ESPACES PROBABILISES FINIS

Lycée de l Essouriau Année 2013-2014 PCSI ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1 Langage ensembliste. Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d un panier de basket. Il est convenu que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu en cas d ex-aequo les vainqueurs se partageront le paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons. 1. Quel espace de probabilité (Ω, P(Ω), P ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire? 2. En utilisant les événements : A = {Arthur marque un panier}, B = {Béatrice marque un panier}, écrire de façon ensembliste les événements suivants : C = {Cécile marque un panier}, D = {tous les trois réussissent à marquer}, E = {aucun ne réussit à marquer}, F = {Béatrice obtient tous les bonbons}, G = {les trois enfants obtiennent des bonbons}, H = {Cécile obtient au moins un bonbon}, I = {Arthur ne reçoit aucun bonbon}. 3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de Ω, préciser ceux qui sont des événements élémentaires et donner l expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées a, b et c qu Arthur, Béatrice et Cécile respectivement marque un panier. On suppose maintenant que les enfants répètent n fois l expérience précédente dans les mêmes conditions (on suppose que l on dispose de n paquets de bonbons). 1. (a) Quel espace de probabilité (Ω n, P(Ω n ), P n ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire? (b) Ecrire l événement J = {Cécile n a pas gagné lors des deux premières parties} comme sous-ensemble de Ω n : 2. On s intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une probabilité p de marquer à chaque partie. (a) Proposer un nouvel espace de probabilité. (b) Soit i {1,..., n}. Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l événement, C i = {Cécile a gagné lors de la i-ème partie}. (c) Ecrire à l aide des événements C i, l événement J puis les événements suivants K = {Cécile a gagné au moins une fois lors des n premières parties} L = {Cécile a gagné au moins deux fois lors des n premières parties}. (d) Donner les événements contraires des événements J, K et L. (e) Donner les expressions des probabilités des événements J, K et L en fonction de p. 1

Exercice 2 On pose au hasard n 2 livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a k {2,..., n} qui sont de l auteur M. 1. Proposer un codage de la disposition des livres de l auteur M sur cette étagère n utilisant que les symboles 0 et 1. 2. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l auteur M soient côte à côte? 3. Soit r k. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l auteur M soient dans les r premiers livres de l étagère? 4. Soit l {k 2,..., n 2}. Quelle est la probabilité qu il y ait l livres entre le livre de l auteur M qui se trouve le plus à gauche sur l étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l étagère? Si k = 2, combien de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l auteur M sur l étagère? Exercice 3 On choisit au hasard deux sous ensembles A et B d un ensemble E à n éléments. Calculer la probababilité que : 1. A B soit un singleton. 2. A B = E. 3. A B soit un singleton. 4. A B. Exercice 4 On répartit au hasard r boules dans n cases. On s intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case. 1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience. 2. Calculer la probabilité, notée µ r,n (k), que k boules tombent dans la case 1. Montrer que, si r et n tendent vers +, de sorte que r n tend vers λ > 0, on a : µ r,n (k) µ(k) = λk k! e λ, k N. 3. Soient r 1,..., r n des entiers tels que r 1 + + r n = r. Calculer la probabilité d obtenir r 1 boules dans la case 1,..., r n boules dans la case n. 4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi r personnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour? Pour quelles valeurs de r cette probabilité est-elle supérieure à 0.5? 5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte aux lettres d une des cinq secrétaires de l entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive au moins un des n messages envoyés? Exercice 5 Une urne contient 10 boules blanches, 4 noires, 6 rouges. 1. On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise.calculer la probabilité des événements suivants : (a) Tirage contenant une noire exactement (b) Tirage bicolore (c) Tirage tricolore 2. Reprendre les questions dans le cas d un tirage successif sans remise, puis dans le cas d un tirage simultané. 3. On tire maintenant toutes les boules de l urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro k 2

Exercice 6 Une armoire contient 10 paires de chaussure. On choisit au hasard 8 chaussures parmi les 20. Calculer la probabilité des évévnements suivants ; 1. Parmi les 8 chaussures ne figure aucune paire 2. Parmi ces 8 chaussures figure exactement une paire. 3. Parmi ces 8 chaussures figure au moins une paire? Exercice 7 Un service après-vente dispose d équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu un retard se produise dans le dépannage à la suite d un appel est p = 1/4. 1. Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi. Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V (X). 2. On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d entre eux sont mécontents parce qu ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M). Exercice 8 Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec remise. S il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit X n le nombre de boules blanches et Y n le nombre de points obtenus. Déterminer la loi de X n, puis E(X n ) et V (X n ). Exprimer Y n en fonction de X n. En déduire la loi de Y n, puis E(Y n ) et V (Y n ). Exercice 9 Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2,..., n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit X n le numéro de la case occupée par la puce après n sauts et Y n le nombre de fois où la puce a sauté d une case au cours des n premiers sauts Donner la loi de Y n, E(Y n ) et V (Y n ). Exprimer X n en fonction de Y n et n. En déduire E(X n ) et V (X n ) puis la loi de X n. Exercice 10 Un dé D comporte 20 faces marquées dont 7 faces sont numérotées 1, 8 faces sont numérotées 2, 5 faces sont numérotées 3. Soit n un entier non nul. On lance n fois le dé D et on note X n (i) le nombre de faces numérotées i au cours des n lancers. 1. Donner la loi de X n (1), X n (2), X n (3) ainsi que leurs espérances et leurs variances. 2. Lors des n lancers, pour chaque face numéro 1 (resp. 2, 3) obtenue on gagne 1 euro (resp. -2 euros, resp. a euros). Pour quelle valeur de a, le gain moyen du jeu est positif en moyenne?. Exercice 11 On dispose de n + 1 urnes U 0, U 1,..., U n telles que pour tout k de {0, 1,..., n} l urne U k contient k boules blanches et n k boules noires. On effectue des tirages d une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Z prend la valeur k (avec k 1), alors on tire une par une et avec remise, k boules dans l urne U k et l on note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Z a pris la valeur 0, aucun tirage n est effectué et X prend la valeur 0. 3

1. Déterminer X (Ω). 2. (a) Déterminer, en distinguant les cas i = 0 et 1 i n, la probabilité P Z=0 (X = i). (b) Déterminer, en distinguant les cas i = n et 0 i n 1, la probabilité P Z=n (X = i). (c) Pour tout k de {1, 2,..., n 1} déterminer, en distinguant les cas 0 i k et k < i n, la probabilité conditionnelle P Z=k (X = i). n 1 ( ) n k k 3. (a) Montrer que P (X = 0) = + 1 2n 2 n k=1 (b) Montrer que P (X = n) = 1 2 n (c) Exprimer, pour tout i de {1, 2,..., n 1}, P (X = i) sous forme dune somme que l on ne cherchera pas à réduire. 4. Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que n i=0 P (X = i) = 1. Exercice 12 On tire, avec remise, cinq boules d une urne contenant dix boules numérotés de 1 à 10. On note X la var égale au maximum des deux numéros obtenus et Y la var égale au minimum des cinq numéros obtenus. 1. Déterminer soigneusement X(Ω) et Y (Ω). 2. Calculer P (X k) pour k X(Ω) et P (Y k) pour k Y (Ω). En déduire les lois de X et Y. 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 13 Soient n et N des entiers non nuls. Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On effectue N tirages avec remise dans cette urne. 1. Soit F i 1a, variable aléatoire égale au nombre de fois où le jeton i a été tiré. Déterminer la loi de F i. On pose : n F = Déterminer la loi de F i, son espérance et sa variance. Les variables aléatoires F i sont-elles deux à deux indépendantes? 2. Pour tout i [[1, n]] on note X i la variable aléatoire égale à 0 si le numéro i n a pas été tiré et égale a 1 s il été tiré au moins une fois. Déterminer la loi de X i, son espérance et sa variance. Pour tout (i, j) [[0, 1]] 2, déterminer la probabilité Les variables X i, et X j sont-elles indépendantes? Exercice 14 i=1 F i P Xi =0 (X j = 0) On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires. On pioche une à une sans remise les boules de l urne. Pour tout entier i [[1, 3]]On note X i le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la ième boule noire. 1. Donner la loi de X 1 ainsi que son espérance et sa variance. 2. Expliciter la loi conjointe de (X 1, X 2 ). En déduire la loi de X 2. 3. On note T la variable aléatoire définie par T = X 2 X 1. (a) Que représente T? Donner son espérance et sa variance. (b) Donner la loi conjointe de (T, X 1 ) puis la loi de T. 4. Donner la loi de X 3. 4

Exercice 15 On dispose de deux urnes U 1 et U 2, de six boules numérotées de 1 à 6 ainsi que d un dé équilibré. Initialement, l urne U 1 contient les boules numérotées 1 et 2, l urne U 2 contient les boules numérotées 3, 4, 5 et 6. On appelle échange l expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d urne la boule portant le numéro obtenu avec le dé. Pour n N, on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U 1 après n échanges successifs. 1. Les cinq premiers lancers du dé donnent : 1, 3, 2, 3, 5. Quel est le contenu de U 1 à l issue du cinquième échange? 2. Quelle est la loi de X 1? Calculer son espérance mathématique E(X 1 ). 3. Déterminer la loi du couple (X 1, X 2 ). En déduire la loi de X 2. Calculer la covariance du couple (X 1, X 2 ). 4. Montrer que pour tout entier n de N, on a : P (X n+1 = 0) = 1 6 P (X n = 1), P (X n+1 = 6) = 1 6 P (X n = 5) k {1,.., 5}, P (X n+1 = k) = 7 k 6 P (X n = k 1) + k + 1 6 P (X n = k + 1). 5. En déduire que, pour tout entier n de N : E(X n+1 ) = 2 3 E(X n) + 1. Calculer alors E(X n ) en fonction de n, puis Exercice 16 lim E(X n). n + On veut transporter entre deux villes A et B dans des conditions de confort acceptables 1600 voyageurs se présentant pratiquement en même temps à la gare de A. On met à leur disposition deux trains identiques. On suppose que chaque individu choisit au hasard l une ou l autre rame et qu il n a pas le temps d en changer. Combien faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l on veut qu il y ait moins de 1% de chance que des voyageurs soient obligés de rester debout? (utiliser l inégalité de Bienaymé-Chebychev pour répondre). Exercice 17 Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire. On note X N la variable aléatoire réelle discrète égale au nombre de fois où, au cours des N premiers lancers, deux résultats successifs ont été différents (On peut appeler X N le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ). Par exemple, si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile, Pile, Face, Pile, Face, Face, Face, Pile, Pile alors la variable X 9 aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3 ième, 4 ième, 5 ième et 8 ième lancers). 1. Déterminer la loi de X 1, X 2, X 3, X 4. 2. Justifier que X N (Ω) = {0,..., N 1}. ( ) 1 N 1 ( ) 1 N 3. Montrer que P (X N = 0) = et P (X N = 1) = 2(N 1). 2 2 4. (a) Justifier que pour tout entier k de {0,..., N 1} : P (XN =k)(x N+1 = k) = 1 2 (b) En déduire que pour tout entier k de {0,..., N 1} P (X N+1 X N = 0 X N = k) = 1 2 P (X N = k). (c) En sommant cette relation de k = 0 à N 1, montrer que P (X N+1 X N = 0) = 1 2. (d) Que représente la variable X N+1 X N. En déduire que X N+1 X N suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 2. En déduire la relation E(X N+1 ) = 1 2 + E(X N), puis donner E(X N ) en fonction de N. 5. (a) Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables X N+1 X N et X N sont indépendantes. (b) En déduire par récurrence sur N que X N suit une loi binômiale B(N 1, 1 2 ). 5

Exercice 18 Un sac contient n billes numérotées de 1 à n. On tire une bille au hasard, on note son numéro et on la remet dans le sac. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur ce numéro. Lorsque ce numéro estk, on tire sans remise k billes que l on distibueau hasard dans p boites B 1,..., B p. On désigne par Y i la variable aléatoire égale au nombre de billes reçues par la boite B i (i {1,..., p}). 1. Déterminer la loi du couple (X, Y i ) pour (i {1,..., p}). 2. En déduire pour (i {1,..., p}) la loi de Y i ainsi que son espérance et sa variance. 3. Déterminer l espérance de la variable aléatoire Y i X. Exercice 19 Une urne contient 2 boules blanches et n 2 boules rouges. On effectue des tirages sans remise de cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche, Y le nombre de boules rouges restant à ce moment dans l urne et Z le rang de sortie de la deuxième boule blanche. 1. Déterminer la loi de X,son espérance et sa variance. 2. Calculer E(Y ). 3. Déterminer la loi de Z ainsi que son espérance et sa variance. 4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d un tirage avec remise. Exercice 20 On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d apparition de pile, noté P, est p et celle de face, noté F, est q, avec 0 < p < 1 et p + q = 1, et on s intéresse à l apparition de deux piles consécutifs. Par exemple, si l on considère les seize premiers lancers suivants : F P P F P P P F P F P P P P P F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs 3, 6, 12 et 14, mais non aux rangs 7, 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d une fois). On notera, pour tout entier naturel n non nul : A n l événement : deux piles consécutifs sont réalisés au rang n. B n l événement : deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang n. Enfin on désigne par a n et b n les probabilités de ces événements A n et B n. 1. On a bien sûr a 1 = 0. Calculer de plus a 2, a 3, a 4. 2. Démontrer, pour tout nombre entier naturel n non nul : a n+2 = p 2 a n + qp 2. 6