Cliques, et l impossible
Le jeu de Sim Six points dans le plan. Un joueur dispose d un crayon bleu et l autre d un rouge. Tour à tour, ils tracent un trait entre deux points. Le premier qui complète un triangle de sa couleur a perdu. Jamais de partie nulle!
Le jeu de Sim Sur cinq points, la partie nulle est possible.
Le théorème de l amitié Thorème de l amitié : Parmi six personnes, on en trouve toujours trois qui se connaissent l une l autre, ou trois qui sont étrangères l une à l autre.
Ensembles et couvertures de sommets Un ensemble indépendant d un graphe est un ensemble de nœuds deux à deux non adjacents. Un ensemble indépendant maximum est un ensemble indépendant dont le nombre de nœuds est maximal. Rappel : Une couverture de sommets est un ensemble de sommets tel que toute arête est incidente à un de ces sommets. Théorème : Un ensemble de nœuds est indépendant si et seulement si son complémentaire est une couverture de sommets. Corollaire : ensemble indépendant maximum + couverture minimum = nombre de nœuds Donc trouver un ensemble indépendant maximum est tout aussi difficile que trouver une couverture de sommets minimale. Pas d algorithme efficace connu.
Ensembles et cliques Une clique d un graphe est un ensemble de nœuds deux à deux adjacents. Autrement dit, c est un sous-graphe complet. Une clique maximum est une clique dont le nombre de nœuds est maximale. Théorème : Un ensemble est indépendant dans un graphe simple si et seulement si il est une clique dans le graphe complémentaire. Deux nœuds sont adjacents dans le complémentaire du graphe G si et seulement si ils sont non-adjacents dans le complémentaires. Donc trouver une clique maximum est tout aussi difficile que trouver un ensemble indépendant maximum ou une couverture de sommets minimum.
Le théorème de Ramsey Théorème de l amitié : Tout graphe simple à six nœuds contient une clique de trois nœuds ou un ensemble indépendant de trois nœuds. Théorme de l amitié : En coloriant, de façon arbitraire, les arêtes du graphe complet à six nœuds en bleu et rouge, on crée un triangle bleu ou un triangle rouge. Un triangle est une clique de trois nœuds. Ramsey a généralisé ce résultat pour des cliques de taille arbitraire.
Le théorème de Ramsey Soit un graphe complet à r nœuds. On colorie les arêtes en couleurs c 1, c 2. On cherche la plus petite valeur de r telle que tout coloriage crée une clique à p nœuds de couleur c 1, ou une clique à q nœuds de couleur c 2. Cette plus petite valeur de r, est le nombre de Ramsey R(p, q). Thorme de Ramsey (1930) : p, q N, R(p, q) existe On le prouve à l aide de l inégalité suivante. Théorème (Erdős et Szekeres, 1935) : Pour p, q 2 : R(p, q) R(p, q 1) + R(p 1, q). Corollaire : R(p, q) ( ) p+q 2 p 1
Quelques nombres de Ramsey Il est très difficile de calculer exactement les nombres de Ramsey, on n en connaît que peu. Théorème de l amitié : R(3, 3) = 6. On sait aussi que R(1, 1) = 1, R(2, 2) = 2, R(4, 4) = 18. On ne connaît pas exactement les valeurs de R(5, 5), R(6, 6),... Le mathématicien Joel Spencer raconte : Erdős asks us to imagine an alien force, vastly more powerful than us, landing on Earth and demanding the value of R(5, 5) or they will destroy our planet. In that case, he claims, we should marshal all our computers and all our mathematicians and attempt to find the value. But suppose, instead, that they ask for R(6, 6). In that case, he believes, we should attempt to destroy the aliens.
Cliques et densité Un graphe dense (qui a beaucoup d arêtes) possède invitablement des cliques. Thorème de Turàn (1941) : Si un graphe simple a strictement plus de (1 1 r ) n2 2 arêtes, alors il a une clique de r + 1 nœuds.
Frank Plumpton Ramsey Mathématicien, philosophe et économiste anglais. 1903-1930.
La théorie de Ramsey Beaucoup de théorèmes existant imitent le théorème de Ramsey et prouvent quelque chose du genre : Dans un machin suffisamment grand, il y a toujours des sous-machins avec une certaine propriété. Autrement dit : Dans un grand machin, même tout à fait quelconque, un certain ordre est invitable. Ou encore : Le complet est impossible.
Exemple : sommes d entiers Colorions les nombres de un à quatorze en trois couleurs. Alors il existe trois nombres (pas forcément distincts) x, y, z de même couleur tels que x + y = z. Théorème de Schur (1916) : Pour chaque k, il y a un nombre r k tel que pour toute partition des nombres 1, 2,..., r k en k classes, une de ces classes contient x, y, z tels que x + y = z.
Exemple : progressions arithmétiques Colorions les nombres de un à neuf en deux couleurs. Alors il existe une progression arithmétique de longueur trois qui est monochrome. Théorème de Van der Waerden : Pour tout p, q, il existe un nombre W (p, q) tel que les nombres de 1 à W (p, q), coloriés arbitrairement en p couleurs, contiennent une progression arithmétique monochrome de longueur q.