Plan du cours de probabilités Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/11 Semaine 3 discrètes Variables et vecteurs aléatoires discrets, espérance conditionnelle Semaine 4 Indépendance, variance, covariance Vecteurs aléatoires continus
Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 2/11 : définitions et exemples X : Ω une fonction (valeurs non dénombrables), (Ω, A, P) : espace probabilisé «quelconque». On s intéresse à {X [a, b]} (= X 1 [a, b]) pour a b X est une variable aléatoire (tout court) si a, b {X [a, b]} A (ie, est un évènement) En pratique : «toujours» vrai. Une Densité de probabilité est une fonction f : +, f (x) dx = 1. (un «histogramme»)
Variable aléatoire continue Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 3/11 X : Ω, une variable aléatoire. déf : X est continue si «elle admet une densité de probabilité f», c est-à-dire, s il existe une densité f, telle que b P X ([a, b]) déf = P(X [a, b]) = f (x) dx, a, b. a P X : «loi de X» : probabilité sur. P(X [a, b]) = aire sous la courbe de f entre a et b. a b
Exemple : v.a. uniforme sur [A, B] A, B, A < B Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 4/11 déf : X est «uniformément distribuée sur [A, B]» (on écrit X U [A,B] ) si a b [A, B], (Alors P X ([A, B]) = 1) Densité P X ([a, b]) = b a B A f (x) = 1 B A 1 [A,B](x) ;
Exemple : loi normale Une v.a. réelle X suit une «loi normale standard» (ou «loi gaussienne» si elle admet pour densité Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 5/11 f : x f (x) = 1 2π e x2 2 On écrit X N (0, 1). Une v.a. Y suit une loi normale de paramètres µ et σ 2 si Y loi = µ + σ 2 X, où X N (0, 1). On écrit Y N (µ, σ 2 ).
Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 6/11 appel : Si X est discrète et sommable, E(X ) = x i P X {x i } i N Cas continu Une v.a. continue X admettant f comme densité est intégrable si x f (x) dx < Dans ce cas, l espérance de X est E(X ) = x f X (x) dx Les propriétés de l espérance discrètes sont encore vraies (linéarité, etc...)
Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 7/11 Exemples de calculs d espérance (i) : Loi uniforme X U [A,B] : f (x) = 1 B A 1 [A,B](x) 1 E (X ) = x f (x) dx = x B A 1 [A,B](x) dx x = B A dx (i) : Loi normale : X N (µ, σ 2 ) = [A,B] = B + A 2 µ = 0 : xf (x) x e x2 2σ 2 : impaire, E (X ) = x f (x) dx = 0. µ quelconque : X = µ + σn, N : normale standard, E (X ) = µ + σe (N) = µ
d une transformée Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 8/11 X une v.a.continue, f sa densité. g :. On dit que g(x ) 0 («g(x) est positive») si P(g(X ) 0) = 1. «g(x ) est intégrable» si g(x) f (x) dx < déf : de g(x ) Si g(x ) est positive ou intégrable, l espérance de g(x ) est E(g(X )) = g(x)f X (x) dx. rem : En posant Y = g(x ), Y n est pas forcément continue! ex : X U [0,1], g(x ) = 1 [0,1/2] (X ). g(x ) est discrète : Bernoulli de paramètre (1/2)!
Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 9/11 Comme dans le cas discret : Une v.a. continue de densité f est dite de carré intégrable si x 2 f (x) dx <. Pour une v.a. X de carré intégrable, de densité f, [ (X ) ] 2 Var(X ) = E E(X ) = (x E(X )) 2 f (x) dx l identité ( ) 2 Var(X ) = E(X 2 ) E(X ) reste valide dans le cas continu.
d une variable Gaussienne Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 10/11 Si N : loi normale standard N (0, 1), on admet que Var(N) = 1 Si X N (µ, σ 2 ), i.e. X = µ + σn : On a vu que E (X ) = µ. Var(X )? X E(X ) = X µ = σn, donc Var(X ) = E ( (σn) 2) = σ 2 E ( N 2) = σ 2 Var(N) = σ 2. Si X N (µ, σ 2 ), on a E(X ) = µ ; Var(X ) = σ 2
Loi normale : résumé Si X N (µ, σ 2 ), on a µ = E(X ) ; σ 2 = Var(X ) Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 11/11 Entre µ σ et µ + σ se trouve 68% de la «masse» de probabilité. P (X [µ σ, µ + σ)] 0.68 Entre µ 2σ et µ + 2σ se trouve 95% de la «masse» de probabilité. P (X [µ 2σ, µ + 2σ)] 0.95