1 EXERCICE : Dimensionnement d un moteur asynchrone

Travaux dirigés Moteurs ASynchrones 1 EXERCICE : Dimensionnement d un moteur asynchrone La plaque signalétique d un moteur asynchrone triphasé est la suivante : 0 V / 380 V 50 Hz 17 A / 9,8 A n n = 1440 tr/min Les pertes autres que celles par effet joule dans le rotor sont négligées dans tout le sujet. 1.1 Etude du moteur alimenté par un réseau 0 V / 380 V, 50 Hz : Calculer la vitesse de synchronisme n s en tr/min. ns = 1500 tr / min Q. Donner le nombre de pôles. p = (4 pôles) Q3. Indiquer le couplage, justifier votre réponse. Couplage étoile pour qu un enroulement soit soumis à 0 V Q4. Donner l intensité efficace du courant nominal en ligne. I = 9,8 A Q5. Donner l intensité efficace du courant nominal dans un enroulement. Dans un enroulement, même courant que dans un fil de ligne car couplage en étoile On mesure la puissance active par la méthode des deux wattmètres, et on obtient Pa = 5490W Q6. g = n s n n s = 4 % Q7. Calculer le glissement pour le fonctionnement nominal. Calculer les pertes rotoriques P jr P jr = g.p tr = O W car P tr = P a Q8. Tn = = 35 Nm Calculer le moment du couple nominal T n. 1. Etude du moteur alimenté à fréquence f réglable avec le rapport U / f constant : U désigne la tension d alimentation du moteur. Les fréquences de rotation n s et n, sont exprimées en tr / min. Exprimer la différence de rotation n = n s n, en fonction de g, f et p le nombre de paires de pôles. Δn = g. f p Q. En régime permanent, pour un couple de moment fixé, on montre que le produit g.f reste constant quand la fréquence f varie. Monter que dans ce cas n reste constant quand f varie. Le couple est fixé donc g.f = cte donc Δn = cte Q3. Calculer la valeur de n pour le couple nominal, vous prendrez T n = 35 Nm. Δn =60 tr/min Q4. Compléter le tableau ci-dessous, en donnant les valeurs de la fréquence de rotation en tours par minute pour les fréquences 10 Hz et 30 Hz. Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 1 sur 17

Fréquence f en Hz 10 30 50 A vide : n s en tr / min 300 900 1500 A T n : n en tr / min 40 840 1440 Sur le graphique ci-dessous, tracer pour les fréquences 10 Hz, 30 Hz et 50 Hz, les caractéristiques T = f (n). On admettra que dans leur partie utile ces caractéristiques sont des droites. Q5. Déterminer la fréquence minimale permettant d obtenir au démarrage un couple égal au couple nominal. n s=60 tr/ min donc f min = Hz T (Nm) 35 5 100 900 1500 n (tr/min) Lycée Chaptal (8 ) PT x Page sur 17

EXERCICE : Étude d un moteur asynchrone Les essais d'un moteur asynchrone triphasé, 0 /380 V, 50 Hz, alimenté par un réseau triphasé 0 /380 V 50 Hz, ont permis de réunir les résultats suivants : - Essai à vide : U o = 380V ; I o = 15 A ; P ao = 800 W - Essai en charge : U = 380 V ; I = 40 A ; P a = 1 kw ; n = 1440 tr / min - Résistance entre deux bornes de phases du stator : R = 0, Ω. - Les pertes mécaniques considérées comme constantes : Pméca = 400 W. - La caractéristique mécanique du moteur est rectiligne dans sa partie utile. Calculer le nombre de pôles, le glissement en charge P=4 ; g=4% Q. Quel doit être le couplage des enroulements statoriques? Couplage étoile pour qu un enroulement soit soumis à 0 V cos φ = Q3. Calculer le facteur de puissance en charge p a U. I. 3 = 0.46 Q4. P JJJ = 3 R I 0 = 67.5W Evaluer les pertes par effet Joule statoriques à vide : Pj so. Q5. En déduire les pertes dans le fer du stator : P fs. P ff = P a0 P ff P mmmm = 33W Q6. Calculer les pertes par effet Joule statoriques en charge : P js. P JJ = 3 R I = 480W Q7. Calculer la puissance transmise au rotor : P tr. P tt = P a P ff P jj = 11187W Q8. En déduire les pertes par effet Joule rotoriques en charge : P jr. P jj = P tt. g = 447W Q9. Calculer la puissance utile : P u. P u = P a pppppp = 10430 W Q10. Calculer le rendement η. η = P u P a = 86.7% Q11. Calculer le couple électromagnétique : T em. T ee = P tt Ω s = 71. NN Calculer le couple utile : T u. T u = P u = 68.6 NN Ω Q13. Tracer la caractéristique mécanique T u = f (n) avec n en tr/min. Voir figure Ce moteur entraîne une charge dont le couple résistant est constant et égal à 35 Nm. Q14. Donner la fréquence de rotation de l ensemble. N=1470 tr/min Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 3 sur 17

3 ACTIVITE : Etude de la motorisation de la broche verticale d une fraiseuse 5 axes 3.1 Présentation La firme DECKEL-MAHO-GILDMEISTER commercialise la fraiseuse 5 axes, DMU ev50 (cf. photo), pour l'usinage grande vitesse (UGV). Cette technologie consiste à augmenter notablement les vitesses de coupe (de 5 à 10 fois supérieure aux valeurs traditionnelles) et de rotation de l'outil (de 10 3 à 10 5 tr/min) de manière à privilégier l'enlèvement de matière par de fortes avances et des profondeurs de coupe plus faibles. Cette méthode d'usinage permet, suivant les cas, de réduire les temps d'usinage ou d'améliorer l'état de surface de la pièce usinée. On se propose d'étudier dans ce problème la motorisation de la broche verticale. Celle-ci est entraînée directement (sans réducteur) par un moteur asynchrone triphasé à rotor en court-circuit. Le schéma de principe de la commande à vitesse variable de ce moteur est donné ci-dessous : Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 4 sur 17

Les grandeurs commandées sont la vitesse et le courant en ligne absorbé par le moteur. L'efficacité de cette commande nécessite le contrôle, donc la mesure d'un certain nombre de paramètres : position et vitesse du rotor, courants statoriques. La qualité des informations issues de ces capteurs est prépondérante. La documentation technique de la machine a permis de relever les grandeurs nominales suivantes : Couple utile nominal : C un = 87 Nm ; Tension d'alimentation composée, efficace, nominale: U n= 418 V; Fréquence nominale des courants statoriques: f n = 97,5 Hz; Fréquence de rotation nominale : Nn = 800 tr.min -1 ; Couplage de la machine : étoile. Le modèle équivalent par phase de la machine est donné figure 1. Notation : On note g, le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale g(t). - L 0 est l'inductance d'une phase statorique. - L est l'inductance de fuite d'une phase du rotor ramenée au stator. - R est la résistance d'une phase du rotor, ramenée au stator. - g est le glissement. - V 1 est la tension efficace aux bornes d'une phase. - ω = πf est la pulsation des courants statoriques. - On posera X = L ω et X 0 = L 0ω. - Des essais ont permis de déterminer les valeurs de L 0 et L : L 0 =16,6 mh; L =1,3 mh. - Toutes les pertes de la machine sont négligées, excepté les pertes Joules rotoriques. 3. Détermination des grandeurs électriques du moteur de broche au point nominal. Identification au modèle Dans cette partie la machine asynchrone est alimentée par un système de tensions sinusoïdales, triphasées, équilibrées de fréquence fixe: U 1 = U n = 418 V et f = f n = 97,5 Hz. On utilise le modèle équivalent par phase de la figure 1. 3..1 Calcul des grandeurs nominales du moteur Pour une utilisation au point nominal de la machine, déterminer les grandeurs suivantes : Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 5 sur 17

le nombre de paires de pôles p de la machine ; p 60f n NN la fréquence de rotation Ns, exprimée en tr.min -1 du champ statorique ; N s = 60. f n = 95 tt/mmm p le glissement nominal g n ; g n = 4.7% la puissance Pn transmise du stator au rotor; P n = C uu. Ω s = 6.65kk les pertes Joules rotoriques P jn ; P jj = g n. p n = 1.14kk la puissance utile P un fournie par le moteur P uu = P n P jj = 5.5kk le rendement η du moteur. η = P uu P n = 0,96 3.. Détermination de l'expression du courant moteur I = V 1 Z ; I = Déterminer l'expression I de la valeur efficace du courant I en fonction de V1, X, R et g. V 1 R g +X = g.v 1 R +(g.x ) 3..3 Détermination de l'expression de la puissance transmise Déterminer l'expression de la puissance transmise au rotor Ptr en fonction de V1, X, R et g. P tt = 3. R g. I R. g. V 1 = 3. R + (g. X ) 3..4 Détermination de l'expression du couple utile C u = P tt = 3p Ω s Q. Déterminer l'expression du couple utile Cu en fonction de V1, X, R, g, f et p.. R.g.V 1.π.f R +(g.x ) Simplifier l'expression précédente si le terme g.x est négligeable devant R. Si g g m alors R g X C u = 3p. π. f. g. V 1 R 3..5 Calcul de la résistance R A l'aide de l'expression précédente, de la valeur du glissement nominal et de la valeur fournie par le constructeur pour le couple nominal, calculer la valeur numérique de R. R = 3p. g n. V 1 = 0.8 Ω. π. f n C u 3.3 Calcul des intensités et des puissances nominales I = Calculer I n, et I 0, à partir du schéma de la figure 5 (sans approximation). g n.v 1 R +(g n.x ) = 36.5A et I 0 = V 1 L 0 πf n = 3.7A Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 6 sur 17

Q. Calculer les puissances actives Pa et réactive Qa consommées par la machine au point de fonctionnement nominal. P a = P n = 6.65kk V 1 Q a = 3. L ωi n + 3. L 0 ω = 0,4kkkk S a Q3. Calculer l'intensité efficace I1 du courant en ligne, ainsi que le facteur de puissance de la machine pour le point de fonctionnement nominal. I 1 = = P a + Q a = 46.4A 3. U n 3. U n cccφ n = P a S a = 0.79 3.4 Détermination des caractéristiques mécaniques du moteur de broche, alimenté par son variateur Afin de faire varier la fréquence de rotation de la broche, on alimente le moteur à l'aide de tensions triphasées de fréquence f variable. On suppose que ces tensions forment un système de tensions triphasées sinusoïdales équilibrées. On note : V1 : tension efficace aux bornes d'une phase ; g : glissement du moteur; f: fréquence des tensions d'alimentation ; p : nombre de paires de pôles de la machine. Le modèle d'une phase statorique est toujours celui de la figure 5. On donne R = 0,3 Ω. 3.4.1 Choix de la loi V1/f Quelle relation doit-on avoir entre V 1 et f afin de conserver le courant I 0 constant? On doit conserver le rapport V 1 constant : I f 0 = V 1 L 0..π.f Quel est le rôle du courant I 0? Le courant de valeur efficace I 0 sert à la production du champ tournant statorique. Q. Exprimer g en fonction de f, fr (fréquence de rotation du rotor exprimée en Hz ou tr/s) et p. g = N f s N p f r = = f p. f r N s f f p On pose Δf= f- p.fr, g = Δf f I = Q3. Exprimer dans ces conditions g en fonction de Δf et f. Q4. À partir du modèle de la figure 5, montrer que lorsque le rapport K = V1 / f reste constant, la valeur efficace du courant I ne dépend que de Δf. Quelle est la condition nécessaire pour que l'on puisse écrire I = K. Δf/R? g. V 1 R + (g. X ) = Δf f. V 1 R + Δf f. L.. π. f Δf f. V 1 = R + (Δf. L.. π) Si V 1 f est constant et si R Δf. L.. π alors I = V 1 f. Δf R = K. Δf R Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 7 sur 17

On suppose cette condition réalisée pour les questions qui suivent. 3.4. Détermination de l'expression du couple utile Montrer que le couple Cu est proportionnel à K.l. Calculer ce coefficient de proportionnalité. C u = P tt = 3. R Ω s Ω s g. I = 3. p. π. f. R g Pour la suite, on posera : Cu = 0,95.K.I. K. Δf R 3. p Δf = ππ. g K = R 3. p. π. (K. I ). Δf f. 1 3. p = g. π. (K. I ) Afin de ne pas dépasser la température admissible par les enroulements du moteur, on fixe la limite de I à I max = 37 A. La machine est alimentée de la façon suivante : Couplage étoile. Première plage de variation de fréquence: Le rapport K reste constant pour f variant de 10Hz à 97,5 Hz. La valeur de K est celle correspondant au point nominal : U 1 = 418V et f = 97,5 Hz. Deuxième plage de variation de fréquence : V 1 = 41,5 V pour f variant de 97,5 Hz à 67 Hz. 3.4.3 Détermination des caractéristiques mécaniques de la broche N s = 60f p Indiquer en tr.min -1 la vitesse de synchronisme Ns correspondant aux fréquences suivantes des tensions d'alimentation de la machine: f =10Hz, f = 97,5 Hz et f =67Hz. = 30. f car p = F en Hertz 10 97.5 67 Ns en tr/min 300 95 18810 Pour des raisons d'échauffement de la machine, on limite le courant I à l max = 37 A. Q. Pour les deux plages de variation de fréquence précisées ci-dessus, déterminer l'expression C umax du couple utile maximal que peut développer la machine. Vous exprimerez, le cas échéant, C umax en fonction de Ns. Première plage de fréquence : K = V 1 f = U 1 3. f =.48 V/HH, oo ee dédddd qqq C umax = 0.95K. I = 87. N. m Le couple utile est constant. Deuxième plage de fréquence : K = V 1 f = 41,5 = 745, oo ee dédddd C f N umax = 0,95. K. I max =,55.105 s N s Le couple utile maximal developpé par la machine est inversement proportionnel à Ns. Q3. Pour ces deux plages de variation de fréquence, déterminer aussi l'expression P max de la puissance absorbée maximale. Vous exprimerez, le cas échéant, P umax en fonction de Ns Première plage de fréquence : Pmax absorbée correspond à la puissance maximale transmise au rotor puisque les pertes joules et fer sont négligées. De plus Cem = Cu car Cp = 0 Ainsi on a P max = C umax. Ω s = C umax. π. N s = 9,1. N 30 s Deuxième plage de fréquence : P max = C umax. Ω s = C umax. π. N s = 6,7 kk; LL ppppppppp eee ccccccccc 30 Q4. Représenter sur le même graphique, les courbes C umax et P max en fonction de Ns Vous indiquerez les valeurs remarquables de ces deux courbes. Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 8 sur 17

3.4.4 Synthèse Pour cette question, on utilise la machine à fréquence de rotation variable et à couple utile Cu fourni constant: Cu = 10 Nm. On s'intéresse exclusivement au régime établi (vitesse constante). On rappelle que R = 0,3Ω, I = K f R et Cu = 0,95.K.I. Pour 3 fréquences différentes des courants d'alimentation: f = 10 Hz, f = 80 Hz et f = 67 Hz, déterminer : la valeur efficace I du courant ; la fréquence de rotation N de la machine, exprimée en tr.min -1 ; les puissances utile fournie Pu et absorbée Pa; les valeurs efficaces I 0 et I 1 des courants (avec la condition utilisée en 3.1, les courants I 0 et I, sont en quadrature) ; le facteur de puissance de la machine. Les résultats seront présentés dans un tableau. I = f 10Hz 80Hz 67Hz K (V/Hz),48,48 0,385 N s = 30. f ee tt. min 1 300 400 18810 C u 0,95 K ee A 4, 4, 7,3 Δf = R I K ee HH 0,51 0,51 1,3 N = 1 Δf f. N s ee tt. min 1 85 385 18171 π. N P u = C u. 30 ee W 98 498 1909 P a = C u. π. N s 30 ee W 314 513 19698 I 0 = K π. L 0 ee A I 1 = I 0 + I ee A 3,8 3,8 3,7 4, 4, 7,5 U 1 = 3. V 1 = 3. K. f ee V 43 344 418 Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 9 sur 17

cccc = P a 0,17 0,17 0,99 3. U 1 I 1 Δf. L.. π R 0,004 << 0,3 Sans problème Q. Vérifier que la condition établie en 3.1 est justifiée. 0,004 << 0,3 Sans problème 0,174 << 0,3 Trop juste Voir ci-dessus. Pour f variant de 10 Hz à 97,5 Hz, si le couple utile demandé est faible, conserver le rapport K constant n'est pas forcément la meilleure solution. On se place dans la condition du 3.1, donc I 0 et I sont en quadrature. Q3. Exprimer la valeur efficace de I 1 en fonction de L 0, K et Cu. I 1 = I 0 + I = K π. L 0 + C u 0,95 K Q4. Déterminer la valeur K0 qui minimise la valeur de I1 en fonction de Cu. La valeur efficace du courant I1 est minimale pour la vaeur K0 de K qui rend minimale la somme K + C u π.l 0 0,95 K. Or C le produit de ces deux termes est constant et vaut u (1,9.π.L 0 ). Cette somme est donc minimale lorsque les deux termes sont égaux. K π. L 0 = C u 0,95 K K 0 = C u.. π. L 0 0,95 Q5. Application numérique: Pour Cu = 10 Nm et Cu = 86 Nm, déterminer K PPPP C u = 10 N. m, oo a K 0 = 1,04 V. Hz 1 ee I 1 = 14, A PPPP C u = 86 N. m, oo a K 0 = 3,07 V. Hz 1 ee I 1 = 41,7 A ACTIVITE : Etude de la motorisation de broche tour transmab 00 3.5 Présentation L'étude porte sur la commande de vitesse de la broche du tour Transmab 00 de la société Somab-Cazeneuve. On fournit quelques informations issues de la notice technique: La broche est entraînée par un moteur asynchrone LEROY SOMER de 3 kw: LS 100 L - 3 kw B14-30 / 400 V - 50 Hz - 1500 tr/min La vitesse maximum est de 4000 tr/min. La transmission moteur- broche, en attaque directe, est assurée par deux courroies type spz. Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 10 sur 17

Diamètre primitif de la poulie motrice: 15 mm, celui de la poulie réceptrice: 130 mm. Le couple disponible à la broche entre 00 et 140 tr/min est de 0 Nm. On s'intéresse dans ce problème aux propriétés du couple moteur ainsi qu'au comportement de la motorisation lors d'une phase d'usinage. 3.6 Détermination de quelques caractéristiques du moteur asynchrone La documentation technique de la machine porte les indications suivantes : Couplage étoile : U =400 V I=7,1 A cosφ = 0,79 Couplage triangle : U =30V I=1,3 A cosφ = 0,79 P=3kW N = 140 tr/min La machine est alimentée par un réseau triphasé 400 V/50 Hz. Quelle est la fréquence de rotation Ns, du champ tournant ainsi que le nombre de paires de pôles de la machine N S = 60. f p = 1500 tt. min 1 donc p= Q. Pour le point de fonctionnement nominal, calculer le glissement g n, le couple Cn et le rendement η n g n = N s N 1500 140 = = 0,053; C N s 1500 n = P uu = 3000 Ω n 140. π 30 = 0, N. m ; η n = P uu 3000 = P aa 3400.7,1.0,79 = 0,77 3.7 Détermination des éléments du schéma équivalent, étude du couple On étudie les propriétés du couple moteur à partir du schéma équivalent par phase ramené au stator. On exploite les données de la documentation technique pour déterminer les impédances du schéma. On rappelle ci-dessous ce schéma avec : R résistance d'une phase du rotor ramenée au stator. X' réactance cyclique d'une phase du rotor ramenée au stator, avec X' = L' ω, ω = πf où f est la fréquence des courants statoriques. La résistance et la réactance cyclique de fuites d'une phase du stator sont négligées. Ωs est la vitesse angulaire de rotation du champ tournant. V1 : tension simple, I1:courant en ligne Montrer que le couple électromagnétique développé par la machine peut se mettre sous la forme: Voir cours Q. Montrer que la courbe Cm(g) passe par un maximum C M pour une valeur g M du glissement. g M = R X C M = 3. V 1 1. Ω S. X Q3. Monter que C M est proportionnel à (V 1/f). Comment cette propriété est-elle exploitée dans les variateurs de vitesse pour moteur asynchrone? C M = 3. p. V 1 ω. 1 3. p.. L = ω 8π L. V 1 f Cette relation prouve que CM est proportionnel à (V 1/f). Q4. Montrer que Cm peut s'écrire : Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 11 sur 17

On pose x = g = g.x g M R : on retrouve l expression demandée. La documentation technique donne la valeur du couple de démarrage : Cd =,8 Cn. Q5. Calculer g M et C M. Tracer l'allure de Cm(g). C m = C d =,8. 0, = 56,6 N. m pppp x = 1 g M ; ee C m = C n = 0, N. m pppp x = g n g M On a donc un système de deux équations à deux inconnues : g M 56,6 =. C M. 1 + g M g M 0, =. C M. 1 + g où g n = 0,053 C M = 80N. m ee g M = 0,41 M On peut faire le calcul en faisant l hyppothèse que g n g M dddd ll pppppp llléaaaa. Q6. Déterminer R' et X'. En déduire I' n valeur de I' au point nominal. C M = 3. V 1 1. Ω S.X = 80N. m d où X = 6,3 Ω et g M = R 0,41 dddd oo ooooooo R =,6 Ω On pose Z l impédance complexe équivalente à R X = g en série avec j. X. Au point nominal, en prenant la tension V 1 comme origine des phases, on peut écrire que : I n = V 1 = V 1 Z R = gn +j.x Q7. V 1 R gn ; arctan g n. X + X R = [4,6 A; 7,3 ] A partir du point de fonctionnement nominal, déterminer I * 0. En déduire R 0 et X 0 I 1 = [7,1 A; 37,8 ] ccc cos φ = 0,79 aa ppppp nnnnnnn d aaaaa ll lll ddd nnnnnn, I 0 = I 1 I = [7,1; 37,8 ] [4,6; 7,3] = [3,9; 75, ] I OOOOOOO = 30 R 0 I OOéaaaaaa = 30 X 0 Q8. = I 0 cos 75, = 1A d où R 0 = 30Ω = I 0 sin 75, = 3,8A d où X 0 = 61Ω Que représente la puissance dissipée dans R 0? La puissance dissipée dans R 0 représente les pertes fer au stator du moteur. On utilisera au choix Z =ρe jφ ou Z = {ρ ; φ} pour l'écriture des nombres complexes. 3.8 Caractéristique du couple lors d'une phase d'usinage La motorisation permet un fonctionnement dans les limites suivantes : Couple constant égal à sa valeur nominale pour des vitesses inférieures à sa vitesse nominale ; Puissance constante égale à sa valeur nominale pour des vitesses supérieures à sa vitesse nominale et inférieures à sa vitesse maximale Nmax = 4000 tr/min. Le rapport de transmission sera pris égal à 1. L'inertie de l'ensemble des parties tournantes ramenées au moteur est J = 0,1 kg.m. Tracer les courbes de puissance P(N) et de couple C(N) que peut fournir la motorisation en fonction de la fréquence de rotation N en tr/min. Fonctionnement à couple constant : Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 1 sur 17

Le moteur peut fournir en régime établi sans échauffement excessif, le couple nominal Cn pour toute vitesse comprise entre 0 et Ωn. C C n P C n(ππ) aaaa C 30 n = 0, N. m Fonctionnement à puissance constante La puissance que peut fournir le moteur en régime établi est constate et égale à sa valeur nominale. C P n ππ 30 P P n aaee P n = 3 kk Lors d'une phase de dressage d'une face, on programme une avance de l'outil f de 0,1 mm/tr (soit 1,59.10-5 m/rad) ainsi qu'une vitesse de coupe constante Vc= 40 m/min (soit 4 m/s), dans la limite de N max Le diamètre de la pièce est D = 60 mm. La projection suivant la direction de V, de la réaction de l'outil sur la pièce est constante et vaut F = 600 N. La position de l'outil est repérée par la variable R. Q. Quelle est la fréquence de rotation N0 en tr/min de la pièce au début de l'usinage? R 0 rrrrésssss ll rrrrr dd ll ffff ddddddd: R 0 = D 0 = 30 mm aa débbb dd l uuuuuuu : V c = R 0. Ω 0 N 0 = 30. V c = 173 tt. min 1 π. R 0 Q3. Pour quelle valeur R1 de la position de l'outil atteindra-t-on la vitesse de 4000 tr/min? OO aaaaaaa ll vvvvvvv dd 4000 tt. min 1 lllllll R 1 = 30V c π. N max = 9,55 mm Q4. Dans la phase à vitesse de coupe constante, montrer que R(t) peut se mettre sous la forme : DDDD ll phaaa dd ccccc à vvvvvvv ccccccccc, ll rrrrrrrr lllll l aaaaaa dd l oooooo à l aaaaaaa rrrrrrrr θ dd ll bbbbhe eee: dd = f. dd aaaa Ω = dd dd = V c R d où dd. R = f. V c PPP iiiéggggggg eeeee t = 0 (R = R 0 ) ee t, oo ooooooo: R(t) = R 0. 1 t aaaa t t 0 = R 0 0 f. V c Q5. Donner l'expression littérale de t0. En déduire l'expression de Ω(t). OO ee dédddd Ω(t) = V c R(t) = V c R 0. 1 t t0 Q6. Montrer que le couple développé par le moteur pendant la phase à vitesse de coupe constante peut se mettre sous la forme : J. dω dd = C m C r F. R d où C m = J. dω + F. R dd dω = d dd dd V c. 1 t 1 = V C. 1 t R 0 t 0.R 0.t 0 t 0 f V c. Ω 3 d oùl eeeeeeeeee ddddddée 3 = f V c. V C 3 R 0 3. 1 t t 0 3 = Q7. Calculer la fréquence de rotation pour laquelle le couple atteint une valeur limite. Que se passe-t-il au-delà? L étttt dd ll ffffffff C m (t)pppp N = 30Ω π vvvvvvv dd 173tt. min 1 à 4000 tt. min 1 mmmmmm qqq ll ccccccc llllll pppppp eee aaaaaaa dddd ll phaaa dd ffffffffffffff à ppppppppp ccccccccc. OO a aaaaa N = 188 tt. min 1 ee C m = 15, N. m Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 13 sur 17

4 ACTIVITE : Etude de la motorisation d un extracteur de minerai La production de houille nécessite, outre son extraction, un nombre important de traitements (déferraillage, concassage des morceaux de charbon trop gros, tri, calibrage,... ). Après son extraction, le minerai est remonté en surface et stocké dans une trémie. L'extracteur est un tapis roulant (cf. figure ci-dessous), formé de plaques d'acier, qui transfère en continu le minerai de la trémie vers la zone de déferraillage (suppression des morceaux de ferraille mélangés au minerai). Le minerai provenant de la trémie est déversé sur un tapis fixe. Des raclettes sont réparties à intervalles réguliers sur trois chaînes d'entraînement à maillons. Elles évacuent le minerai par un mouvement de "balayage" continu sur le tapis. L'ensemble chaînes + raclettes est entraîné par un groupe moto réducteur. La motorisation de l'extracteur est assurée par une machine asynchrone triphasée. 4.1 Etablissement du modèle du moteur asynchrone La machine est un moteur asynchrone triphasé à cage, 30 V I 400 V, 50 Hz. On a fait deux essais sous tension et fréquence nominales en fonctionnement moteur et on a observé : A vide, un courant de ligne 10 = 5 A et une puissance absorbée P0 négligeable. Sous charge nominale, un courant de ligne ln= 8 A, une puissance absorbée Pn = 16,5 kw et une vitesse du rotor Nn = 1455 tr/min. Dans toute cette partie, on néglige les résistances et inductances de fuites statoriques, ainsi que les pertes mécaniques. Le réseau d'alimentation triphasé est un réseau 30 V/ 400 V, 50 Hz. Préciser le couplage du stator. Couplage étoile car la tension aux bornes d un enroulement est de 30 V (tension simple) Q. p 50.60 Ω n Préciser le nombre de paire de pôles p de cette machine. Justifier votre réponse. Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 14 sur 17

Q3. Dans l'essai sous charge nominale, calculer: - le glissement g n ; g n = cccφ n = 1500 1455 1500 = 0.03 (3%) - le facteur de puissance ccc φ n ; P n 3VI n = 16.5.103 3 30 8 = 0.854 Q n = P tan φ n = 10.1 10 3 kkkk C n = P tt = P n = 16.15.103 Ω s Ω s 1500. π = 105 N. m 30 - la puissance réactive absorbée Q n ; - le couple électromagnétique nominal C n ; P jj = P tt. g n = P n. g n = 495 W - les pertes joules rotoriques P jn Q4. Dans l'essai à vide, calculer la puissance réactive absorbée Q 0. Q 0 = S 0 = 3. V. I 0 = 3450 VVV Q5. La figure 1 donne un modèle équivalent d'une phase de la machine. Rappeler la signification de V, Rs, Xs, R1, Xm, R, X et g. V : tension simple Rs : Résistance statorique Xs : Réactance de fuite d une phase du stator Rf : resistance perte fer Xm : Réactance magnétisante X : Réactance de fuite du rotor ramenée au stator R/g : résistance de phase du rotor ramenée au rotor G : glissement Q6. Compte tenu des approximations faites, on utilise le modèle simplifié proposé en figure. Calculer les valeurs numériques de Xm, R et X. A vide : Q 0 = 3. X m. I 0 d où X m = Q 0 3.I 0 = 46 Ω En nominal : P = P n = 16,5 kk Q = Q n Q 0 = 1000 3450 = 6750 VVV S = P + Q = 17800 VV I = S 3V = 5,8A P = 3. R. I R g Q = 3. X. I = P.g 3.I = 0,5Ω X = Q 3.I = 3,4Ω Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 15 sur 17

4. Caractéristique mécanique du moteur asynchrone On utilise le modèle simplifié de la figure et on donne X m = 50 Ω, R = 0,3 Ω et X= 3,3 Ω. Montrer que le couple électromagnétique Cm développé par la machine peut s'écrire: C m = 3. V Ω S R g R g + X où Ωs est la vitesse de synchronisme en rad/s. P tt = 3. R g I = C m. Ω s I = V X + R g d où C m = 3 Ω s R g Montrer que C m passe par un extremum C max pour g =g max Cmax pour g tel que g. X + R minimum g Exprimer g max et C max en fonction de V, Ω S, R et X. V = X + R g 3.V.R Ω s. g.x + R g On dérive par rapport à g : X R g = 0 d où g mmm = R X C mmm = 3.V.R = 3.V = 160 NN Ω s..x.r Ω s..x Exprimer le couple électromagnétique de démarrage Cd en fonction de V, Ωs, R et X. Couple de démarrage pour g=1 : C D = 3.V.R = 9 NN Ω s.(x +R ) Q. Exprimer la valeur efficace I du courant de ligne en fonction de V, Xm. R, X et g. I = V Z avec Z = j.x m. R g +j.x R g +j.(x+x m) R I = V g +(X m +X). X m R g +X Q3. Tracer les allures de Cm et I en fonction de la vitesse du rotor rom pour 0 < ωm < Ωs. Préciser les points remarquables. Insérer courbes 4.3 Etude de l'association du moteur avec un onduleur autonome Le moteur, objet de l'étude précédente, est alimenté par un onduleur autonome triphasé. L'alimentation triphasée délivrée par l'onduleur au moteur a donc une valeur efficace composée U, une fréquence f et une pulsation ω. Le moteur sera maintenant couplé en étoile. On utilise toujours le modèle simplifié de la figure et on donne Xm = 50 Ω, R = 0,3 Ω et X= 3,3 Ω. L'onduleur permet à l'utilisateur de régler f tout en conservant le rapport K 0 = U/f constant, préciser: - l'intérêt, pour l'extracteur du réglage de f; Régler la vitesse du moteur Travailler à couple max constant - l'intérêt, pour le moteur, de garder le rapport U/f constant ; - la valeur numérique du rapport U/f pour la machine étudiée dans la partie 1. K 0 = U f = 400 50 = 8 V. Hz 1 C mmm = 3. V Ω s.x = 3. p. V 8.π.f.L = g = ΔΩ Ω s C m = Q. p 8.π.L. U f On pose ΔΩ = Ωs - ωm et X = Lω, exprimer Cm en fonction de K0, p, R, L et ΔΩ. et Ω s = ω p =.π.f p 3.V.R = K0. p.r Ω s. g.x + R g 4.π R ΔΩ +L.p.ΔΩ Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 16 sur 17

Comment se déduisent alors les courbes du couple Cm en fonction de la vitesse du rotor ωm les unes des autres quand on fait varier la fréquence? Lorsque f varie, les courbes glissent car pour un meme ΔΩ on a un Cm qui ne bouge pas. Q3. Sur un même graphe, tracer les allures du couple électromagnétique Cm en fonction de la vitesse du rotor ωm pour f = 30 Hz, f = 40 Hz et 0 < ωm < Ωs. Préciser les points remarquables. Q4. Insérer courbes En survitesse (au-delà de f = 50 Hz), on garde U constant, le rapport Ko n'est donc plus constant. Pourquoi? Qu'est-ce que cela implique pour l'extremum Cmax? Cela peut-il induire un dysfonctionnement de la machine? en survitesse, f>50 Hz, il faut U>400V, il faut donc que K0 diminue donc Cmax diminue. Q5. Quand l'extracteur est chargé, il développe un couple résistant ramené sur l'arbre moteur Cs égal à 40 Nm (ce couple tient compte de la totalité des charges ainsi que des pertes dans la chaîne cinématique). Calculer f pour que le moteur tourne à 1337 tr/min, puis à 1600 tr/min. N = 1337 tt/min donc < 50HH, on a donc K 0 = 8V/Hz C m = 40. NN donc Ω s = ΔΩ s + Ω m et Ω s =.π.f p d où N = 1600 tt/min donc > 50HH, on calcule Ω s avec C m = 3. V Ω S. f = 45.HH R g R g +X avec g = Ω s Ω Ω s on trouve f = 54 HH Lycée Chaptal (8 ) PT x Page 17 sur 17