Novembre 2010
Plan du Chapitre 1. Généralités 2. Variables Continues Usuelles 3. Espérance et Variance 4. Couple de Variables Aléatoires 5. Covariance et Corrélation 6. Autres Variables Continues Usuelles
1. Variable aléatoire continue On considère une expérience aléatoire d univers Ω et mesure de probabilité P. Définition 1: Une variable aléatoire X : Ω S R n est dite continue si x S, P(X = x) = 0. Exemple: (La pièce de monnaie de Buffon) L expérience consiste à jeter une pièce de monnaie de rayon r < 1/2 sur un carré de centre l origine O et de côté 1 (cm) et enregistrer les coordonnées (X, Y ) du centre de la place du pièce. (X, Y ) est une variable aléatoire continue car (a, b) [ 1/2, 1/2] 2, P((X, Y ) = (a, b)) = 0.
Définition 2. Soit X : Ω R n une v.a. continue. Une fonction f : R n R est dite densité de probabilité de X si A R n,: P(X A) = f (x)dx. A Ainsi, on a x R n, f (x) 0, et R n f (x)dx = 1.
Définition 3. Soit X : Ω R une v.a. continue de densité de probabilité f (.). On appelle fonction de repartition de X la fonction définie par : x R, F (x) = P(X x) = x f (t)dt. Propriétés. Si F (.) une fonction de répartition d une v.a. continue X : Ω R de densité de probabilité f (.), alors : (P1) F (.) est derivable sur R et x R, F (x) = f (x). (P2) F est croissante: si x y, alors F (x) F (y). (P3) Pour tout a < b on a : (P4) P(a < X < b) = F (b) F (a) = lim F (x) = 1 et lim F (x) = 0. x + x b a f (x)dx.
Exercice 1. Soit λ > 0 et f (.) la fonction définie par f (t) = { λe λt si t 0 0 si t < 0 1 Montrer que f (.) est une densité de probabilité d une v.a. X. 2 Représenter la courbe de f (.) et donner le mode de la distribution X. On dit que X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0. 3 Montrer que la fonction de répartition de X est donnée par F (x) = { 0 si x 0 1 e λx si x 0 Exercice 2. La vie T d un certain dispositif (l unité est 1000 heures) suit la loi exponentielle de paramètre λ = 12. Quelle est la probabilité pour que la vie du dispositif soit 2000 heures?
2. Variable Aléatoire Usuelles 2.1 Variable uniforme : Soit a < b deux réels. On dit qu une v.a. X : Ω R suit la loi uniforme U([a, b]) si sa densité est donnée par: { 1 f (x) = b a si x [a, b] 0 sinon La fonction de répartition de X est donnée par 0 si x a x a F (x) = b a si x [a, b] 1 si x b Exercice 3. Soit X une v.a. uniforme sur [a, b]. 1 Représenter les courbes de la densité f (.) et de la fonction de répartition F (.) de X. 2 Déterminer le troisième quartile Q 0.75. (c est à dire F (Q 0.75 ) = 0.75).
2.2 La Variable Normale : C est une distribution très importante en Probabilités et Statistique. On dit que X : Ω R est une v.a. normale centrée reduite si sa densité est: f (x) = 1 2π e x2 2, x R. Sa fonction de répartition est définie par : φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt, x R. Propriétés : La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite vérifie: φ( x) = 1 φ(x), x R. φ 1 (q) = φ 1 (1 q), q ]0, 1[. Q q = φ 1 (q) est la quantille d ordre q de la loi normale centrée réduite.
Définition 5: On dit qu une v.a. X : Ω R suit la loi normale N (µ, σ) où µ R et σ R + si sa densité est: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R. Théorème 1: Si la v.a. X suit la loi normale N (µ, σ), alors la v.a. Z = X µ σ suit la loi normale centrée réduite N (0, 1). Exercice 4: Considérons une v.a. X distribuée selon la loi normale centrée réduite. Déterminer les quantilles Q 0.99, Q 0.01, Q 0.95 et Q 0.05. Exercice 5: Supposons que X est une v.a. suit la loi normale N (10, 3). Déterminer P(4 < X < 16) et P( X 4 12). Exercice 6: Considérons une v.a. X distribuée selon la loi N (µ, σ). Si on sait que P(X 30) = 0.9772 et P(X 15) = 0.8413, déterminer les valeurs de µ et σ.
3. Espérance et Variance Un des concepts les plus importants dans la théorie de probabilité est l espérance d une variable aléatoire. Définition 6: L espérance d une v.a. continue X de densité f (.) est le réel (s il existe) E(X ) = + xf (x)dx. L espérance est appelé valeur moyenne (ou valeur prévue) de X.
Espérance des loi usuelles : 1 Si X suit la loi normale N (µ, σ), alors E(X ) = µ. 2 Si X suit la loi uniforme U[a, b], alors E(X ) = a+b 2. 3 Si X suit la loi exponentielle E(λ), alors E(X ) = 1 λ. Exercice 7: Soit X une v.a. continue de densité { 6x(1 x) si 0 x 1 f (x) = 0 sinon Déterminer l espérance de X. Définition 7: La variance d une v.a. continue de densité f (.) est le réel positif (s il existe) V(X ) = E ( [X E(X )] 2) = L écart-type de X est défini par + σ(x ) = V(X ). (x E(X )) 2 f (x)dx.
Proposition : On a V(X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. Exercice 8: (suite) Calculer la variance de X. Variance des loi usuelles : 1 Si X suit la loi normale N (µ, σ), alors V(X ) = σ 2. 2 Si X suit la loi uniforme U[a, b], alors E(X ) = (b a)2 12. 3 Si X suit la loi exponentielle E(λ), alors E(X ) = 1 λ 2. Exercice 9: Une machine produit des pièces dont le diamètre X (en cm) est une variable aléatoire normale d espérance µ et d écart-type σ = 0.01. Quelle devrait être la valeur de µ de sorte que pas plus de 1% des pièces aient un diamètre supérieur à 3 cm? Définition 8: On appelle moment centré d ordre n N d une v.a. continue X : Ω R de densité f (.) le réel (s il existe) µ n (X ) = E ([X E(X )] n ) = + (x E(X )) n f (x)dx.
Propriétés : Soit (a, b) R 2 et X, Y deux v.a. On a : 1 E(aX + by ) = ae(x ) + be(y ). 2 V(aX + b) = a 2 V(X ). 3 Soit la variable aléatoire Z = X E(X ) σ(x ) On a E(Z) = 0 et V(Z) = 1. Z est appelée la variable centrée réduite de X. Exercice 10: Soit (X 1, X 2..., X n ) une suite des v.a. continues de même densité f (.) et d espérance µ. On définie la v.a. M = 1 n n X i. i=1 Montrer que E(M) = µ.
4. Couple de Variables Aléatoires Soit (X, Y ) : Ω R 2 une variable aléatoire de densité f (x, y). On appelle densité marginale de X la fonction x R, f X (x) = + f (x, y)dy. On appelle densité marginale de Y la fonction y R, f Y (y) = + On dit que X et Y sont indépendantes si f (x, y)dx. (x, y) R 2, f (x, y) = f X (x)f Y (y). Définition. Soit X : Ω R et Y : Ω R deux variables aléatoires continues. La fonction de repartition de (X, Y ) est définie par : (x, y) R 2, F (x, y) = P(X x, Y y).
Exercice 11: Soit (X, Y ) un couple de variables de densité conjointe la fonction f définie par { 6x f (x, y) = 2 y si 0 x 1 et 0 y 1 0 sinon 1 Déterminer les densités marginales f X (.) et f Y (.). 2 X et Y sont-elles indépendantes?. Exercice 12: Soit (X, Y ) un couple de variables de densité conjointe la fonction f définie par { 15x f (x, y) = 2 y si 0 x y 1 0 sinon 1 Déterminer les densités marginales f X (.) et f Y (.). 2 X et Y sont-elles indépendantes?.
Généralisation : Soit (X 1,..., X n ) une variable aléatoire de densité une fonction f : R n R. On dit que X 1,..., X n sont indépendantes si (x 1,..., x n ) R n, f (x 1,..., x n ) = où f Xk (x k ) est la densité marginale de X k. n f Xk (x k ) k=1 La somme de deux variables normales indépendante est une variable normale. Théorème 2: Si X 1 et X 2 sont deux v.a. indépendantes qui suivent respectivement les lois normales N (µ 1, σ 1 ) et N (µ 2, σ 2 ), alors la v.a. Z = X 1 + X 2 suit la loi normale N (µ 1 + µ 2, σ1 2 + σ2 2 ).
Définition 9: La covariance d un couple (X, Y ) est le réel définie par Cov(X, Y ) = E ((X E(X ))(Y E(Y ))). Le coefficient de corrélation du couple (X, Y ) est défini par r(x, Y ) = Cov(X, Y ) σ(x )σ(y ). La covariance du couple (X, Y ) est encore donnée par Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X )E(Y ).
Propriétés de Covariance : (P1) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X ) et Cov(X, X ) = V(X ). (P2) Cov(aX + bz, Y ) = a Cov(X, Y ) + b Cov(Z, Y ). (P3) V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ) + 2 Cov(X, Y ). (P4) V(X + Y ) + V(X Y ) = 2V(X ) + 2V(Y ). (P5) Si X et Y sont indépendantes alors Cov(X, Y ) = 0. (P6) Le coefficient de corrélation r(x, Y ) [ 1, 1]. (P7) Si Y = ax + b alors r(x, Y ) = { 1 si a > 0 1 si a < 0
Exercice 13: Soit X une v.a. continue dont la densité est { ax si 0 x 2 f (x) = 0 sinon 1 Déterminer le réel a. 2 Calculer l espérance E(X ) et la variance V(X ). 3 On considère la v.a. Y = X 2. Déterminer la fonction de répartition et puis la densité de Y. 4 Calculer l espérance E(Y ) et la variance V(Y ). Exercice 14: N (8.5, 4). Lors d un examen, la note X a suivi une loi normale 1 Quelle est la proportion d étudiants ayant la moyenne? 2 On veut améliorer les notes à l aide d une transformation affine Y = ax + b (la variable Y désignant la nouvelle note). Déterminer a et b pour que 50% des étudiants aient la moyenne et que 75% des étudiants aient une note supérieure où égale à 8.
6. Autres Variables Aléatoires Usuelles 6.1. La Distribution Khi2 : C est une distribution très importante en Statistique. Si X 1, X 2,..., X n sont des variables aléatoires. indépendantes de même loi normale centrée réduite, alors on dit que la variable K = X 2 1 + X 2 2 +... + X 2 n suit la loi Khi2 de degré de liberté n. La variable Khi2 est additive: si K 1 et K 2 sont indépendants de lois Khi2 de degrés respectifs n 1 et n 2, alors K 1 + K 2 suit la loi Khi2 de degré n 1 + n 2. L espérance et la variance de K sont données par E(K) = n, V(K) = 2n
Exercice 15: Supposons qu un missile est lancé par un avion vers une cible supposée à l origine d une repère (oxy)(l unité est le mètre). Le missile atteint un point de coordonnées (X, Y ) où X et Y sont deux variables indépendants de même loi normale N (0, 100). Si le missile atteindra un point qui n est pas loin du cible de 20 mètres, alors il le détruira. Déterminer la probabilité pour que le missile détruira la cible.
6.2. Distribution de Student : Soit Z une v.a. de loi normale centrée réduite et V de loi Khi2 de degré de liberté n. Si Z et V sont indépendants, alors la v.a. T = Z V /n suit la de Student de degré de liberté n. Pour n > 2, on a E(T ) = 0, V(X ) = n n 2. 6.3. Distribution de Fisher : Soit U et V deux v.a. de loi Khi2 de degrés de liberté respectifs m et n. Si U et V sont indépendants, alors la v.a. F = U/m V /n suit la de Fisher de degré de liberté (m, n). Pour n > 4, on a E(F ) = n ( ) ( ) n m + n 2 n 2, V(F ) = 2. n 2 m(n 4)
Soit T n une variable aléatoire de Student de degré n. Pour α, 0 < α < 1, soit t α,n le réel vérifiant Par symétrie, on a P(T t α,n ) = α. t α,n = t 1 α,n. Soit K n une variable aléatoire de loi Khi2 de degré n. Pour α, 0 < α < 1, soit P(K χ 2 α,n) = α. Exercice 16. Déterminer χ 2 0.25,15.