Notes de cours : Physique de l état condensé. Jean-Baptiste Théou

Notes de cours : Physique de l état condensé Jean-Baptiste Théou 30 novembre 2009

Table des matières 1 Rappel des notions de base en électromagnétisme 3 1.1 Les équations de Maxwell dans le vide en régime statique.... 3 1.1.1 Équations de Maxwell de l électrostatique......... 3 1.1.2 Équations de Maxwell de la magnétostatique....... 4 1.2 Équations de Maxwell dans le vide en régime dynamique..... 6 1.2.1 Maxwell-Gauss........................ 6 1.2.2 Maxwell-Faraday....................... 6 1.2.3 Maxwell-Ampère....................... 6 2 Approche microscopique - Dipôle électrique - Dipôle magnétique 7 2.1 Le dipole électrique.......................... 7 2.1.1 Moment dipolaire électrique................. 7 2.1.2 Potentiel électrostatique en M................ 7 2.1.3 Champ électrostatique en M................ 7 2.1.4 Dipôle électrique dans un champ électrique extérieurs uniforme............................. 8 2.1.5 Dipôle électrique dans un champ électrique extérieurs quelconque............................. 8 2.2 Dipôle magnétique.......................... 8 2.2.1 Moment dipolaire magnétique................ 8 2.2.2 Potentiel vecteur....................... 8 2.2.3 Champ magnétique dipolaire en un point M........ 8 2.2.4 Dipôle magnétique dans un champ magnétique uniforme. 8 2.2.5 Dipôle magnétique dans un champs magnétique extérieur quelconque.......................... 9 3 Études macroscopique des milieux diélectriques 10 3.1 Définitions............................... 10 3.1.1 Rappel sur les milieux conducteurs............. 10 3.1.2 Milieux diélectriques..................... 10 3.2 Description des différents champs électrique présent dans un matériau diélectrique.............................. 10 3.2.1 Notions de polarisabilité / polaristation.......... 11 3.2.2 Milieux diélectriques linéaires, homogènes et isotropes.. 11 1

4 Le vecteur déplacement électrique 12 4.1 Expression de D en fonction de P et E............... 12 4.2 Expression de D en fonction de la susceptibilité χ et E...... 12 4.3 Définition de la permitivité relative................. 12 4.4 Expression de D en fonction de la permitivité diélectrique ε... 13 5 Charges de polarisation, courant de polarisation 14 5.1 Expression de grandeurs caractéristique du milieu......... 14 5.1.1 Charges de polarisations................... 14 5.1.2 Courant de polarisation................... 15 6 Détermination du champs E p issu de la polarisation 16 6.1 Calcul direct du potentiel et du champ en considérant la distribution de polarisation........................ 16 6.2 Cas d une lame infinie d epaisseur finie............... 17 6.3 Cas d un cylindre infini....................... 17 6.4 Cas d une sphère........................... 18 7 Équations de Maxwell dans les milieux matériels (en régime dynamique) 19 7.1 Équation de Maxwell-Gauss..................... 19 7.2 Équation de Maxwell-Faraday et du flux magnétique....... 19 7.3 Équation de Maxwell-Ampère.................... 19 7.4 Conditions de continuité à la surface de séparation de deux milieux 20 8 Étude macroscopique des milieux magnétique 21 8.1 Introduction.............................. 21 8.1.1 Classes de matériaux magnétique.............. 21 8.1.2 Description des différents champs magnétique présents dans un milieu matériel...................... 22 8.2 Courants d aimantation....................... 22 8.2.1 Expression des courants d aimantation........... 22 8.3 Détermination du champ issue de l aimantation.......... 23 8.3.1 Calcul direct du potentiel vecteur et du champ en considérant la distribution d aimantation............. 23 8.3.2 Expression du champ magnétique dans le cas d une aimantation uniforme........................ 23 2

Chapitre 1 Rappel des notions de base en électromagnétisme 1.1 Les équations de Maxwell dans le vide en régime statique 1.1.1 Équations de Maxwell de l électrostatique Équation de Maxwell-Gauss La forme locale de l équation est donnée par div( E ) = ρ ε 0 La forme globale est le théorème de Gauss E ds = Q int ε 0 On utilise le théorème de Gauss pour le calcul du champ électrique dans des géométries simples. Équation de Maxwell-Faraday En régime statique, la forme locale de l équation est donnée par rot( E ) = 0 La forme globale est donnée par rot( E ) ds = 0 Dans le cas d un circuit fermé, on peut utiliser le théorème de Stockes rot( E ) ds = E dl 3

Conséquences Expression du champ électrique Dans le cas d une charge ponctuelle q, on obtient que que le champs E en un point M est donné par E = 1 4πε 0 q r 2 u Avec r la distance entre la charge et le point M et u un vecteur directeur de la droite liant M et q, orienté vers M. Dans le cas d une distribution volumique de charge, on obtient que 1 ρ u E = 4πε 0 r 2 dτ Nous avons la rela- Expression du potentiel scalaire électrostatique V tion suivante : E = grad(v ) Dans le cas d une charge ponctuelle, on obtient que le potentiel au point M est donné par V = 1 q 4πε 0 r Dans le cas d une distribution volumique de charge, on obtient V = 1 4πε 0 ρ u r dτ Équation de poisson À l aide de l équation de Maxwell-Gauss et du fait que E est le gradiant d un potentiel, on obtient l équation dite de poisson V = ρ ε 0 1.1.2 Équations de Maxwell de la magnétostatique Équations du flux magnétique Équation de Maxwell-Ampère div( B ) = 0 La forme locale de cette équation est rot( B ) = µ 0 j Avec { µ 0 = 4π10 7 H.m 1 : perméablilité magnétique du vide j : vecteur densité de courant La forme intégrale est donnée par : rot( B ) ds = µ0 I 4

Dans le cas d un circuit fermé, on obtient à l aide de la formule de Stockes le théorème d Ampère : B dl = µ0 I Conséquences Une des conséquences de ce théorème est la loi de Biot et Savart. Dans le cas d un circuit filiforme, nous avons l expression du champs B en un point M de l espace : µ 0 I dl u B = 4π r 2 Avec : { r : La distance entre le point M et le circuit filiforme u : Le vecteur directeur de la droite liant le circuit et le point M Dans le cas d un courant surfacique : µ 0 j s u B = 4π r 2 ds Avec j s le vecteur densité de courant surfacique. Enfin, dans le cas volumique : µ 0 j V u B = 4π r 2 dτ Avec j V le vecteur densité de courant volumique. Expression du potentiel vecteur Soit A le potentiel vecteur défini par Dans le cas d un circuit filiforme : Dans le cas d un circuit surfacique : B = rot( A) A = µ 0 I 4π dl r Dans le cas d un circuit volumique : µ 0 j s A = 4π r ds µ 0 j V A = 4π r dτ 5

Équation de Poisson On considérant l équation de Maxwell-Ampère, la définition du potentiel vecteur et la jauge de Coulomb : On obtient l équation de Poisson : div( A ) = 0 A + µ 0 j = 0 1.2 Équations de Maxwell dans le vide en régime dynamique 1.2.1 Maxwell-Gauss Avec ρ la densité volumique de charge. 1.2.2 Maxwell-Faraday div( E ) = ρ ε 0 rot( E ) = B t Cette équation traduit la loi de l induction électromagnétique : 1.2.3 Maxwell-Ampère rot( E ) ds = B ds t E dφ dl = dt e = dφ dt rot( E B ) = µ 0 j + µ0 ε 0 t E ε 0 est appelé courant de déplacement. C est un courant fictif, non mesurable t expérimentalement. Il est crée par le champs électrique variable dans le temps. Il ne caractérise en aucun cas un déplacement de charges. De plus : µ 0 ε 0 = 1 c 2 6

Chapitre 2 Approche microscopique - Dipôle électrique - Dipôle magnétique 2.1 Le dipole électrique Définition 1. Un dipôle électrique est constitué d un ensemble de deux charges +q et -q, séparées d une distance d, avec d r. Avec r la distance entre le dipôle et le point M de l espace. 2.1.1 Moment dipolaire électrique Le moment dipolaire électrique, noté p, est défini par : p = q d Avec d le vecteur qui part de la charge -q à la charge +q. 2.1.2 Potentiel électrostatique en M Le potentiel électrostatique, noté V, est défini par : V = 1 p r 4πε 0 r 3 2.1.3 Champ électrostatique en M Le champ électrostatique en M, noté E, est défini par : E = grad(v ) [ 1 3( p r ) r = 4πε 0 r 3 r 2 ] p 7

2.1.4 Dipôle électrique dans un champ électrique extérieurs uniforme Considérons un dipôle rigide. Dans un champ uniforme, la résultante des forces extérieurs est nulle. Cependant, le dipôle est soumis à un couple de force non nulle. On définit alors le moment des forces par : γ = p E ext Ce couple tend à aligner le dipôle avec le champ E ext. 2.1.5 Dipôle électrique dans un champ électrique extérieurs quelconque Dans ce cas, la résultante des forces est non nulle et s exprime par : F = grad( p E ext ) = ( p grad) E ext 2.2 Dipôle magnétique Définition 2. Un dipôle magnétique est une source de champ magnétique équivalente à une boucle de courant I de surface plane S. Les dimensions de la boucle de courant sont petites par rapport à la distance d observation. 2.2.1 Moment dipolaire magnétique Le moment dipolaire magnétique, noté m, est défini par 2.2.2 Potentiel vecteur m = IS n Dans ce cas particulier, le potentiel vecteur est donné par : A = µ 0 4πr 3 m r 2.2.3 Champ magnétique dipolaire en un point M Nous avons dans ce cas particulier : B = rot( A) = µ 0 4πr 3 [ 3( m r ) r 2 ] r m 2.2.4 Dipôle magnétique dans un champ magnétique uniforme La résultante des forces magnétique est nulle. Le dipôle est soumis à un couple de force : γ = m B 8

2.2.5 Dipôle magnétique dans un champs magnétique extérieur quelconque Dans ce cas, la résultante des forces n est plus nulle et elle est donnée par F = grad( m B ) 9

Chapitre 3 Études macroscopique des milieux diélectriques 3.1 Définitions 3.1.1 Rappel sur les milieux conducteurs Un matériau conducteur est caractérisé par l existence de charges libres dont les porteurs A sont susceptibles de se mouvoir dans tout l espace intérieur au matériau. 3.1.2 Milieux diélectriques Dans les matériaux diélectriques, les porteurs de charges ne peuvent se déplacer librement sous l effet d un champs : ils restent attaché à des groupements atomiques moléculaire ou cristallins B. Les milieux diélectriques sont susceptibles d interagir avec un champ électrique et améliorer les propriétés électriques C. 3.2 Description des différents champs électrique présent dans un matériau diélectrique Soit E p un champ appelé champ de polarisation. E p est dû à la polarisation totale du matériau à l échelle macroscopique. Si on considère le milieu matériel comme étant ma juxtaposition de système (pouvant être des dipôle) caractérisé par son moment dipolaire équivalent, on peux définir la polarisation totale, notée P, par : P = N p Avec N la densité volumique caractéristique du milieu matériel et p le moment dipolaire. L unité de la polarisation totale est C.m 2. Pour résumé, la polari- A Électron dans les métaux, ions dans l électrolyse par exemple. B D où l appellation liée. C Par exemple, ajouter de la matière isolante entre les armature d un condensateur. 10

sation est la densité volumique des moments dipolaires. On peut formellement définir une densité volumique de charges de polarisation ρ p (charges liées) telle que : div( E p ) = ρ p ε 0 On définit aussi le champ extérieur, noté E ext par : div( E ext ) = ρ ext ε 0 Avec ρ ext caractérisant des charges réelles. Au finale, on défini le champ macroscopique (ou champ moyen), noté E, par : E = Ep + E tot 3.2.1 Notions de polarisabilité / polaristation Dans une approche locale, on définit la polarisation α par : P = αε0 Eloc A l échelle macroscopique, la réponse du milieu est la polarisation P. Elle est mesurée par la susceptibilité diélectrique χ telle que : P = ε0 χ E Avec E le champ macroscopique. χ est une grandeur macroscopique. On obtient que : P = ε0 χ E = N p = Nαε 0Eloc 3.2.2 Milieux diélectriques linéaires, homogènes et isotropes La linéairité impose une relation de proportionnalité entre polarisation et champs macroscopique : P = ε0 χ E. L homogénéité est associée à l invariance par translation dans le milieu et signifie que χ à la même valeur en tout point du milieux. L isotropie est associé à l invariance des propriétés physiques par rotation. Par conséquence, on disposera de la relation P = ε0 χ E avec χ un réel positif. 11

Chapitre 4 Le vecteur déplacement électrique Afin de permettre aux équations de Maxwel de conserver la forme qu elles ont dans le vide, on introduit un nouveau champ, le champ vecteur déplacement électrique, noté D 4.1 Expression de D en fonction de P et E Soit E le champ macroscopique. On obtient : D = ε0 E + P D est également appelé induction électrique ou excitation électrique. Son unité est c m 2. 4.2 Expression de D en fonction de la susceptibilité χ et E Par définition, nous avons : P = χε0 E D = ε0 E + P On obtient donc que : D = ε0 (1 + χ) E 4.3 Définition de la permitivité relative Soit ε r la permitivité relative définie par : ε r = 1 + χ 12

ε r est toujours supérieur à 1 par définition et égale à 1 dans le vide. L indice de réfraction d un milieu est liée à la permitivité relative donc à la susceptibilité diélectrique du milieu : n = ε r = 1 + χ La permitivité relative apparait à de multiple endroit, comme pour la capacité d un condensateur par exemple, donc la formule approché est : C = ε 0 ε r S e Avec S la surface des plaques et e l epaisseur entre les plaques. 4.4 Expression de D en fonction de la permitivité diélectrique ε On défini ε par ε = ε 0 ε r On obtient à l aide de ces définitions que : D = ε E avec E le champ macroscopique. 13

Chapitre 5 Charges de polarisation, courant de polarisation On considère un milieu diélectrique polarisée uniformement E - + - + - + - + - + σ - + - + - + - + - + - + - + - + - - + + σ + - + - + - + - + - + Fig. 5.1 Schématisation d un milieu polarisée uniformement Il reste l effet des charges les plus externes des dipôles situé en surface. Cet effet est analogue à celui que produirait une distribution surfacique de charge égale à la polarisation. D un point de vue macroscopique, on peut dire que la distribution de polarisation est équivalente à une distribution macroscopique de charge appelée charge de polarisation. Si la polarisation n est pas uniforme, il y a dans ce cas apparition de charges de polarisation en volume. 5.1 Expression de grandeurs caractéristique du milieu 5.1.1 Charges de polarisations Dans le cas d une distribution surfacique de charge de polarisation A, on obtient que cette distribution est donnée par : σ p = P n A Donc dans le cas d une polarisation uniforme 14

Avec n la normale orientée du milieu intérieur vers le milieu extérieur. Dans le cas d une distribution volumique B, on obtient que cette distribution est donnée par : ρ p = div( P ) 5.1.2 Courant de polarisation En régime variable C, la polarisation dépend du temps, ce qui conduit à une variable temporelle des charges de polarisation D. On définit alors un courant de polarisation, noté j P : j P = P t Cette grandeur macroscopique correspond à la moyenne des courants microscopique produit par les faibles déplacement relatifs des charges liées E. B Donc dans le cas d une polarisation non-uniforme C Ou dynamique. D Qui sont des charges fictives. E Qui constitue le milieu diélectrique. 15

Chapitre 6 Détermination du champs E p issu de la polarisation 6.1 Calcul direct du potentiel et du champ en considérant la distribution de polarisation Dans le cas d un dipôle électrique, nous avons : V = 1 P r 4πε 0 r 3 Considérons un milieu diélectrique polarisé. Dans ce milieu, considérons un volume élémentaire dτ, centrée autour d un point A du milieu. On obtient que le potentiel crée au point M par ce volume élémentaire est donnée par : dv = 1 P (A) AM 4πε 0 AM 3 dτ Si on considère un milieu uniformement polarisé, on peut alors sortir la polarisation de l intégrale et on obtient : V = 1 AM P 4πε 0 AM 3 dτ On introduit un champ fictif, noté E, comme le champ crée par un volume de densité volumique ρ = 1. On obtient que : D ou l expression de V : E = AM AM 3 dτ V = P E 16

6.2 Cas d une lame infinie d epaisseur finie Nous avons les cas suivants : P E p = 0 P E p = P ε 0 6.3 Cas d un cylindre infini Nous avons les cas suivants : P E p = 0 P P E p = 2ε 0 17

6.4 Cas d une sphère B M = 0.66µ 0 M Dans le cas d une cavité, on obtient un champ de polarisation positif, dans le cas de la matière, le champ de polarisation est négatif. 18

Chapitre 7 Équations de Maxwell dans les milieux matériels (en régime dynamique) 7.1 Équation de Maxwell-Gauss À partir de l équation de Maxwell-Gauss dans le vide, on obtient que div( D) = ρ ext 7.2 Équation de Maxwell-Faraday et du flux magnétique Dans un milieu matériel, ces équations ne sont pas modifiée. rot( E ) = B t div( B ) = 0 7.3 Équation de Maxwell-Ampère À partir de l équation de Maxwell-Ampère dans le vide, on obtient que : rot( D B ) = µ 0 j ext + µ 0 t 19

7.4 Conditions de continuité à la surface de séparation de deux milieux Les conditions sont les suivantes A : 1. La composante tangentielle de E est continue 2. La composante normale de D est discontinue : D n2 D n1 = σ ext 3. On peut aussi utiliser la discontinuité de E : E n2 E n1 = σ tot ε 0 A Avec σ ext la densité surfacique de charges libres 20

Chapitre 8 Étude macroscopique des milieux magnétique 8.1 Introduction 8.1.1 Classes de matériaux magnétique Sous l application d un champ magnétique extérieur, les dipôles magnétiques deviennent partiellement alignés. Le champ magnétique exterieur induit donc une aimantation M dans le matériau. Contrairement au vecteur polarisation P toujours colinéaire au champ extérieur E 0, l aimantation M peut être orienté différement. On distingue trois classe de matériaux magnétiques. Les matériaux paramagnétiques Dans ces matériaux, les électrons ne sont pas appareillé. L aimantation M est dans la direction du champ B, colinéaire et de même sens. Les matériaux diamagnétiques Dans ces matériaux, les électrons sont appareillé. L aimantation M est dans la direction du champ B, colinéaire et de sens opposé. Les matériaux ferromagnétiques Ces matériaux ont la même caractéristique que les matériaux paramagnétiques à la différence que ceux-ci conserve une aimantation permanente après que le champ extérieur ait été retiré. 21

8.1.2 Description des différents champs magnétique présents dans un milieu matériel Le champ d aimantation Le champ d aimantation, noté B m, est le champ dù à l aimantation du matériau magnétique. Vecteur densité volumique de moments dipolaire magnétique La vecteur densité volumique de moments dipolaire magnétique, noté M M = N m Avec m le moment magnétique dipolaire. C est une grandeur macroscopique. Son unité est A.m 1. Champ macroscopique Le champ macroscopique, appelé champ moyen, est défini par : Avec B ext le champ extérieur. B = Bm + B ext 8.2 Courants d aimantation 8.2.1 Expression des courants d aimantation L effet de l aimantation est similaire à celui d une distribution de courants électrique représentés par j v, la densité de courant volumique, et j s, la densité de courant surfacique. On définit { jv = rot( M) js = M n Avec n le vecteur normal orienté du milieu vers l extérieur. A l échelle macroscopique, si M est uniforme, le ne reste que les courants des dipoles situés en surface dont l effet est analogue à celui que produirait une distribution surfacique de courant égale à l aimantation. Remarque 1 Si M n est pas uniforme, les courants de deux dipoles consécutifs ne vont plus s auto annuler et on aura apparition d une densité de courant en volume. Remarque 2 Les courants d aimantation ne sont pas des déplacements de charges libres. Ils sont crées par les petites contribution apportée au niveau microscopique par les dipoles magnétiques. 22

8.3 Détermination du champ issue de l aimantation 8.3.1 Calcul direct du potentiel vecteur et du champ en considérant la distribution d aimantation L expression du potentiel vecteur est da(n) = µ 0 M(P ) P N 4π P N 3 dτ Avec N un point de l espace et P le centre d un volume élémentaire dτ. L expression du champ issue de l aimantation est B = rot( A) Cas des milieux uniformement aimantés Considérons un milieu uniformement aimanté. L aimantation est une constante sur le volume d intégration. Elle peut donc être sortie de l intégrale. Dans un tel cas, le potentiel vecteur s écrit sous la forme. A = µ0 ε 0 M E Avec E le pseudo champ qui peut être calculé à partir du théorème de Gauss. 8.3.2 Expression du champ magnétique dans le cas d une aimantation uniforme Cas d une plaque infinie d épaisseur finie B M = µ 0 M M B M = 0 M 23

Cas d un cylindre infini B M = µ 0 M M B M = 0.5µ 0 M M Cas d une sphère B M = 0.66µ 0 M 24

Il faut remplacer 0.66 par 2 3 ici. Moyen mnémotechnique Connaisant les résultats obtenus dans le cas de milieu diélectrique, on peut retrouver les résultats en appliquant le moyen mnémotechnique suivant A : B M = µ 0 M + Ep En remplacant dans E p 1 ε 0 par µ 0 et P par M. A Qui n est pas une vrai formule. 25