Département fédéral de lintérieur DFI Commission suisse de maturité CSM Examen suisse de maturité, session d hiver 0 PHYSIQUE ET APPLICATIONS DES MATHEMATIQUES EN OPTION SPECIFIQUE Durée : 3h Nom : Prénom : Groupe : Le candidat traite deux problèmes par discipline Il a donc 3 heures à disposition pour traiter deux problèmes de physique sur les trois proposés et deux problèmes d applications des mathématiques sur les trois proposés Chaque problème vaut 0 points Pour obtenir la note 6, il faut résoudre correctement et complètement les quatre problèmes Le candidat présente sur un feuillet les deux problèmes de physique et sur un deuxième feuillet les deux problèmes d applications des mathématiques Il indique clairement sur chacun de ceux-ci son nom, prénom, numéro de groupe et les problèmes qu il décide de traiter Nombre de points obtenus : Physique Applications des mathématiques Problème : / 0 Problème : / 0 Problème : / 0 Problème : / 0 Problème 3 : / 0 Problème 3 : / 0 Sous total : / 40 Sous total : / 40 Total : / 80 Note : Correcteur N : Correcteur N : Date : Date : SER / 63-009 / OS PAM / H Veuillez rendre ce feuillet avec votre travail, merci! /7
Partie «Physique» Durée indicative : 90 minutes Problème ( 0 points) On considère deux particules ponctuelles de masses m et m Initialement, la particule de masse m est animée dune vitesse v r dirigée suivant laxe x Elle vient percuter la particule de masse m initialement immobile en O, l origine du référentiel On suppose que le choc est parfaitement élastique et on désigne par θ et v r après le choc θ les angles par rapport à x des vitesses v r et Représenter sur les axes ci-dessous les situations des masses avant et après le choc Vous indiquerez les positions des masses et leurs vitesses Avant le choc x Après le choc x Indiquer quelles sont, dans ce problème, les grandeurs physiques conservées 3 Ecrire, sans tenter de les résoudre, les équations basées sur les lois de conservation 4 On suppose maintenant que θ = 0 : a Exprimer v r et v r en fonction de v r, m et m b Calculer E c, lénergie cinétique de la première particule avant le choc en fonction de m et de v r c Calculer E lénergie cinétique de la deuxième particule après le choc en fonction c de m, m et E c d Pour la solution du point ci-dessus (4c), examiner et commenter les cas particuliers suivants : i m = m ii m << m /7
Problème ( 0 points) Un cyclotron est un instrument qui sert à accélérer des particules chargées, permettant ensuite de réaliser des expériences de physique nucléaire Dans ce problème les particules chargées sont des protons de masse m P = 67 0-7 kg et de charge électrique q P = +6 0-9 C Le cyclotron est formé de deux demi-cylindres conducteurs creux appelés «dees» et séparés par un intervalle étroit Un champ magnétique uniforme B r règne à l intérieur de chaque «dee», sa direction est perpendiculaire au plan des demi-cylindres, sa valeur est 0 T Le champ B r est nul dans l intervalle étroit qui sépare les «dees» Un champ électrique E r, variable dans le temps, peut être établi dans l intervalle étroit qui sépare les «dees» Il permet d augmenter la vitesse des protons chaque fois qu ils pénètrent dans cet intervalle (il n y a pas de champ électrique dans les «dees») Ce champ électrique variable est obtenu en appliquant une tension sinusoïdale de valeur maximale U M et de fréquence f entre les deux «dees» : U M = 0 3 V Le proton entre dans le «dee» avec une vitesse initiale d injection perpendiculaire à l axe des demi-cylindres (voir schéma) On négligera la force de gravité du proton devant les autres forces Donner lexpression de la force agissant sur le proton au point de départ O (juste à lintérieur du «dee») ; la représenter sur le schéma ci-dessus Le mouvement du proton étant plan, montrer, par un argument, que l intensité de la vitesse est constante à l intérieur du «dee» r mp V0 3 Montrer que le rayon R 0 de la trajectoire circulaire du proton est R0 = r qp B 4 Exprimer la longueur l parcourue par un proton sur le demi-tour de rayon R0 et en déduire l expression du temps t mis par ce proton pour effectuer ce demi-tour 5 Ce temps dépend-il de la vitesse d entrée du proton dans le «dee»? Calculer la valeur de t à laide des données numériques données en début dexercice Le proton, après avoir fait un demi-cercle dans un «dee», entre dans l intervalle étroit où il est accéléré par le champ électrique considéré comme constant, maximum et colinéaire au vecteur vitesse du proton durant son passage 6 Calculer la fréquence f de la tension alternative appliquée entre les «dees» pour que les protons subissent une accélération maximale à chaque traversée de l intervalle dans la direction et le sens de leur vitesse On suppose que le temps de traversée de l intervalle est négligeable devant le temps passé dans les «dees» 3/7
Problème 3 ( 0 points) Sur le premier dessin, un bloc de bois de surface S et de hauteur H flotte immobile La hauteur du bois émergé est : x = xe Exprimer x e en fonction de H, ρ liq et ρ bloc 3 3 Application numérique : H = 5 cm ; ρ = 000 kg/m ; ρ = 600 kg/m liq On appuie maintenant sur le bloc avec une force F,ce qui enfonce le bloc jusquà x = cm, puis au temps t = 0 s, on lâche le bloc, ce qui supprime cette force: le bloc se met alors à osciller verticalement En négligeant tout frottement : Établir que ce mouvement est un mouvement harmonique H xe 3 Établir que la période des oscillations est Τ= π g 4 Calculer T (NB : En cas de non-réponse à la question, prendre x e = 6 cm ) 5 Donner léquation horaire de ce mouvement : x() t = A sin( ω t+ ρ0) + xe, en précisant les valeurs de A, de ω et de ρ 0 6 Écrire les expressions de la vitesse et de laccélération : vt () =? et at () =? 7 A quel instant t la vitesse atteint-elle pour la première fois sa valeur maximale? 8 Même question pour laccélération 9 Calculer les valeurs maximales de la vitesse et de laccélération bloc Quand on maintient le bloc enfoncé Après que le bloc ait été relâché 4/7
Partie «Applications des mathématiques» Durée indicative : 90 minutes Problème (0 points) On considère l équation différentielle y = y avec la condition initiale y ( 0) = a) Calculer une approximation de y ( ) en employant la méthode d Euler avec 4 pas Présenter les calculs de manière détaillée et donner toutes les réponses sous forme de fraction b) On aimerait calculer littéralement une approximation de y ( ) en employant la méthode d Euler avec n pas, où n est un nombre entier plus grand ou égal à 4 Effectuer les calculs détaillés pour les 4 premiers pas, cest-à-dire trouver une expression 3 y 4 n (ou formule) donnant y( n ), y( n ), y( n ) et ( ) Déduire de ces quatre résultats une formule qui donne y ( ) en fonction de n c) Donner la solution générale de léquation différentielle ainsi que la solution particulière satisfaisant la condition initiale y ( 0) = d) En employant la formule trouvée à la question b), trouver une nouvelle formule qui permet décrire le nombre e (nombre deuler) sous forme dune limite 5/7
Problème (0 points) Problème de mathématiques financières, pour lequel on rappelle la formule ci-dessous Remboursement dune dette n n D r n = D r a où D est la dette initiale et D r n la dette restante après avoir versé n annuités a De plus, r = + t (t = taux dintérêts) Un emprunt de 400000 francs au taux dintérêt annuel de % est remboursé par n annuités de 0000 francs ainsi que par une (n+)-ième annuité, le solde, qui est inférieur à 0000 francs La première annuité est versée une année après que la dette ait été contractée Le solde est versé une année après la dernière annuité de 0000 francs a) Calculer la dette restante après avoir versé, et 3 annuités b) Déterminer la valeur de n (nombre dannuités de 0000 francs) c) Calculer le montant du solde, autrement dit de la toute dernière annuité d) Calculer, pour la dixième annuité de 0000 francs, la part consacrée au paiement de lintérêt ainsi que celle consacrée à lamortissement (remboursement de la dette) e) Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de % et déterminer le montant de chaque mensualité, si on veut rembourser cet emprunt de 400000 francs en versant des mensualités pendant 5 ans, cest-à-dire 300 mensualités au total f) Une banque propose de se faire rembourser cet emprunt de 400000 francs par le versement de 0 annuités de 3876 francs chacune Elle prétend offrir un taux dintérêt de 75% Déterminer par un calcul si cette banque dit vrai 6/7
Problème 3 (0 points) Ce problème est constitué de deux questions indépendantes les unes des autres a) On a répété 0 fois lexpérience consistant à lancer 00 fois un dé À chaque fois on a compté le nombre de "6" ainsi obtenus Les résultats sont donnés dans le tableau cidessous Expérience 3 4 5 6 7 8 9 0 Nombre de "6" 9 7 6 4 5 8 5 6 7 Déterminer : Le nombre moyen de "6" par expérience, ainsi que lécart-type; Le nombre médian de "6" obtenus b) On a lancé un dé un certain nombre de fois (0 fois, 0 fois, ) et on a compté le nombre de "6" obtenus Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous Nombre de lancers 0 0 30 40 50 Nombre de "6" 3 4 9 7 7 Déterminer léquation de la droite de régression linéaire donnant le nombre de "6" en fonction du nombre de lancers, ainsi que le coefficient de corrélation correspondant 7/7