TD 4 : Mouvement accéléré 1 Exercices d introduction Exercice 1 Evolution de la population mondiale Année (1er janvier) 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013 Population (10 9 ) 0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100 Dans la table?? est indiquée l évolution de la population mondiale, en milliard(s) d habitants, de l an 1500 à nos jours. 1. Vitesse (a) Sans chercher à être rigoureux, définir, puis calculer la vitesse moyenne d accroissement de la population mondiale en fonction du temps, jusqu à l an 2013 inclus, en précisant les unités choisies. (b) Cette vitesse est-elle constante? (c) Définir, puis calculer la vitesse moyenne d accroissement de cette vitesse, en fonction du temps, en conservant le même choix d unités. (d) Au premier janvier 2014, quelle sera selon vous la population mondiale? 2. Représentation graphique (a) Représenter graphiquement l évolution de la population en fonction du temps. (b) Même question pour la vitesse. 3. Accélération (a) Rappeler la définition mathématique de la dérivée première d un fonction f(x). (b) Quelle est la définition mathématique d une vitesse? (c) En déduire la définition mathématique d une accélération. (d) Calculer l accélération de la population mondiale. Exercice 2 Mouvement rectiligne (a) Rappeler les relations mathématiques (dérivées et intégrales) entre la position, la vitesse et l accélération. (b) Représenter graphiquement le mouvement (position, vitesse et accélération) en fonction du temps, d un corps se déplaçant à vitesse constante le long d une droite. (c) Même question pour un corps se déplaçant à accélération constante.
Exercice 3 Mouvement plan La figure?? représente une trajectoire suivie par un objet dans un plan. A l instant t 0 l objet se trouve au joint M 0, à l instant t 1 = t 0 + t, il se trouve au point M 1 ; plus généralement, à l instant t i = t 0 + i t ( t = 1s), il se trouve au point M i. Figure 1: Trajectoire suivie par un objet, dans un plan. Les points M 1 (... M 10 ) sont atteints 1 (... 10) seconde(s) après le passage par le point M 0. L origine des coordonnées est initialement située en O (voir texte). (a) Donnez l expression de la vitesse moyenne entre M1 et M2, puis entre M8 et M9. Représentez qualitativement la vitesse instantanée v en chacun de ces points. (b) En utilisant un raisonnement analogue, représentez qualitativement le vecteur accélération a aux points M1 et M8. (c) Comment les résultats précédents sont-ils modifiés si on prend comme origine des coordonnées le point O? Page 2
2 Approfondissement Exercice 4 Fête foraine Dans une fête foraine, une cage est attachée à un grand élastique tendu verticalement. A l instant t 0 = 0 la cage est lâchée à vitesse nulle depuis le sol. Elle prend alors un mouvement vertical ascendant. A l instant t 1 = 2 s, alors qu elle a atteint une vitesse v 1 = 15 m s 1, l élastique est détaché de la cage. (a) Calculer l accélération moyenne de la cage entre t 0 et t 1. (b) En supposant que la cage est soumise à une accélération constante entre t 0 et t 1, calculer la hauteur à laquelle elle se trouve à l instant t 1. (c) La cage continue ensuite à monter sur sa lancée, alors qu elle est maintenant soumise à la seule force de la pesanteur. Jusqu à quelle hauteur monte-t-elle? On note t 2 l instant où elle atteint cette hauteur maximale. (d) Après t 2, la cage retombe. Quelle est sa vitesse à l instant t 3 = t 2 + 1 s? (e) A partir de l instant t 3, la cage est freinée par un dispositif adéquat de sorte qu elle arrive à vitesse nulle au niveau du sol. A quelle accélération, supposée constante, la cage doit-elle être soumise pendant le freinage? Exercice 5 Lancer de ballon Depuis un point O situé sur sa tête, un joueur lance un ballon. Ce dernier a une vitesse initiale v 0 faisant un angle θ avec l axe horizontal, noté Ox, orienté dans le sens du mouvement du ballon. On note Oz l axe vertical, orienté dans le sens ascendant. (a) En négligeant les frottements du ballon avec l air, écrire l équation qui permet de déterminer sa trajectoire. (b) Calculer la portée du lancer du ballon. (c) Pour quelle valeur de θ cette portée est-elle maximale, v 0 étant fixée? (d) Quelle est la vitesse minimale v 0 que doit avoir le ballon pour qu il parvienne sur la tête d un autre joueur de même taille, placé à une distance D du premier. (e) Pour une vitesse initiale plus grande que cette vitesse minimale, déterminer en fonction de v 0 et de D les deux valeurs possibles de θ (tir "tendu" ou en "cloche"). Page 3
Exercice 6 Voilier Un voilier baisse les voiles à l instant t = 0, alors que sa vitesse vaut v 0. Freiné par les frottements dans l eau, le voilier ralenti. Plus précisement, l accélération du voilier est proportionnelle au carré de sa vitesse. (a) Représenter graphiquement les vecteurs vitesse et accélération mis en jeu. (b) Déterminer la distance parcourue en fonction du temps. (c) Calculer sa vitesse en fonction de la distance parcourue. (d) Après quelle distance parcourue le voilier s arrête-t-il? (e) Proposer une résolution physique de ce paradoxe. 3 Problème (inspiré de l examen de janvier 2011) On considère une roue d un vélo qui se déplace à vitesse constante sur une route horizontale, sans glissement. On note R le rayon de la roue. 1. Référentiel du vélo On se place d abord dans un référentiel R v fixe par rapport au velo. Dans R v, la roue tourne avec une vitesse angulaire ω constante, mais son centre, placé à l origine, est immobile. On observe un point particulier de la roue, noté P: la valve du pneu. Dans la suite, le pneu est supposé d épaisseur négligeable. A t = 0 le point P se trouve sur l axe Ox, comme indiqué sur la figure??. (a) Sachant que le vélo se déplace vers la droite de la figure??, quelle est le signe de ω? (b) Pendant un laps de temps t, quel est la longueur de l arc de cercle parcourue par P? (c) Déterminer les coordonnées x P (t) et y P (t) de P en fonction du temps. (d) En déduire les composantes de la vitesse v P de P. (e) Même question pour les composantes de l accélération a P de P. Page 4
Figure 2: Dans le référentiel R v le centre de la roue du vélo est immobile. A l instant initial, le point P se trouve à l horizontale. 2. Référentiel du sol On se place maintenant dans un référentiel R s fixe par rapport au sol. (a) Pendant un laps de temps t, quel est la distance parcourue par le vélo? (b) En déduire la relation entre ω et la vitesse V o du centre de la roue dans R s. (c) Déterminer les coordonnées de P dans R s. (d) Donner une représentation graphique de la trajectoire de P dans R s. Page 5