Logique 2 : la déduction

Logique 2 : la déduction La mathématique est la science de la déduction. Ce qui signifie qu un mathématicien prend des informations de départ et cherche tout ce qu on peut en déduire. La question de savoir quelles sont les informations de base qui sont vraies n est pas du ressort de la mathématique, mais plutôt de la physique et de toutes les autres sciences appliquées. Par exemple un joueur d échec est un mathématicien : il prend les règles du jeu sans les discuter, et il voit tout ce qu il peut faire avec. Si un beau jour on lui dit que le pion se déplacera dorénavant en diagonale, il ne s émeut pas, et recommence ses raisonnements avec cette nouvelle règle. Bien entendu, un bon scientifique doit savoir à la fois deviner quelles sont les règles de base qui régissent le problème qu il étudie (physique), et aussi voir tout ce qu on peut en déduire (math). Si les déductions ne concordent pas avec l observation, il doit vérifier son raisonnement, puis si le raisonnement est juste, changer son choix de règles de base. Un point de vocabulaire : les informations élémentaires dont part un mathématicien s appellent des axiomes. Un choix d axiomes et l ensemble des déductions qu on peut en faire s appelle une théorie. 1 Le théorème Un théorème est généralement de la forme suivante : au préalable ont étés définis un ensemble E et deux prédicats P et Q sur E, et le théorème s énonce ainsi en formule : Théorème 1. x E, P(x) Q(x). ou, plus fréquemment en mode littéraire : Théorème 2. Soit x E. On suppose P(x) vrai. Alors Q(x) est vrai aussi. Dans la première partie (le "Soit x E."), on indique de quoi on est en train de parler. La seconde partie ("On suppose P(x) vrai") forme les "hypothèses" du théorème. Enfin, la dernière partie est la "conclusion". Lorsqu on utilise le théorème, on rédige souvent ainsi : imaginons que nous ayons un élément a dans notre exercice, et que nous voulons prouver Q(a), on écrit alors : "Déjà, a E. Or, P(a) est vrai. Donc, d après le théorème, on déduit que Q(a) est vrai". Utiliser un théorème s appelle effectuer une déduction. La déduction est la seule et unique méthode de raisonnement utilisée en mathématiques, dit autrement, la mathématique est l étude de la déduction. Les différentes méthodes de raisonnement que nous verrons reposent toujours sur ce principe de déduction. cf exercice: 2 Remarque: Lorsque vous devrez énoncer un théorème lors d une question de cours, faites attention à faire apparaître clairement ces trois parties. Remarque: Pour certains théorèmes, l hypothèse est toujours vérifiée, il devient inutile de l écrire. Le théorème s énoncera alors ainsi : Théorème 3. x E, Q(x). et en littéraire : Théorème 4. Soit x E. Alors Q(x) est vrai. Dans ce cas, la seule chose à vérifiée est que l élément étudié est bien dans l ensemble E. Enfin, une dernière variante : un théorème peut présenter une équivalence : Théorème 5. x E, P(x) Q(x). 1

ou : Théorème 6. Soit x E. Alors Q(x) est vrai si et seulement si P(x) est vrai aussi. Dans ce cas là, on a en fait deux théorèmes réunis en seul énoncé : le premier théorème est x E, P(x) Q(x), et le second théorème est sa réciproque : x E, Q(x) P(x). Un mot de vocabulaire : un théorème qui donne une équivalence est souvent appelé une "caractérisation". 2 Un peu de français Voici quelques mots de liaison très fréquent : "donc" : c est votre mot préféré. Il indique que vous faites une déduction, il est fréquent de l employer à chaque ligne. "car" : s utilise pour donner la justification après la conclusion... A éviter, sauf si la justification est très courte. "or" : s utilise pour introduire un nouvel argument qui n est pas lié à la phrase précédente. "avec" : ce mot n a aucun sens précis, ne jamais l utiliser. cf exercice: 2 3 Quelques modèles de rédaction 3.1 Déduction directe Supposons que nous ayons un ensemble E, et deux prédicats P et Q, et que nous connaissions un théorème x E, P(x) Q(x). Appelons ce théorème le théorème T. Enfin, nous avons un élément a et nous voulons prouver Q(a). Une rédaction pourrait être : "Déjà, a E. Ensuite Donc P(a) est vraie. Donc par le théorème T, on déduit que Q(a) est vraie. 3.2 Absurde Supposons que nous ayons une assertion A et que nous voulions prouver qu elle est vraie. La méthode par l absurde consiste à supposer que A est fausse, puis à en déduire quelque chose d impossible (typiquement, on va contredire une assertion qu on sait vraie). Une rédaction peut ressembler à : "Supposons par l absurde que A est fausse. Alors : Ce qui est impossible / ce qui contredit telle hypothèse On conclut que notre supposition était fausse : A est donc vraie." cf exercice: 4 3.3 Assertion commençant par Pour démontrer que x E, P(x) : On choisit un élément x E quelconque. Et on démontre P(x), en prenant soin que tout ce qu on écrit soit vrai quel que soit x E. La rédaction ressemblera en général à ceci : 2

" Soit x E. Alors : On a bien vérifié que pour tout x E, P(x) est vrai." 3.4 Assertion commençant par Pour démontrer que x E tq P(x) : Le plus simple est juste de deviner un x E pour lequel P(x) est vrai. La rédaction ressemblera alors à : " Prenons x =. Alors : On a bien vérifié qu il existe x E tel que P(x). " Remarque: Deviner un x convenable peut être difficile, et peut nécessiter de nombreux calculs au brouillon. 3.5 Unicité Pour démontrer que!x E tq P(x) : Cette assertion en contient en réalité deux : d abord l existence d un x vérifiant P(x), puis son unicité. On va donc rédiger deux paragraphes, le premier pour l existence comme ci-dessus. Puis le second pour l unicité. Pour prouver l unicité l unicité d un x E vérifiant P(x), le plus simple est de supposer qu il existe deux éléments x 1 et x 2 de E tels que P(x 1 ) et P(x 2 ), et de démontrer que x 1 = x 2. Au final, on aura une rédaction de ce type : " Montrons l existence : (cf ci-dessus) Montrons l unicité : Soient x 1 et x 2 deux éléments de E tels que P(x 1 ) et P(x 2 ). Alors : Donc x 1 = x 2. Ce qui prouve que l élément de E vérifiant P est en fait unique. On a prouvé existence et unicité : on peut donc affirmer qu il existe un unique x E vérifiant P(x). " cf exercice: 3 Remarque: Le symbole! est en fait superflu en mathématiques : l assertion!x E tq P(x) a le même sens logique que : x E tq P(x) et ( (x, y) E 2, P(x) et P(y) x = y ) Ainsi,! est juste un raccourci pour une assertion qu on pouvait déjà écrire seulement à l aide de et. 3

3.6 Disjonction de cas Lorsqu on est amené à séparer plusieurs cas, il faut bien entendu veiller à avoir traité tous les cas possibles! Le mieux est de conclure par une phrase de type "on a vérifié que dans tous les cas l assertion est vraie". Un modèle de rédaction pourrait être le suivant. Imaginons que nous ayons un ensemble E, un prédicat P sur E, et que nous voulons prouver x E, P(x) : "Soit x E. Premier cas : supposons que x vérifie Alors : Second cas : supposons que x vérifie Alors : # autant de cas que nécessaire On constate que dans tous les cas, P(x) est vrai." Exemple: Démontrer que x R, x 2 0. 4 Réciproque et contraposée cf exercice: 5 Définition 1. Soient E un ensemble, P et Q deux prédicats sur E. Notons I l implication suivante : x E, P(x) Q(x). (i) L implication x E, Q(x) P(x) s appelle la réciproque de I (ii) L implication x E, nonp(x) nonq(x) s appelle la contraposée de I Remarque: L implication x E, nonq(x) nonp(x) est la contraposée de la réciproque de I, ou également la réciproque de la contraposée de I. On voit sur les exemples que lorsqu une implication est vraie, sa réciproque n a aucune raison de l être (ni la réciproque de la contraposée d ailleurs). Par contre : Théorème 7. Si une implication est vraie, alors sa contraposée est vraie aussi. cf exercice: 6 4

Exercices : Raisonnements Exercice 1. **! Un peu de français Notons P l assertion "il pleut", et Q l assertion "je prend mon parapluie". Traduire chacune des phrases suivantes par une implication. Donner la contraposée et la réciproque en français. 1) S il pleut, je prends mon parapluie. 2) Il suffit qu il pleuve pour que je prenne mon parapluie. 3) Il faut qu il pleuve pour que je prenne mon parapluie. 4) Il faut que je prenne mon parapluie pour qu il pleuve. 5) Il pleut seulement si je prends mon parapluie. 6) Il pleut si je prends mon parapluie. 7) Je prends mon parapluie si et seulement si il pleut. Dans les exercices suivants, on pourra utiliser les propriétés suivantes. On ne cherchera pas à la démontrer au préalable : nous les prendrons comme axiomes. Proposition 4.1. 1) (P1) : (a, b, c) R 3, a b a + c b + c. 2) (P2) : (a, b, c) R 3, (a b et c 0) a.c b.c. 3) (P3) : (a, b, c) R 3, (a b et b c) a c ("transitivité de "). À chaque fois que vous utiliserez une de ces propriétés, citez-la, et indiquez pour quelles valeurs de a, b et c vous l avez utilisée. Exercice 2. Démonstration à trous. Utilisation de "donc" et "or". Dans les démonstrations suivantes, compléter les pointillés par une conjonction de coordination, et compléter les "d après " en rajoutant "(P1)", "(P2)", ou "(P3)". On rappelle la définition d une fonction croissante : Définition 2. Soit I un intervalle et f : I R une fonction sur I. On dit que f est croissante sur I lorsque : (x, y) I 2, x y f (x) f (y). 1. Soit f la fonction définie par f : R R x x 2 (la fonction "carré"). Nous allons prouver que f est croissante sur R +. Soient x et y éléments de R +. Supposons que x y. Par hypothèse, x 0 et x y., d après, par hypothèse, y 0 et x y., d après, x.x x.y x.y y.y Ainsi, nous avons obtenu x 2 xy et xy y 2., d après, f (x) f (y) x 2 y 2 Finalement, nous avons prouvé que quels que soient x et y dans R +, si x y alors f (x) f (y). Par définition d une fonction croissante, f est croissante sur R +. 5

2. Ici, nous voulons prouver que : pour tout x et y réels, x y x y. Soient x et y deux nombres réels. Supposons x y. D après, x x y x., x x = 0. : 0 y x Puis, d après, 0 y y x y. 0 y = y et y x y = x. : Exercice 3. * Exemples simples de preuves Démontrer les assertions suivantes : 1) x R tq x 2 < x 2)!x R + tq x 0 3) x R, x 2 0. Exercice 4. **! Exemple de preuve par l absurde Soit x R. Montrer les implications : y x 1) ( b R +, x < b) x = 0 2) ( b R +, x b) x = 0 3) ( b R +, x b) x = 0 4) ( b R +, x < b) x = 0 Exercice 5. * Exemples simples de réciproques et contraposées 1. Nous supposons l assertion suivante vraie : "si je mens je vais en enfer". Lesquelles des affirmations suivantes sont alors vraies également? (a) Si je suis en enfer c est que j ai menti ; (b) Si je ne suis pas en enfer, c est que je n ai pas menti ; (c) Si je n ai pas menti, je n irai pas en enfer ; (d) Pour aller en enfer, il faut avoir menti ; (e) Pour aller en enfer, il suffit d avoir menti. 2. Pour tout h H, on notera M(h) si h a menti au cours de sa vie, et E(h) si h va en enfer. On supposera vraie l implication h H, M(h) E(h). On notera I cette implication. Réécrire les phrases de l exercice précédent en formules mathématiques. Identifier parmi elles la contraposée et la réciproque de I. Exercice 6. ***! Exemples d implications. Étude de réciproque et contraposée. Attention aux parenthèses. Soit f F (R, R), supposée dérivable à partir de 6). Déterminer si les implications suivantes sont vraies, fausses ou mal définies. Étudier ensuite les réciproques. Enfin, lorsque l implication est vraie, écrire sa contraposée. 1) (x, y) R 2, ( f (x) = f (y) f est constante ). 2) ( (x, y) R 2, f (x) = f (y) ) f est constante. 3) ( x R, M R tq f (x) < M ) f est majorée 4) ( M R tq x R, f (x) < M ) f est majorée 5) ( M R tq x R, f (x) M ) f est majorée 6) f (x) 0 f est croissante 7) x R, ( f (x) 0 f est croissante ) 8) ( x R, f (x) 0 f est croissante ) 9) ( x R, f (x) 0 ) f est croissante 10) ( x R, f (x) > 0 ) f est strictement croissante 11) f est strictement croissante ( x R, f (x) > 0 ) 12) x R, ( f est croissante f (x) 0 ) 13) f est croissante ( x R, f (x) 0 ) 6