1 S Automath sur les suites (1) La fiche est construite autour d une liste de savoir-faire. A faire au brouillon et se corriger au fur et à mesure. Savoir calculer des termes d une suite Exercice 1 : a) Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 3x + 2. u On définit la suite (u n ) n 0 en posant { 0 = 5 u n+1 = f(u n ) pour n 0 Calculer u 2 b) Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 1 x x 2 +1. On définit la suite (u n ) n 0 en posant u n = g(n). Calculer les trois premiers termes de cette suite. c) Soit la suite (p n ) n 0 définie par : { p 0 = 12 p n+1 = p n 5 pour n 0 Calculer p d) Soit la suite (w n ) n 0 définie par : { w 0 = w n+1 = 3 + w n pour n 0 Calculer w 15000 e) Soit la suite t définie par : { t 0 = 5 t n+1 = t n 3n pour n 0 Calculer t 2 f) Soit (v n ) n 0 la suite arithmétique de premier terme 8 et de raison 1. Calculer v 11 Savoir étudier la nature d une suite Exercice 2 : u a) La suite (u n ) n 0 définie par { 0 = 5 u n+1 = 2u n 1 pour n 0 est-elle arithmétique? b) La suite (u n ) n 0 définie par u n = 5 n+1 5 n est-elle géométrique? c) La suite (u n ) n 0 définie par u n = 5 n+1 3 n est-elle géométrique? d) La suite (v n ) n 0 définie par { v 0 = 4 v n+1 = 9 v n pour n 0 est-elle géométrique? e) Quelle est la nature de la suite w définie pour tout entier naturel n par w n = 4n+1 3 n? f) Quelle est la nature de la suite t définie pour tout entier naturel n par t n = 5 3n? Savoir représenter graphiquement une suite u n = f(n) Exercice 3 Représenter graphiquement la suite u définie par u n = (n 3) 2 n 5 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 1 sur
Exercice 4 Voici la représentation d une fonction f définie sur R. On définit la suite w en posant : w n = f(n) pour n 0 Lire graphiquement les 4 premiers termes de la suite w Savoir représenter graphiquement une suite définie par récurrence Exercice 5 Exercice 1 page 11 et son corrigé Savoir modéliser Voici un procédé pour empiler des cubes. On considère la suite u qui à étape donne le nombre de cube de l étage du bas de l empilement. Donner une définition de u par récurrence. Exercice 9 Compléter en utilisant un coefficient multiplicateur a) Augmenter un prix de 15 % revient à le multiplier par. b) Baisser un prix de 1 % revient à le multiplier par Compléter en utilisant des pourcentages c) Multiplier un prix par 0,9 revient à d) Multiplier un prix par 1,3 revient à 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 2 sur
Exercice 10 Intérêts simples Dans un placement à intérêt simple, les intérêts sont calculés sur base du capital initial, du taux d'intérêt et de la durée. Cela signifie qu'on ne capitalise pas les intérêts d'une année à l'autre et on se contente de replacer le capital de départ à la fin de chaque période jusque la fin de la durée du placement. On place 200 euros au taux de 1,3 % annuels. Soit u la suite qui donne le montant disponible au bout de n années. a) Définir u par récurrence b) Ecrire u n en fonction de n Exercice 11 Intérêts composés Dans un placement à intérêt composé, on capitalise les intérêts de chaque année pour les années d'après. On place 200 euros au taux de 1,3 % annuels. Soit v la suite qui donne le montant disponible au bout de n années. a) Définir v par récurrence b) Ecrire v n en fonction de n Savoir utiliser les notations Exercice 12 a) Soit la suite v définie par v n = 1 3n pour n 0 Calculer v n+1 v n Que peut-on en déduire? b) Soit la suite u définie par u n = 2n+2 3 n+1 Calculer u n+1 u n Que peut-on en déduire? v c) Soit par { 0 = 4 v n = 3 v n 1 1 pour n 1 Pour n 0, écrire v n+1 en fonction de v n d) Soit u la suite définie par : u n = 3 n 2 + 2 Ecrire u n+1 et u n + 1 en fonction de n 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 3 sur
Exercice 1 Pour se corriger Question a u 1 = f(u 0 ) = 3 u 0 + 2 = 3 5 + 2 = 1 u 2 = f(u 1 ) = 3 u 1 + 2 = 3 1 + 2 = 53 Question b Question c u 0 = g(0) = 1 0 0 2 +1 = 1 u 1 = g(1) = 1 1 1 2 +1 = 0 u 2 = g(2) = 1 2 2 2 +1 = 1 5 On remarque que p n+1 = p n 5 = 1 5 p n donc : { p 0 = 12 p n+1 = 1 5 p n pour n 0 On reconnait la définition de la suite géométrique de premier terme 12 et de raison 1 5 Donc p = 12 ( 1 5 ) = 12 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 = 12 5 = 12 8 125 Question d On remarque que w n+1 = w n + ( 3) donc (w n ) n 0 est une suite arithmétique de raison 3 Donc w 15000 = + 15000 ( 3) = 44 900 Question e t 0 = 5 t 1 = t 0 3 1 = 5 3 = 2 t 2 = t 1 3 2 = 2 6 = 4 Question f Comme la suite est arithmétique, v n = v 0 + n r donc v 11 = 8 + 11 1 = 8 + 11 = 6 Exercice 2 Question a On remarque que u n+1 = 2u n 1 = u n + u n 1 la suite ne devrait pas être arithmétique car ce qu on ajoute pour passer de u n à u n+1 (en rouge) devrait être variable. u 0 = 5 u 1 = 2 u 0 1 = 2 5 1 = 9 u 2 = 2 u 1 1 = 2 9 1 = 1 +5 +9 Comme u 1 u 0 u 2 u 1 la suite n est pas arithmétique. Question b u n = 5 n+1 5 n = 5 5 n 1 5 n = (5 1) 5 n = 4 5 n pour n 0 On reconnait la forme u n = u 0 q n avec u 0 = 4 et q = 5 La suite u est une suite géométriue de raison 5 et de premier terme 4 Question c u 0 = 5 0+1 3 0 = 5 1 = 4 u 1 = 5 1+1 3 1 = 5 2 3 = 22 u 2 = 5 2+1 3 2 = 116 Comme u 1 u 0 u 2 u 1 22 4 donc la suite n est pas géométrique 116 22 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 4 sur
Question d { v 0 = 4 v n+1 = 9 v n = 9 v n pour n 0 On reconnait la définition par récurrence d une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 9 Question e Règle que nous avons utilisée : il n y a que des multiplications et des divisions qui ont la même priorité donc l ordre n a pas d importance. On reconnait le terme général d une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 4 3 Question f t n = 5 3n = 5 3n = 5 + ( 3 ) n On reconnaît la forme u 0 + r n avec u 0 = 5 et 3 Donc t est la suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3 Exercice 3 Exercice 6 A l étape 1, il y a 1 seul étage d un cube : u 1 = 1 A l étape 2, l étage du bas a 5 cubes : u 2 = 5 A l étape 3, l étage du bas a 9 cubes : u 3 = 9 A l étape 4, l étage du bas a 13 cubes : u 4 = 13 A l étape 5, l étage du bas a 13 cubes : u 4 = 1 u La suite donnant le nombre de cubes de l étage du bas et définie par : { 1 = 1 u n+1 = u n + 4 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 5 sur
Exercice 9 Augmenter un prix de 15 % revient à le multiplier par 1,15 Baisser un prix de 1 % revient à le multiplier par 0,99 car car + 15 = 115 = 1,15 1 = 99 = 0,99 Multiplier un prix par 0,9 revient à le diminuer de 3 % car 0,9 = 9 = 3 Multiplier un prix par 1,3 revient à l augmenter de 1,3 car 1,3 = 130 = + 30 Exercice 10 1,3 Intérêts simples 200 = 2,6 chaque année, les intérêts sont de 2,6 euros pour 200 euros placés. le capital augmente suivant le modèle d une suite arithmétique. Question a { u 0 = 200 u n+1 = u n + 2,6 pour n 0 Question b u n = 200 + 2,6 n pour n 0 Exercice 11 Intérêts composés 1,3 200 = 2,6 chaque année, le capital augmente de 1,3 %, c est-à-dire qu il est multiplié par 1,013 le capital augmente suivant le modèle d une suite géométrique Question a { u 0 = 200 u n+1 = u n 1,013 pour n 0 Question b u n = 200 1,013 n pour n 0 Exercice 12 Question a v n = 1 3n c est à dire v truc = 1 3 truc donc v n+1 = 1 3(n+1) = 1 3n 3 = 3n 2 v n+1 v n = 3n 2 1 3n = 3n 2 (1 3n) = 3n 2 1+3n = 3 Donc v n+1 = v n + ( 3 ) donc v est une suite arithmétique de raison 3 Question b u n = 2n+2 donc u 3 n+1 n+1 = 2(n+1)+2 3 u n+1 u n = 2 n+3 3 n+2 2 n+2 = 2n+3 3 3 n+1 2n+3 (n+1)+1 = 3 n+2 3n+1 2 2 2 2 2 3 3 3 n+2 2n+2 = 3 3 3.. 3 2 2 2.. 2 = 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 = 2 3 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page 6 sur
Il n y a que des multiplications et des divisions qui ont la même priorité donc on peut calculer dans l ordre où on le veut. Il y a un 2 de plus au numérateur qu au dénominateur et il y a un 3 de plus au dénominateur qu au numérateur. u n+1 u n = 2 3 en multipliant chaque membre par u n (non nul) u n+1 = 2 3 u n Donc la suite u est une suite géométrique de raison 2 3 Question c v n = 3 v n 1 1 on remarque que le terme v n est le suivant du terme v n 1 donc v entier suivant = 3 v entier 1 v n+1 = 3 v n 1 pour n 0 Question d u n+1 = 3(n + 1) 2 + 2 = 3(n 2 + 2n + 1) + 2 = 3n 2 + 6n + 3 + 2 = 3n 2 + 6n + 5 u n + 1 = 3n 2 + 2 + 1 = 3n 2 + 5 1S Automath - Debut des suites.docx F. de Verclos (lycée Saint-Marc) Page sur