune au actions et (poids de l'homme). Si l accélération est supposée constante, quelle valeur peut-on lire sur la balance? Bâti Balance
Résolution : ) Isolons l ensemble {cabine + homme + balance} : Remarques : Les actions des rails sur la cabine ne sont pas prises en compte car elles sont perpendiculaires à l ae z (pas de composante sur z). Le principe de d lembert s écrit : total + + = + m = Et total = Cabine + Homme En projection sur l ae z on obtient : P + T m a = 0 ) Isolons l homme seul : [-(70 + 80) 9.8] + 9 000 (70 + 80) a = 0 a =. m/s² Bilan des actions etérieures : Il est soumis à actions : Son poids Homme (80 9.8 = 78.8 N) On a : homme + + = En projection sur z on obtient : P h + B + F I = 0 L action eercée par la balance La force d inertie (- m h. a = - 80, = - 5, N) D'où B = -78.8 + 5,= 900 N La masse mesurée par la balance est : = 9.7 kg (.5 son poids) Eercices -) Cas du solide en rotation autour d'un ae fie --) Premier cas : Le centre de gravité est situé sur l ae de rotation Hpothèses : - Sa vitesse de rotation en rad/s - Son accélération angulaire en rad/s² - Le centre de gravité est situé sur le centre de rotation. - et sont les actions eercées sur le palier par la liaison pivot en N - J et le moment d inertie du solide par rapport à l ae (,z) qui est aussi l ae de rotation en m².kg. (et S) = /(et S) = / et = J.
J. Remarques : M / ( et) = M / ( ) + M / ( ) + M / ( ) + M / ( ) Pour un sstème de forces planes, on dispose de trois équations de projection : Fet / = 0 (projection des forces sur ) Fet / = 0 (projection des forces sur ) M / (Fet) /z = J (projection des moments sur z) Eemple : Essai sur véhicule Dans un laboratoire d essai de véhicule, on utilise un dispositif à tambour pour déterminer les vitesses et accélérations des véhicules. Les roues motrices de la voiture sont posées sur un tambour de raon R = m, longueur l =.5 m et moment d inertie J ajustable. La masse totale du véhicule est de 000kg, l essieu avant supporte, au repos une charge de 00 dan. Quelle doit être la valeur de J pour que le tambour se comporte comme le véhicule au démarrage ou au freinage (accélération tangentielle tambour a t = accélération véhicule a V. Résolution : ) Isolons la voiture : Hpothèses de départ : - a est l accélération du véhicule sur un sol horizontal et plat - P est le poids de la voiture - / et B sont les actions sur les roues - FI = -m. a est la force d inertie au démarrage. Le principe de d lembert donne : + + / m. = En projection sur l ae on obtient : / m.a = 0 ) Isolons le tambour : et = + + = M / ( et) = M / (- ) = J Remarque : Toutes les forces sauf passent par et ont donc un moment nul) On a : a = = = / où at est l accélération tangentielle de. L équation devient :. R = ( / (m.r)). J d où J = m. R²
--) Second cas : Le centre de gravité n'est pas situé sur l ae de rotation (et S) = m. vec at =.r = J. /(et S) t m. m. n n t r Remarques : J. a = a n + a t an = ².r at =.r En projection sur (ou ) : Fn = - m. ². r En projection sur (perpendiculaire à ) : Ft = m.. r L équation du moment en peut être remplacée par l équation du moment en : M/ (Fet) = J. avec J = J + m. r² Eemple : Vibreur à béton L appareil présenté sert à tasser le béton liquide. Les vibrations sont produites par la rotation d un arbre ecentré (ecentration = mm). Cet arbre est guidé en rotation par trois roulements (,, 5). La vitesse de rotation maimale est de 0 000 t/min, la puissance d entraînement est de.5 kw et la masse de l arbre est de kg. Déterminons les actions supposées par les roulements en et B, à vitesse constante et le couple de démarrage si l accélération angulaire est de 5 000 rad/s² Résolution : Isolons l ae : Détermination des actions en et B à 0 000 tr/min = 0 ; at = 0 ; an = ².e ; = (0 000. ) / 0 = 07 rad/s²* Fet = / + B/ = m. a = - Fi (Fi : Force d inertie sur l arbre) En projection sur : 0 = 0. En projection sur : / + B/ = m. an et B sont smétrique par rapport à, d où : / = B/ = (m.an) / = ( 07² 0.00) / = 90 N
Détermination du couple moteur C m si = 5 000 rad/s² Ecrivons l équation de moment par rapport au point O M /O (Fet) = J O. = (J + m. e²). C m = (. m. R² + m. e²). = m ( + e²). C m = ( + 0,00²). 5000 =.5 C m =.5 Nm Calcul du moment d inertie J d un solide par rapport à un ae passant par son centre de gravité