Math Spé MP Fihe ondes életromagnétique 1 Ondes Définition : Une onde est la propagation d un ébranlement sans transfert de matière, sans déformation et à vitesse onstante (élérité) dans un milieu non dispersif. Une onde transporte de l énergie. Équation d onde : Dans un milieu non dispersif, la grandeur s(m,t) satisfait l équation de D Alembert. s 1 2 s 2 t = 0 2 est la élérité de l onde. Remarque 1 : = ( 1 ) 2 est appelé opérateur Dalembertien. 2 t 2 Remarque 2 : s peut être salaire omme vetoriel. Solution générale : La forme générale est onnue (pour une dimension) : ( s(x,t) = f t x ) ( +g t+ x ) où f et g sont deux fontions d une seule variable deux fois dérivables. Propagation des hamps et des potentiels : la vitesse de la lumière dans le vide. E, B, A et V se propagent dans le vide à Définition : Une onde est une onde plane progressive de diretion u (ou alors de veteur d onde k = k u ) si t fixé, les hamps E et B sont uniformes dans tout plan orthogonal à u. Une onde plane progressive est de plus monohromatique de pulsation ω si la dépendane temporelle est sinusoïdale de pulsation ω. ( ( ) u r E 0x os ω t )+ϕ 0x E = ( ( ) u r E 0y os ω t )+ϕ 0y ( ( ) u r E 0z os ω t )+ϕ 0z ave r = OM or k = ω dans le vide. Ainsi, E = E 0x os (ω t k ) r +ϕ 0x E 0y os (ω t k ) r +ϕ 0y E 0z os (ω t k ) r +ϕ 0z 1
Équation de Maxwell en notation omplexe : j k E = 0 j k B = 0 k E = ω B k B = ω 2 E Relation de dispersion : Relation de dispersion d une onde életromagnétique monohromatique dans le vide : k 2 = ω2 2 Struture de l onde plane progressive monohromatique B = k E ω = u E pour une OPPM E = B u B = E Définition : vitesse de phase d une onde plane progressive monohromatique : Soit une onde plane progressive monohromatique. La vitesse de phase v ϕ de ette onde est la vitesse à laquelle un observateur doit se déplaer pour voir une phase de l onde onstante. v ϕ = ω k pour une OPPM Si de plus ette onde plane progressive monohromatique se déplae dans le vide, v ϕ = ω k = = onstante Densité d énergie : Équipartition entre u el et u ma : u em = ε 0 E 2 Veteur de Poynting : π = ε0 E 2 u Vitesse de propagation de l énergie : On note v e la vitesse de propagation de l énergie. de ontenu dans le ylindre de base S et de hauteur v e dt de volume S v e dt, Ii, v e =. de = S v e dt ε 0 E 2 2
Intensité ou élairement (optique) : L élairement désgine la puissane surfaique moyenne. Pour une onde életromagnétique, est : π Pour une onde plane progressive monohromatique, 2 Polarisation π = 1 2 ε 0 E 2 m = I = E Définition : Idée : pour une onde plane progressive monohromatique, si u et E sont onnus, tout est onnu. À une onde plane progressive monohromatique, on va assoier un type de polarisation suivant la nature du mouvement de E dans un plan orthogonal à u vu par un observateur qui voit l onde arriver sur lui. Définition : polariseur : un polariseur est un dispositif possédant une diretion privilégiée dite diretion de transmission : il ne laisse passer que la omposante du hamp életrique de l onde parallèle à ette diretion et élimine la omposante orthogonale. En sortie, la lumière est polarisée parallèlement à la diretion de transmission. On se sert de polariseur pour analyser la lumière. Loi de Malus : Soit une onde inidente polarisée retilignement qui arrive sur un polariseur. Soit θ l angle entre la diretion de transmission et la diretion de polarisation. Soit I 0 l intensité de l onde inidente et I l intensité de l onde en sortie du polariseur. I = I 0 os 2 θ 3 Réflexion d une onde eletromagnétique sur un onduteur parfait sous inidene normale Définition : Un onduteur parfait a une ondutivité életrique infinie : γ = +. Conséquenes pour le onduteur : E = 0 ; B = 0 ; j = 0 : les ourants ne sont que surfaiques; relation de passage : E(P) = σ(p) ε 0 n ave P infiniment prohe de la surfae et dans le vide; B(P) = µ 0 j S (P) n. Struture de l onde réfléhie : Grandeur sinosoïdale de même pulsation que l onde inidente. Invariane dselon toute translation parallèlement au plan du onduteur. Onde inidente plane progressive de pulsation ω, polarisée retilignement suivant u n (sans perte de généralité) : E i = E 0 e j(ω t k z) u x 3
uz E i B i = = E 0 ej(ω k z) u y E r = E 0 e j(ω t+k z) u x B r = E 0 ej(ω +k z) u y Coeffiient de reflexion en amplitude : r = E r(z = 0,t) E i (z = 0,t) = 1 Aspet énergétique : π i t = 1 2 ε 0 E0 2 uz π r t = 1 2 ε 0 E0 2 uz Surfae du onduteur : En P infiniment voisin de la surfae dans le vide, Struture de l onde résultante : σ(p) = 0 js (P) = 2 E 0 µ 0 os(ω t) u x E r (z,t) = 2 E 0 sin(kz)sin(ω t) u x (pas progressif) B r (z,t) = 2 E 0 os(kz)os(ω t) u y (pas progressif) Ce sont des ondes stationnaires. L amplitude des vibrations dépend du point d observation. Si z est tel que sin(kz) = 0, alors E r = 0 : noeud de vibration du hamp életrique; Si z est tel que sin(kz) = 0, alors l amplitude est maximum et vaut 2 E 0 : ventre de vibration du hamp életrique; Les noeuds de E sont les ventres de B et réiproquement. À z fixé, E et B de l onde stationnaire sont en quadratures. Ils étaient en phase pour les ondes planes progressives. On n a plus la relation u E B = ar on n a plus une onde plane progressive. La période spatiale de l onde stationnaire λ est elle de l onde inidente et de l onde réfléhie. Distane entre deux ventres suessifs est λ 2. Distane entre un noeud et un ventre (et inversement) suessifs est λ 4. Aspet énergétique : π t = 0 En moyenne, l onde résultante stationnaire ne transporte pas de puissane. Physiquement, est ohérent ave le fait que la surfae du onduteur réfléhisse la totalité de la puissane inidente. 4
4 Rayonnement dipolaire Approximation dipolaire : observation à grande distane vis-à-vis de la taille du dipôle : r a Approximation non relatibiste : la vitesse de la harge est plus petite que la vitesse de la lumière (vitesse de q ) : a λ Approximation de la zone de rayonnement : on se plae dans la zone de rayonnement. On observe l onde dans la zone telle que r λ : r λ 5