Chap:6 Circuits Linéaires Du 1 er Ordre Soumis à un échelon de tension Régime libre ou Régime transitoire et réponse à un échelon de tension
Introduction. Vie courante: Les circuits électriques de nombreux appareils domestiques sont fréquemment soumis à des échelons de tension. Il est donc intéressant d étudier comment s établit le régime permanent pour une association en série d un générateur, d un condensateur ou d une bobine avec une résistance.
Objectifs On s intéresse dans cette partie à des circuits électriques dans lesquels la tension aux bornes du générateur est une fonction du temps. On se placera dans le cadre de l ARQS ( Approximation des Régimes Quasi Permanents) c est-à-dire les effets de propagation sont négligés. (des fréquences << 1 MHz) Décrire le comportement de circuits comportant des R, L et/ou C série, soit connecté à une source, soit en absence de source (ou régime propre); afin de dégager des comportements commun tels que: durée du régime transitoire et comportement en régime permanent. Montrer que la tension (ou charge) et le courant circulant dans ces circuits sont solutions d équation différentielle du premier ordre. Réaliser des bilans de puissances puis en énergie lors des phases transitoires.
I. Quelques définitions générales 1. Régimes continu ou variable: Un régime est continu si les tensions et courants sont indépendants du temps. Un régime est variable lorsque les tensions et intensités dépendent du temps dans le circuit électrique. 2. Régime permanent: Il est dit permanent lorsque les caractéristiques des intensités ou des tensions ne varient pas au cours du temps. ( ex: régime continu) ou régime sinusoïdale pur pour un oscillateur) ( Rq: régime permanent régime continu) 3. Régime transitoire: (régime temporaire de durée limitée) C est le régime situé entre le moment où toutes les sources sont éteintes et le moment où le régime permanent est établi de façon de stable et continu. (ex: ouverture ou fermeture d un interrupteur)
4. Qu est-ce qu un échelon de tension ou de courant. C est le passage brusque d un signal électrique produit par une source de tension ou de courant. Exemple: On peut imposer un échelon de tension à l aide d un interrupteur manuel
Autre exemple pratique On peut imposer un échelon de tension à l aide d un générateur délivrant une tension en créneaux.
II. Réponse de l association d un circuit RC série à un échelon de tension 1. Modélisation du circuit électrique soumis à un créneau a) Expérience: YA u G = E 0 G i(t) R u R C i(t) Y B - cas où R>> r G. (sinon Rtotal= R+r G ) GBF: association d une f.é.m «E 0» +résistance interne r G (= 50 Ω). - influence de R et de C sur la courbe. u C(t) b) Observations: Allure de la courbe observée; - Le condensateur s oppose aux brusques variations de tension dans le circuit. - Il n y a pas de discontinuité de la tension aux bornes d un condensateur. - L intensité est discontinue aux bornes du condensateur.
2. Équation différentielle du premier ordre en Uc(t) et solution. A) Établissement de l Équation Différentielle du 1 er Ordre: Loi des mailles ou d additivité des tensions. RC + u(t) = E 0 Analyse dimensionnelle du produit RC: RC = temps en seconde Constante de temps: du circuit = R x C Avec R en Ω et C en F. ( ordre de grandueurde dans l expérince) B) Résolution de l E.D.1 er O dans le cas de la charge: Elle nécessite 2 étapes: 1) u c 1(t) solution générale de l équation homogène (sans second membre). 2) u p Solution particulière de l équation complète. 3) Conditions initiales: t ε [0;T/2] Continuité de U C (t) car NRJ est continue. u c (0-) = u c (0+) =0 V
3. Analyse de la Courbe lors de la charge Compatibilité de la solution avec la courbe: limite à l infini: Uc(t= ) = E 0 donc asymptote horizontale. Réponse du Circuit RC à un échelon de tension: Continuité de Uc(t) ou de la charge Q(t) en t=0 Uc(t) E 0 Solution de l E.Q.Diff du 1 er ordre Uc(t) E 0 E 0 Rappel : Q= CxUc, On peut donc écrire la charge E 0 Q du condensateur en fonction du temps E 0 en Q(t) = CxEo ( 1 - )
4. Recherche de la durée du régime transitoire 1) Détermination de Date pour laquelle Uc(t) = 99% de E 0. Durée du régime transitoire est appelé temps de réponse du système 5 Uc(t) E 0 Régime transitoire Régime permanent Régime transitoire Régime permanent T/2
5. Comment déterminer la constante de temps? 1) Méthode graphique: valeur de t= pour laquelle U C (t)=63% de E 0. 2) Méthode de la tangente à l origine des dates. ( dériver Uc(t) et faire à t=0s.) ou tracer la tangente à l origine. Uc(t) Réponse du Circuit RC : Continuité de Uc(t) ou de la charge Q (t) en t=0 E 0 Uc(t) E 0 E 0 E 0 E 0 en t =
Résolution de l E.D.1 er O dans le cas de la décharge Étude sur la partie de la courbe où t ε [T/2 ; T]; on a Eo(t) = 0 quelque soit «t ε [T/2 ; T];» a) D où équation: RC + u(t) = E 0 =0 Constante de temps (en s) du circuit : = R x C Avec R en Ω et C en F. b) Conditions initiales: t ε [T/2;T]; en t =T/2; Uc (t) = Eo le condensateur est chargé. Résolution de l équation. c)solution de l équation lors de la décharge.
d) Résumé des 2 cas et conclusion Résumé des 2 cas: solution de la charge et de la décharge. Conclusion: Le système R,C «transite» entre l état initial ( Uo) et le régime établi (Uf). La tension est continue aux bornes de «C» et i(t) est discontinue. La constante de temps, de l ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, est appelée temps de relaxation.
Exercice d application Charge d un condensateur : Considérons le circuit suivant, le condensateur de capacité «C» étant déchargé initialement, on abaisse l interrupteur K à l instant t=0. a) Établir, à l aide des lois de Kirchhoff, l équation différentielle satisfaite par la tension U(t). En déduire la constante de temps de ce circuit. b) Résoudre l équation en donnant les expressions de U(t) et de i(t). Schéma:
III. Aspect énergétique pour un circuit RC. a) Pour la charge: bilan instantanée. Multiplié les 2 membres de l équation de maille par i(t) = C et identifier chaque terme du bilan de puissance. Intégrer entre t=0 et l infini (en pratique quelques ) Ec = = Ec b) Pour la décharge: Même raisonnement que pour la charge. On abouti à Ec = = W J = Application: cette énergie peut actionner le flash d un appareil photo ou un moteur
IV. Régime transitoire d un circuit RL 1) Réponse d un circuit RL à un échelon de tension. Reprenons le schéma électrique du RC et remplaçons le condensateur par la bobine parfaite (L). Évolution de l intensité i(t) U R U L Y B b) Observations: - Allure de la courbe observée. 2) Établissement de l équation différentielle du 1 er ordre. = + i(t) -analyse dimensionnelle de = Constante de temps = en s. - Influence de R et de L sur la constante de temps. - «R» représente la résistance totale du circuit. Y A
Résolution de l E.Diff. De 1 er Ordre Elle nécessite 2 étapes: -i 1 (t) solution générale de l équation homogène (sans second membre). -i p Solution particulière de l équation complète.(si «t» infini=régime permanent) a) Conditions initiales: t ε [0;T/2]; E(t)= Eo -Continuité de i(t) dans la bobine car NRJ est continue. Pour t<0; e(0-) = e(0+) =0 V donc i=0. Pour t>0; E(t)= Eo. La tension u L (t)est discontinue aux bornes de L
Solution finale pour «t» ε [0;T/2]; E(t)= Eo : i(t) = ( 1 - ) T/2
Tension aux bornes de la bobine U L = L x = L x x = Eo x d où l allure de la courbe U L (t) suivante. T/2
b) Conditions initiales: t ε [T/2;T]; E(t)= 0. - Solution de l équation différentielle: L x + R x i (t) = 0 - Allure de la courbe: c) Bilan énergétique : Multiplié les 2 membres de l équation de maille par i(t) d(t) et identifier chaque terme du bilan de puissance. Intégrer entre t=0 et l infini (en pratique quelques ) pour «t» ε [0;T/2]; E(t)= Eo E L = = ; cette énergie est stockée dans la bobine tant que l on est en régime permanent continue. Puis pour «t» ε [0;T/2]; Elle est intégralement restitué et dissipée par effet joule dans la résistance «R».
Portrait de phase C est la représentation de la dérivée d une grandeur en fonction de cette grandeur. Exemple [ = f (Ut)]. Application au circuit RC:
Résumé pour les circuits de premier ordre Décrit par une équation diff: (t)+ S(t) = e(t) Où S(t) :signal de sortie e(t): signal imposé par l entrée. Systèmes Linéaires DU 1 er ORDRE : Constante de temps caractéristique du circuit=temps de relaxation. Temps de réponse du système= Durée nécessaire pour atteindre le régime permanent = 4,6 Circuit RC: condensateur emmagasine de l NRJ électrique et peut le restituer = RxC;Régime permanent Condensateur interrupteur ouvert. i =0. S(t)=u(t) ou q(t) Solution lors de la charge: S(t) = So ( 1 - ) Circuit RL: bobine emmagasine de l énergie et peut le restituer. = L/R. En Régime permanent Bobine à un fil. ul=0. S(t) correspond à i(t).