Épreuve de MATHEMATIQUES 2

C31122 Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d admission en 3 ème année Mathématiques Session 2011 Épreuve de MATHEMATIQUES 2 Durée : 5 heures Aucun document n'est autorisé L'usage de toute calculatrice est interdit Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Sujet 1- Probabilités et statistiques Sujet 2- Analyse numérique Le candidat traitera au choix le sujet 1 ou le sujet 2 et rappellera sur sa copie le sujet qu il a choisi de traiter.

Projet de sujet de Probabilités 2011 Concours d entrée à l ÉNS Cachan 3 e année Les différentes parties du problème ne sont pas indépendantes Notations On note N (0, 1) la loi normale de moyenne 0 et de variance 1. Si X est une variable aléatoire, on note E(X) son espérance et Var(X) sa variance. On rappelle que X est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ lorsque λ λn P(X = n) = e n! pour tout n N. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p [0, 1] lorsque p = P(X = 1) = 1 P(X = 0). Toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace de probabilité commun (Ω, A, P). Si µ est une loi de probabilité sur N, alors pour tout k N, on note µ(k) la probabilité affectée par µ au singleton {k}. On note enfin E(X Y ) l espérance conditionnelle de X sachant Y. Si E est un ensemble fini, on note E son cardinal. Pour tout n N, on note B n l ensemble des partitions de {1,..., n}. Pour tout B B n et tout b {1,..., n} non vide, on note b B lorsque b fait partie de la partition B, et on dit que b est un bloc de B. La partition B est constituée de B blocs. Pour tous b, b B avec b b, on a b b =. On a également b > 0 pour tout b B et {1,..., n} = b. On note enfin B b+ l élément de B n+1 obtenu à partir de B en remplaçant le bloc b B par b {n + 1}. Notons que B b+ = B. b B Un modèle de croissance Le but de ce sujet est d étudier l évolution au cours du temps d une population répartie en groupes. À l instant n N, la population comporte n individus, numérotés de 1 à n, et les groupes qu ils constituent sont modélisés par une variable aléatoire B n à valeurs dans B n. Chaque bloc correspond à un groupe. On pose B 1 = {{1}}. À l instant n+1, un nouvel individu rejoint la population et décide soit de rejoindre l un des B n groupes déjà constitués avec une probabilité 1

proportionnelle au nombre de membres du groupe (grégarisme), soit de créer un nouveau groupe (individualisme). On modélise par θ/(n+θ) la probabilité qu a l individu n+1 de créer un nouveau groupe, où θ > 0 est un paramètre réel fixé et inconnu (identique pour tous). La population ne fait que croître, et comporte n individus au temps n. Le numéro d un individu correspond exactement à son temps d arrivée dans la population. Les individus ne meurent pas et ne quittent pas leur groupe. La suite (B k+1 ) k N est une chaîne de Markov d espace d états n=1b n. Rappels On dit qu un suite de variables aléatoires (X k ) k N à valeurs dans un ensemble au plus dénombrable E est une chaîne de Markov lorsque pour tout k N et tous x 0,..., x k, x k+1 dans E, on a P(X k+1 = x k+1 X 0 = x 0,..., X k = x k ) = P(X k+1 = x k+1 X k = x k ). La loi de X 0 est appelée loi initiale et l ensemble E espace d états. On dit que la chaîne est homogène lorsque pour tout k N et tous x, y dans E, la quantité P(X k+1 = y X k = x) ne dépend pas de k. Partie I Cette partie est consacrée à une première étude de la chaîne de Markov (B k+1 ) k N. 1. Montrer que pour tout n N et tout B B n, b = n b B 2. Montrer que pour tout n N et tout B B n et B B n+1, b θ + n P(B n+1 = B B n = B) = θ θ + n si B = B {{n + 1}} 0 sinon si B = B b+ pour un b B 3. La chaîne de Markov (B k+1 ) k N est-elle homogène? Préciser sa loi initiale 4. Préciser l évolution de la population dans le cas extrême où θ = 0 5. Préciser l évolution de la population dans le cas extrême où θ = + 2

Partie II Cette partie est consacrée à la loi de la partition aléatoire B n ainsi qu à ses blocs. 1. Établir par récurrence que pour tout n 1 et tout B B n, P(B n = B) = θ B (θ + 0)(θ + 1) (θ + n 1) ( b 1)! b B 2. Soit B une partition de {1,..., n} en blocs b 1,..., b B. Pour tout 1 i n, soit a i le nombre de blocs de taille i de B. Montrer que a 1 + 2a 2 + + na n = n 3. Avec les notations de la question précédente, établir que le nombre de partitions B B n à nombres a 1,..., a n prescrits vaut n! ni=1 (i!) a i ai! 4. Pour tout n 1 et tout 1 i n, soit C n,i le nombre de blocs de taille i de B n, de sorte que n = C n,1 + 2C n,2 + + nc n,n. Déduire des questions précédentes que pour tous entiers 0 a 1,..., a n n tels que a 1 + 2a 2 + + na n = n, P(C n,1 = a 1,..., C n,n = a n ) = n! (θ + 0)(θ + 1) (θ + n 1) 5. Pour tout n 1, on pose C n = (C n,1,..., C n,n ) où C n,i est comme précédemment. Montrer que la suite de vecteurs aléatoires (C k+1 ) k N est une chaîne de Markov non homogène dont on précisera l espace d états. Partie III Cette partie est consacrée à l étude du nombre de blocs B n de B n. 1. Montrer que la suite ( B k+1 ) k N est une chaîne de Markov non homogène 2. Montrer que pour tout n 1, B n = ξ 1 + +ξ n où ξ 1,..., ξ n sont des variables aléatoires indépendantes de lois de Bernoulli vérifiant pour tout 1 k n P(ξ k = 1) = 1 P(ξ k = 0) = 3. Montrer que pour tout n 1, on a E( B n ) = n 1 k=0 θ θ + k et Var( B n ) = θ θ + k 1 n 1 k=1 n i=1 θk (θ + k) 2 La suite ( B k+1 ) k N constitue-t-elle une martingale? 4. Montrer que E( B n ) θ ln(n) et Var( B n ) θ ln(n) quand n + 5. Établir que où B n ln(n) P n θ P désigne la convergence en probabilité. 3 1 a i! ( θ i ) ai ( )

Partie IV On étudie dans cette partie le nombre de blocs de taille n de B n, noté C n,n. 1. Montrer que C n,n vaut 0 ou 1 et que C n,n = 1 si et seulement si B n = 1 2. Établir que P(C n,n = 1) = 3. En déduire que lim n P(C n,n = 1) = 0 n 1 k=1 k θ + k 4. En déduire que presque-sûrement, C n,n = 0 à partir d un certain rang sur n. Partie V Dans cette partie, on étudie le nombre de blocs de taille 1 de B n, noté C n,1. 1. Montrer que (C k+1,1 ) k N est une chaîne de Markov d espace d état N et que pour tout n 1, tout 0 a n et tout 0 a n + 1, on a θ θ + n si a = a + 1 a θ + n P(C n+1,1 = a C n,1 = a) = 1 θ θ + n a θ + n si a = a 1 si a = a 0 sinon 2. En déduire que pour tout n 1, E(C n+1,1 C n,1 = a) = a(θ + n 1) + θ θ + n 3. En déduire que pour tout n 1, E(C n,1 ) = nθ n + θ 1 4. Si X et Y sont des variables aléatoires à valeurs dans N avec X de carré intégrable, on définit Var(X Y ) = E(X 2 Y ) E(X Y ) 2. Montrer que Var(X Y ) 0 et que Var(X) = E(Var(X Y )) + Var(E(X Y )) 5. En déduire que pour tout n 1, Var(C n,1 ) = n(n 1)(n 2 + 2θ)θ (n + θ 2)(n + θ 1) 2 4

Partie VI Cette partie est consacrée à l étude d une distance sur l ensemble des lois de probabilités sur N. Si µ et ν sont des lois de probabilité sur N, on définit d V (µ, ν) = sup µ(a) ν(a). A N Si X et Y sont des variables aléatoires sur N de lois respectives µ et ν, on pose par commodité d V (X, Y ) = d V (µ, ν). 1. Montrer que d V est une distance sur l ensemble des lois de probabilité sur N 2. Établir que si µ et ν sont des lois de probabilité sur N alors 2d V (µ, ν) = µ(k) ν(k) k N 3. Établir que si µ et ν sont des lois de probabilité sur N alors 2d V (µ, ν) = sup f F f dµ f dν où F désigne l ensemble des fonctions définies sur N et à valeurs dans [ 1, 1] 4. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires sur N et µ une loi de probabilité sur N. Pour tout n N, on note µ n la loi de X n. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) X n converge en loi vers µ (b) lim n µ n (k) = µ(k) pour tout k N (c) lim n d V (µ n, µ) = 0 5. Montrer que si ξ est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p [0, 1] et P une variable aléatoire de Poisson de même moyenne alors d V (ξ, P ) p 2 6. Montrer que si (X k ) 1 k n et (Y k ) 1 k n sont des suites de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N alors n d V (X 1 + + X n, Y 1 + + Y n ) d V (X k, Y k ) k=1 7. En déduire que si ξ 1,..., ξ n sont des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètres respectifs p 1,..., p n et si P n est une variable aléatoire de Poisson de moyenne p 1 + + p n alors n d V (ξ 1 + + ξ n, P n ) p 2 k k=1 ( ) 5

Partie VII Cette partie est consacrée à l étude des fluctuations asymptotiques pour la convergence en probabilité de B n / ln(n) vers θ obtenue en ( ). Elle met en œuvre la distance d V étudiée précédemment. On admettra qu on peut remplacer, dans le membre de droite de ( ), la quantité n k=1 p 2 k par la quantité plus petite (1 exp( p 1 p n )) p2 1 + + p 2 n p 1 + + p n. D autre part, afin d alléger les notations, on pose λ n = E( B n ) et σ 2 n = Var( B n ) et on note P n une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ n. 1. Établir que lim d V ( B n, P n ) = 0 n 2. Établir que pour toute fonction f : R R continue et bornée, ( ( )) ( ( )) E Bn λ n Pn λ n f E f σ n σ n 2 (sup f ) d V ( B n, P n ) 3. En utilisant lim n λ n /σ 2 n = 1, établir que 4. Établir que P n λ n σ n B n λ n σ n loi N (0, 1) n loi N (0, 1) n 5. Établir que si (X n ) n N est une suite de variables aléatoires convergeant en loi vers une loi de probabilité µ et si (a n ) n N et (b n ) n N sont deux suites de réels convergeant vers a et b respectivement alors (a n X n + b n ) n N converge en loi vers la loi de ax + b où X suit la loi µ 6. En déduire que B n θ ln(n) θ ln(n) loi N (0, 1) n 7. Soit α ]0, 1[. Déduire de la question précédente un intervalle de confiance asymptotique pour θ au niveau de confiance 1 α, en fonction d un quantile de la loi N (0, 1). Fin de l épreuve 6

Sujet Analyse Numérique Durée 5H On considère M n (K) l espace vectoriel des matrices carrées de taille n à éléments dans K = R ou C, muni de la norme., que l on suppose multiplicative, c est-à-dire telle (A,B) M n (K) M n (K), AB A B. On rappelle que si pour z C, f(z) = n 0 a nz n et g(z) = n 0 b nz n sont deux séries entières de rayons de convergence respectifs R a > 0 et R b > 0, alors la somme f +g et le produit fg sont des séries entières de rayon de convergence R min(r a,r b ). Le produit (de Cauchy) des deux séries se calcule alors par la formule ( + ) ( + ) ( + n a n z n b n z n = a k b n k )z n. n=0 n=0 La substitution de n 0 a nz n dans n 0 b nz n est possible si le coefficient a 0 = f(0) est nul. La série obtenue par substitution est de rayon R strictement positif. Sur un disque de rayon 0 < R R, la somme de la série obtenue est la composée g f. Pour toute matrice A de norme A < min(r a,r b ), les séries n 0 a na n et n 0 b na n sont absolument convergentes et donc bien définies, et les opérations somme, produit et substitution, restent licites sous les mêmes conditions que pour les séries entières. On définit donc l exponentielle exp(a) d une matrice A M n (K) par la série convergente exp(a) = k=0 n=0 1 k! Ak. Pour Ω M n (K) fixée, on définit l opérateur ad Ω comme l application linéaire suivante : ad Ω : M n (K) M n (K) k=0 A ad Ω (A) = ΩA AΩ et on note ad i Ω l opérateur composé ad Ω... ad }{{ Ω. La norme considérée sur l espace vectoriel } i fois L(M n (K)) est la norme subordonnée, qu on notera encore. : en particulier, on a ad Ω = ad Ω (A) sup A M n(k), A 0 A LorsqueAetB sontdeuxmatricesdem n (K)quicommutent,alorsexp(A+B) = exp(a)exp(b) = exp(b) exp(a). L objectif des trois premières parties de ce sujet est d établir une formule, dite formule de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH en abrégé), dans le cas où A et B ne commutent pas. 1

La quatrième partie concerne l approximation de exp(t(a + B)) par des produits de matrices de la forme exp(taa) et exp(tbb). Les parties sont indépendantes les unes des autres sauf mention explicite dans certaines questions. Première Partie On rappelle que l application Π k : M n (K) M n (K) Ω Ω k est différentiable et que sa différentielle DΠ k (Ω) au point Ω est une application linéaire de M n (K) dans M n (K) qui vérifie H M n (K), DΠ k (Ω) H = lim t 0 (Ω+tH) k Ω k t Question 1 : Pour H M n (K), calculer DΠ k (Ω) H pour k = 1,2,3. Question 2 : Etablir les relations suivantes : DΠ k (Ω) H = 2HΩ+ad Ω (H) DΠ k (Ω) H = 3HΩ 2 +3ad Ω (H)Ω+ad 2 Ω (H) Question 3 : A partir de la définition de la différentielle DΠ k (Ω), justifier que pour tout k 1 ( ) ( ) DΠ k+1 (Ω) H = DΠ 1 (Ω) H Ω k +Ω DΠ k (Ω) H Question 4 : En déduire que pour tout k 1, on a : k 1 ( k DΠ k (Ω) H = i+1 i=0 ) ad i Ω(H)Ω k 1 i Question 5 : Etablir que l opérateur ad i Ω est borné par 2i Ω i. Question 6 : Soit dexp Ω l application linéaire de M n (K) dans M n (K) définie par H M n (K), dexp Ω H = k 0 1 (k +1)! adk Ω (H) (On ne confondra pas la notation dexp Ω avec la différentielle Dexp(Ω) de exp(ω) utilisée ci-après). Justifier que la série converge pour tout H et donner une borne de l opérateur dexp Ω. Question 7 : Montrer que l application Ω exp(ω) est différentiable en tout Ω M n (K). Soit Dexp(Ω) sa différentielle de Ω exp(ω) au point Ω. Montrer que On justifiera les calculs. H M n (K), Dexp(Ω) H = (dexp Ω (H))exp(Ω) 2

Deuxième Partie Dans cette partie, on suppose que K = C. Soit Ω M n (C) une matrice fixée non nulle. Question 1 : Montrer que 0 est valeur propre de ad Ω. Déterminer son noyau dans le cas où n = 2 et ( ) 0 1 Ω = 1 0 Question 2 : On rappelle que ad Ω et dexp Ω sont des endormorphismes de M n (C). Montrer que pour toute valeur propre non nulle λ de ad Ω, eλ 1 λ est valeur propre de dexp Ω. Question 3 : En s appuyant sur le fait que M n (C) est un espace vectoriel de dimension finie n 2, donnerunecondition nécessaire et suffisante surlespectredead Ω pourquedexp Ω soit inversible. Question 4 : Soit B 0 = 1. On suppose que les nombres B k, k N satisfont la relation suivante pour tout n N : n ( ) n+1 B k = 0 k k=0 Montrer que la suite (B k ) k N est entièrement déterminée. Calculer B 1, B 2, B 3 et B 4. Question 5 : On considère la série entière S(z) = convergence de S(z) est 2π et que l on a la relation k=0 z,0 < z < 2π, S(z) = z e z 1 Question 6 : En déduire que B 2k+1 est nul pour tout k 1. B k k! zk pour z C. Montrer que le rayon de Question 7 : On suppose que Ω < π. Déterminer l expression de l inverse dexp 1 Ω de l opérateur dexp Ω. Troisième Partie Soient A et B deux matrices de M n (C) qui ne commutent pas. L objectif de cette partie est de trouver une fonction matricielle t C(t) de R dans M n (C) telle que, pour tout t suffisamment petit, on ait : exp(ta) exp(tb) = exp(c(t)) puis d établir que C(t) satisfait une équation différentielle dont on déterminera l expression. Question 1 : Etablir que exp(ta)exp(tb) = I +t(a+b)+ t2 2 (A2 +2AB +B 2 )+O(t 3 ). Question 2 : On pose X(t) = exp(ta)exp(tb) I = t(a + B) + t2 2 (A2 + 2AB + B 2 ) + O(t 3 ). Montrer qu il existe ǫ > 0 tel que pour tout t ǫ, la série C(t) := ( 1) k+1 X(t) k k k=1 3

converge et que C(t) vérifie exp(ta) exp(tb) = exp(c(t)). Question 3 : Montrer qu il existe C 1 et C 2 and M n (C), telles que C(t) = tc 1 + t 2 C 2 + O(t 3 ) et les expliciter. Question 4 : Montrer de la même manière que pour s ǫ et t ǫ, il existe une fonction (s,t) Z(s,t) à valeurs dans M n (C), de classe C 1 par rapport à (s,t), et telle que exp(sa) exp(tb) = exp(z(s, t)) Question 5 : En utilisant la question 7 de la première partie et la question 7 de la seconde, montrer l égalité suivante : ( ( )) Z A exp(sa) exp(tb) = dexp Z(s,t) s (s,t) exp(z(s, t)) et en déduire que Z (s,t) = dexp 1 s Z(s,t) (A) = A 1 2 ad Z(s,t)(A)+ B k k! adk Z(s,t) (A) k 2 Question 6 : Montrer de la même manière que Z (s,t) = dexp 1 t Z(s,t) (B) = B + 1 2 ad Z(s,t)(B)+ B k k! adk Z(s,t) (B) k 2 On utilisera le résultat de la question 6 de la seconde partie. Question 7 : En identifiant Z(t,t) à C(t), établir que C(t) est solution du problème de Cauchy suivant : { Ċ(t) = A+B 1 2 ad C(t)(A B)+ B k k 2 k! adk C(t) (A+B) C(0) = 0 Question 8 : En s appuyant sur l identité (que l on justifiera) de Jacobi : (D 1,D 2,D 3 ) M n (C), ad D1 (ad D2 (D 3 ))+ad D3 (ad D1 (D 2 ))+ad D2 (ad D3 (D 1 )) = 0, montrer que l on a C(t) = tc 1 +t 2 C 2 +t 3 C 3 +O(t 4 ) avec C 1 = A+B, C 2 = 1 2 ad A(B), C 3 = 1 ( ad 2 12 A (B)+ad 2 B(A) ). On admettra que t C(t) est de classe C 4 dans un voisinage ouvert de t = 0. 4

Quatrième Partie Soient A et B deux matrices de M n (C) qui ne commutent pas. On cherche maintenant à approcher exp(t(a + B)) par un produit d exponentielles de la forme ψ s (t) = exp(ta 1 A)exp(tb 1 B)...exp(ta s A)exp(tb s B), pour s un entier non nul et (a 1,...,a s ) et (b 1,...,b s ) des s-uplets de réels. On dit alors que ψ s (t) est d ordre p, si p est le plus grand entier non nul tel que ψ s (t) = exp(t(a+b))+o(t p+1 ). Question 1 : Montrer que exp(ta)exp(tb) est d ordre 1 et que exp( 1 2 ta)exp(tb)exp(1 2tA) est d ordre au moins 2. Question 2 : On suppose que pour j = 1,...,s, ψ j (t) = exp(te j (t)) avec E j (t) = α j A+β j B + t 2 γ jad A (B)+O(t 2 ) Vérifier que α 1 = a 1, β 1 = b 1 et γ 1 = a 1 b 1. Question 3 : Montrer que pour 2 j s, on a les relations de récurrence suivantes : (i) α j = α j 1 +a j (ii) β j = β j 1 +b j (iii) γ j = γ j 1 +a j b j +α j 1 b j β j 1 a j Question 4 : En déduire qu on a les propositions suivantes : ψ s est d ordre au moins 1 si et seulement si s j=1 a j = 1 et s j=1 b j = 1 ψ s est d ordre au moins 2 si et seulement si elle est d ordre au moins 1 et s j=1 b j j i=1 a i = 1 2 Question 5 : On suppose ici que pour un entier s non nul donné, l approximation ψ s (t) est d ordre p, et qu on peut donc écrire : ψ s (t) = exp(t C(t)) avec C(t) = A + B + t p C p+1 + O(t p+1 ), où C p+1 est une matrice non nulle de M n (C) formée de puissances de A et B, que l on n explicitera pas. On considère alors l approximation suivante : φ(t) = ψ s (µ 1 t)ψ s (µ 2 t)ψ s (µ 3 t), pour tout triplet (µ 1,µ 2,µ 3 ) de réels de somme 1 (µ 1 +µ 2 +µ 3 = 1). Montrer qu on a alors φ(t) = exp(t D(t)) avec D(t) = A+B +t p (µ p+1 1 +µ p+1 2 +µ p+1 3 )C p+1 +O(t p+1 ). Question 6 : Donner une condition suffisante pour que φ(t) soit d ordre au moins p+1. Question 7 : Montrer que si p est impair, alors la condition précédente ne peut être satisfaite. Montrer que si p est pair, il existe une solution avec µ 1 = µ 3. 5

Question 8 : On suppose en outre que ψ s (t) satisfait la relation suivante pour tout t suffisamment petit : (ψ s (t)) 1 = ψ s ( t). Montrer qu alors p est pair et que pour la solution (µ 1,µ 2,µ 1 ) exhibée à la question précédente, on a également : (φ(t)) 1 = φ( t). Que peut-on dire de l ordre de φ(t)? Question 9 : Expliciter une procédure permettant de construire une approximation de exp(t(a+b)) de la forme de ψ s (t) d ordre pair aussi grand que souhaité. 6