PROBLEME N 1 Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules : Formule A : on paie 40 pour devenir adhérent pour l année scolaire puis on paye 10 par mois de garderie. Formule B : pour les non adhérents, on paye 18 par mois. 1. Pour chacune des formules, calculer le prix payé pour 10 mois de garderie. 2. On appelle x le nombre de mois de garderie. On note y A le prix payé avec la formule A et y B le prix payé avec la formule B. Exprimer y A puis y B en fonction de x. 3. Représenter graphiquement les fonctions suivantes dans un même repère : x y A = 10x + 40 et x y B = 18x. L origine du repère sera placée en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré. On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse. On prendra 1 cm pour 10 en ordonnée. 4. a. A partir du graphique, déterminer le nombre de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes. b. Retrouver ce résultat par le calcul. 5. A partir du graphique, déterminer la formule la plus avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l année. 6. On dispose d un budget de 113. Combien de mois de garderie au maximum pourra-t-on payer si l on choisit la formule A?
PROBLEME N 2 x A B 4 D C On donne les figures suivantes : 1. Exprimer en fonction de x l'aire A ABCD du rectangle ABCD. 2. Exprimer en fonction de x l'aire A EFGH du quadrilatère EFGH. 3. Dans un repère orthonormal, tracer en justifiant : - la représentation graphique (d) de la fonction f définie par : x a 4x. - la représentation graphique (d') de la fonction g définie par : x a 2x + 3. E F 2 H I G x 4. a) Calculer l'aire du rectangle ABCD pour x = 3. b) Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera les traits nécessaires). 5. a) Calculer la valeur de x pour que l'aire du quadrilatère EFGH soit égale à 15 cm 2. b) Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires). 6. a) Résoudre graphiquement l'équation 4x = 2x + 3. b) Retrouver ce résultat en résolvant l'équation 4x = 2x + 3. c) Comment interpréter ce résultat pour le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH? 3
PROBLEME N 3 Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville. A huit heures du matin les deux personnes commencent à rouler l un vers l autre : Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60 km/h. Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km/h. On note x le temps écoulé depuis huit heures du matin (x est exprimé en heures). Ainsi, quand il est huit heure du matin, x = 0. Après avoir roulé une heure, c est à dire quand x = 1, Monsieur Martin est à 60 km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810 km de Petitville. A quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il Quand x = 4? quand x = 10? A quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il Quand x = 4? quand x = 10? Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville. Exprimer en fonction de x la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville 4) On donne les fonctions suivantes f : x a 60x et g : x a 900-90x. Recopier sur la copie les tableaux suivants et les compléter : x 0 1 4 10 x 0 1 4 10 f (x) g(x) Représenter graphiquement les fonctions f et g sur une feuille de papier millimétré en prenant en abscisse : 1 cm pour une durée d une heure. En ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km. A l aide d une lecture graphique, déterminer : La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent. A quelle distance de Petitville se croisent-ils? Faire apparaître les pointillés nécessaires. a) Retrouver le résultat de la question 6) a) en résolvant une équation. b) Retrouver le résultat de la question 6) b) par le calcul.
PROBLEME N 4 On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 4 cm. PARTIE 1. 1. Construire ce triangle. 2. Placer le point M sur le segment [AB] tel que BM = 3,5 cm et tracer la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (AB) ; elle coupe le segment [BC] en E. a) Calculer AM. b) Démontrer que les droites (AC) et (ME) sont parallèles. c) Calculer EM (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). d) Le triangle AEM est-il un triangle isocèle en M? PARTIE 2. On souhaite placer le point M sur le segment [AB] de façon à ce que le triangle AEM soit isocèle en M comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire. On rappelle que AB = 6 cm et AC = 4 cm. 1. On pose BM = x (on a donc 0 x 6). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que ME = 2 3 x. 2. Première résolution du problème posé. a) Montrer que MA = 6 x. C E b) Calculer x pour que le triangle AME soit isocèle en M. A M B 3. Soit un repère orthogonal avec pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. a) Représenter dans ce repère les fonctions f et g définies par f(x) = 2 x et g(x) = 6 x pour 0 x 6. 3 b) En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question 2b).
PROBLEME N 5 On dispose d'un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela, on veut installer une cloison. Voici ci-dessus, une représentation de la pièce. La partie (2) est le cagibi et la partie (1) représente le séjour après la création du cagibi. La cloison a été dessinée en pointillés. Dans l'exercice, on considérera que la cloison a une épaisseur nulle. Les trois parties sont indépendantes. PARTIE 1 (3 Points) On considère que x = 3 m. 1. Quelle est la longueur de la cloison (en pointillé)? 2. Calculer la valeur (à 1 près) de l'angle a HDC? 3. Calculer la valeur (à 1 près) de l'angle a DHB? PARTIE 2 (6 Points) 1.a. Exprimer la surface au sol du cagibi (2) en fonction de x, sous la forme f(x) =... b. Exprimer la surface au sol du séjour (1) en fonction de x, sous la forme g(x) =... 2. On admet que f(x) = 2x et que g(x) = 48 2x. a. Quelle est la nature de la fonction f? Quelle est la nature de la fonction g? b. Tracer dans un repère (abscisse : 1 cm pour 0,5 unités et en ordonnées, 1 cm pour 5 unités) les représentations graphiques des fonctions f et g pour x compris entre 0 et 10. 3. On veut que le séjour (1) ait une surface minimale de 35 m². a. Lire sur le graphique la valeur maximale de x pour que cette condition soit respectée. b. Ecrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 35 m². c. Résoudre cette inéquation. PARTIE 3 (3 Points) On réalise une maquette de cette pièce, avant la création du cagibi, à l'échelle 1/200. 1. Rappeler ce que signifie "échelle 1/200"? 2. Quelle sera, sur la maquette, la longueur du mur de 12 m? 3. La surface réelle du séjour est de 48 m². Quelle est la surface du sol du séjour dans la maquette (en cm²)? 4. Le volume du séjour de la maquette est de 13,125 cm 3. Quel est le volume réel du séjour (en cm 3 puis en m 3 )?
PROBLEME N 6 Un fournisseur d accès à Internet propose à ses clients 2 formules d abonnement : Une formule A comportant un abonnement fixe de 20 par mois auquel s ajoute le prix des communications au tarif préférentiel de 2 de l heure. Une formule B offrant un libre accès à Internet mais pour laquelle le prix des communications est de 4 pour une heure de connexion. Dans les deux cas, les communications sont facturées proportionnellement au temps de connexion. Pierre se connecte 7 h 30 min par mois et Annie 15 h par mois. Calculer le prix payé par chacune des deux personnes selon qu elle choisit la formule A ou la formule B. Conseiller à chacune l option qui est pour elle la plus avantageuse. On note x le temps de connexion d un client, exprimé en heures. On appelle P A le prix à payer en euros avec la formule A et P B le prix à payer en euros avec la formule B. Exprimer P A et P B en fonction de x. Dans le repère orthogonal de l annexe, tracer : * la droite (d), représentation graphique de la fonction f : x 2x + 20 * la droite (d ), représentation graphique de la fonction g : x 4x En faisant apparaître sur le graphique précédent les traits nécessaires, répondre aux deux questions suivantes : a. Coralie, qui avait choisi la formule B a payé 26. Combien de temps a-t-elle été connectée? b.jean se connecte 14 h dans le mois. Combien va-t-il payer selon qu il choisit la formule A ou la formule B? Résoudre l inéquation : 4x 2x + 20. Que permet de déterminer la résolution de cette inéquation dans le contexte du problème?
PROBLEME N 7 ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm. Première partie. A B M est le point du segment [BC] tel que BM = 2 cm N est le point du segment [CD] tel que CN = 2 cm. M D N C 1. Calculer AM sous la forme a b (b nombre entier le plus petit possible) 2. Démonter que l aire du quadrilatère AMCN est 10 cm 2. Deuxième partie. A B M Les points M et N peuvent se déplacer respectivement sur les segments [BC] et [CD] de façon que BM = CN = x (0 < x 4) D N C 1. Exprimer l aire du triangle ABM en fonction de x. 2. a. Calculer DN en fonction de x. b. Démontrer que l aire du triangle ADN en fonction de x est 2x + 12. 3. a. Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ =1 cm, représenter graphiquement les fonctions affines f : x f(x) = 3x et g : x g(x) = - 2x + 12 b. Calculer les coordonnées du point R intersection de ces deux représentations. 4 a. Pour quelle valeur de x les aires des triangles ABM et ADN sont-elles égales? Justifier la réponse. b. Pour cette valeur de x, calculer l aire du quadrilatère AMCN.
PROBLEME N 8 Trois artisans, Arthur, Bernard et Charles, fabriquent chaque mois le même nombre de jouets. Leur salaire mensuel est calculé de la façon suivante : Arthur a un salaire de 9 000 francs Bernard a un salaire de 3 000 francs augmenté d'une prime de 50 francs par jouet qu'il a fabriqué Charles a un salaire de 4 000 francs augmenté d'une prime de 40 francs par jouet qu'il a fabriqué Compléter, sans justifier, le tableau ci-dessous représentant le salaire de chacun des artisans lorsque ceux-ci ont fabriqué : - 130 jouets pendant un mois - 100 jouets pendant un mois 130 jouets 100 jouets Salaire d'arthur Salaire de Bernard Salaire de Charles Soit x le nombre de jouets fabriqués pendant un mois. Exprimer les salaires respectifs d'arthur, Bernard et Charles. On les notera respectivement y A, y B et y C On se place dans un repère orthogonal et on prend les unités suivantes : sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 10 unités sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 500 unités On prendra l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré Construire dans ce repère les droites D 1, D 2 et D 3 d'équations : D 1 : y = 9000 D 2 : y = 50x + 3000 D 3 : y = 40x + 4000 A l'aide du graphique précédemment obtenu, répondre aux questions suivantes : A partir de combien de jouets fabriqués en un mois peut-on dire que Bernard aura un salaire supérieur ou égal à celui de Charles? A partir de combien de jouets fabriqués en un mois peut-on dire que Bernard aura un salaire supérieur ou égal à celui de Charles et à celui d'arthur? Les trois artisans peuvent-ils avoir le même salaire mensuel? Justifier 5) A partir du 1 er janvier 2002, les salaires seront versés en euros. Sachant qu'un euro vaut environ 6,56 FF, calculer le salaire en euros de chacun des trois artisans lorsqu'ils auront fabriqués 130 jouets. On donnera pour chaque salaire la valeur arrondie à 1 euro près.
PROBLEME N 9 Une crèche propose deux tarifs pour la garde d'un enfant. Tarif A : 15 euros par jour de garde Tarif B : Un forfait mensuel de 80 euros plus 5 euros par jour de garde Première partie En janvier, Grégoire a fréquenté la crèche 4 jours et Aurélien 15 jours. Calculer la dépense pour chacun des deux enfants avec le tarif A puis avec le tarif B On appelle x le nombre de jours de fréquentation en un mois Exprimer, en fonction de x, la somme A (x) payée avec le tarif A Exprimer, en fonction de x, la somme B (x) payée avec le tarif B Résoudre l'inéquation 5x + 80 < 15x. Interpréter le résultats Deuxième partie Toutes les lectures graphiques seront indiquées par des pointillés On considère les fonctions A et B définies par A (x) = 15x et B (x) = 5x + 80 Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal. Pour cela : Placer l'origine du repère en bas et à gauche Sur l'axe des abscisses, prendre 1 cm pour une journée de crèche Sur l'axe des ordonnées, prendre 1 cm pour 10 euros Construire les représentations graphiques des fonctions A et B Les représentations graphiques se coupent en E. Par lecture graphique, déterminer : a) Quelle est l'abscisse du point E? Que représente-t-il? b) Quelle est l'ordonnée du point E? Que représente-t-il? Retrouver les résultats de la question 2) par le calcul En lisant le graphique, donner la somme dépensée pour une fréquentation de 12 jours avec le tarif B. Retrouver ce résultat par le calcul Résoudre graphiquement A (x) = 90 puis interpréter le résultat
PROBLEME N 10 Partie A ( 4 points) La figure ci-dessous qui n'est pas à l'échelle est une vue du jardin de monsieur Durand. Il souhaite partager ce jardin en deux parties, l'une en pelouse, l'autre en potager. ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 50 m, AD = 30m et DC = 70 m A M B M est un point du segment [AB] On pose AM = x ( x est une distance exprimée en mètres) 1) Calculer l'aire du jardin de monsieur Durand 2) a) Donner un encadrement du nombre x b) Exprimer en fonction de x l'aire de AMGD (potager) potager pelouse c) En déduire que l'aire de BCGM (pelouse) en fonction de x est 1800 30 x 3) a) Pour quelle valeur de x la pelouse et le potager ont-ils la même aire? b) Quelle est alors la forme du potager? Partie B ( 5 points ) D G H C On se propose de représenter graphiquement la situation de la partie A à l'aide de deux fonctions f et g f est définie par f(x) = 30x g est définie par g(x) = 1800 30 x Que représente les fonctions f et g? Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous x 0 10 20 40 50 f(x) g(x) Sur une feuille de papier millimetré, construire un repère orthogonal : l'origine est placée en bas à gauche en abscisse, prendre 1 cm pour 5 m en ordonnée : prendre 1cm pour 100 m 2 Représenter alors les fonctions f et g dans ce repère Par lecture graphique (on indiquera ces valeurs en couleur et on les repérera à l'aide de pointillés) a) Pour quelle valeur de x a-t-on une pelouse de 900 m 2? b) Combien vaut l'aire de chaque partie du jardin si x = 15 m Partie C ( 3 points ) La pelouse, d'une aire de 900 m 2, est ensemencée avec un gazon au prix initial de 0,16 le m 2. Le vendeur accorde à monsieur Durand une remise de 5%. Calculer le prix payé par monsieur Durand Sachant que pour 40 euros, monsieur Durand aurait 50 plants de salade et 40 pieds de tomate alors que pour 50 euros, il aurait 25 plants de salade et 60 pieds de tomate, calculer le prix d'un plant de salade et le prix d'un pied de tomate