Chapitre 04 : Intérêts composés 1. Définition : On parle d intérêt composé lorsque l intérêt produit durant une période est incorporé dans le capital initial pour produire l intérêt de la période suivante. L intérêt composé est utilisé pour le calcul des opérations financières de plus d une année (marché financier). 2. Formule de calcul : Le montant de l intérêt, noté I, produit à la fin d une période p quelconque de placement d un capital C à un taux d intérêt annuel i est donné par la formule suivante : Exemple: I P = C(1 + i) p 1 I L intérêt produit du placement d une somme de 40.000 DA pendant 5 années à un taux annuel de 0,03 est : I5= 40.000 (1+ 0,03) 4 0,03 = 1350,6 3. Valeur acquise Lorsqu on a un capital à placer dans une institution financière deux possibilités peuvent s offrir : Soit le capital est retiré augmenté des intérêts calculés une seule fois à la fin de la dernière période (intérêts simples) ; Soit le capital est retiré augmenté des intérêts calculés de façon successive à la fin de chaque période. Les intérêts calculés à la fin de chaque période dans ce 2eme cas sont incorporés au capital de début de période pour être replacé pour le compte de la période suivante. Ainsi les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période sont aussitôt replacé pour générer des intérêts pour le compte de la période suivante. Les intérêts contenus dans ces valeurs acquises génèrent à leur tour d autres intérêts : on parle de Capitalisation des Intérêts.
Généralisation de la notion : formule fondamentale Soit un capital C placé au taux i (taux pour un Dinard: i = t /100) pendant une période on a : Période Capital Début Période Intérêts Capital Fin Période 1 2 3 C C (1+i) C (1+i) 2 Ci C (1+i) i C (1+i) 2 i C+Ci = C (1+i) C (1+i) + C (1+i) i = C(1+i) 2 C(1+i) 2 + C (1+i) 2 i = C(1+i) 3 k C (1+i) k-1 C (1+i) k-1 i C (1+i) k-1 + C (1+i) k-1 i = C (1+i) k n C (1+i) n-1 C (1+i) n-1 i C (1+i) n-1 + C (1+i) n-1 I = C (1+i) n La valeur acquise d un capital C au bout de la nième année de placement, est le cumul du capital initialement placé et les intérêts produits tout au long de la période de placement. Exemple : C n = C 0 (1 + i) n Quelle est la valeur acquise par un capital de 2 000 000 DA placé à un intérêt composé au taux de 5% pendant 3 ans.? C 3 = 2 000 000 (1,05) 3 C 3 =2 315 250 DA 4. Valeur actuelle La valeur actuelle au taux i par Dinard par périodes d un effet de valeur nominal C payable dans n périodes est la somme C telle que, capitalisée pendant n période au taux i, elle reproduise la valeur nominale. C 0 = C n (1 + i) n
Exemple : Une personne désire disposer une somme de 540 242,75 à la fin dans 15 ans. Pour ce faire il place un capital C à un taux semestriel de 5%. La capitalisation des intérêts étant semestrielle : 1. Déterminer le capital C placé C représente dans ce cas la valeur actuelle et équivaut à C0. Si on doit appliquer la formule de la valeur actuelle on a C0 = C (1+i) -n dans ce cas le C de la formule est égal à 540 242,75 DA le taux t = 5%. La capitalisation étant semestrielle on n = 15 x 2 soit n = 30 semestres. Ceci dit C0 = 540 242,75 (1,05) - 30 soit C0 = 125 000 DA le capital placé est égal à 125 000 DA 1. Taux annuel et taux équivalent : Le placement d un capital C0 à un taux d intérêt annuel i nous donne au bout d une année une valeur acquise C1 = C0 (1+i). on appelle taux équivalent le taux correspondant à une fraction de l année (jour, mois, trimestre etc.) mais qui donne au bout d une année et pour le même capital initial C0, la même valeur acquise C1. Soit k le nombre de fractions de l année, et k le taux d intérêt correspondant de la période considérée. On peut écrire : Exemple : Le taux annuel est i a =15% 1/ le taux équivalent à 6 mois est : C 1 = C 0 (1 + i) = C 0 (1 + i) k k i k = (1 + i) 2 i T = (1 + 0, 15) 1 1 = 7, 24%
Le taux équivalent à 3mois : Le taux équivalent à 1 mois : 4 i S = (1 + 0, 15) 12 i M = (1 + 0, 15) 1 = 3, 56% 1 = 1, 17% Le placement de C 0 à n importe quel taux pendant une année nous donne C1. 2. Application : Exercice 01 : Une somme de 2 500 DA est placée au taux de 3%. Quel sera le capital acquis au bout de 3 ans de placement? Quel sera le capital acquis au bout de 6 ans de placement? Exercice 02 : Mr X a déposé sur son compte bancaire une somme de 150 000 DA, il est convenu avec son banquier qu il recevra un intérêt au taux annuel de 8% et que la périodicité du versement des intérêts est trimestrielle. Quelle est la valeur acquise la première année? Calculer le taux qui permet d obtenir un rendement annuel de 8%? Que devient le taux effectif quand le nombre de période de versement des intérêts augmente? Exercice 03 : Monsieur a emprunté, à intérêts composés, 25000 DA pour une durée de 3ans. A l échéance il devra rembourser 29775,40 DA Déterminer le taux de l emprunt. Exercice 04 : Deux capitaux placés pendant trois ans, le premier à intérêt simple au taux de 7% et le second à intérêt composé au taux de 10%. Le premier capital étant supérieur au second de 500DA, a acquis la même valeur que celle du second capital. Calculer les montants des deux capitaux.
Exercice 05 : Une personne dépose dans un compte productif d intérêt composé la somme de 10000DA. Un an après, elle retire 10000DA. Un an après ce retrait, elle dispose de 806,250. Calculer le taux d intérêt annuel. Exercice 06 : A quel taux faut-il placer à intérêts composés une somme de 80 000 DA pour acquérir au bout de 4 ans de placement, une valeur de 113 966 DA? Exercice 07: Au bout de combien de temps un capital de 40 000 DA, placé à un taux annuel de 5,5 %, sera-t-il devenu 44 000 DA? Exercice 08: Le 1 er octobre, on dépose à la banque 40 000 DA. Capitalisation annuelle des intérêts au taux de 3%. Le 01/10/N+ 3 : Nouveau dépôt de 20 000DA Le 01/10/N+5 : Retrait de 16 000 DA Le 01/10/N+8 : Retrait de 24 000 DA Le 01/10/N+10 : Nouveau dépôt de 10 000 DA Déterminer le solde du comte à la fin de date du 01/10/N+11 par la méthode directe, indirecte et la méthode hambourgoise. Exercice 09: Un individu a besoin de 150 000 DA pour investir dans un projet. Il négocie le prêt auprès de sa banque. Le crédit est accordé à un taux d escompte de 10% pour une durée de 2 ans. Pour le banquier, l escompte est un placement (il existe un risque). Calculer l escompte? Exercice 10: Un débiteur a contracté 4 dettes auprès du même créancier : 164 000 DA payable dans 1 an. 192 000 DA payable dans 2 ans. 156 000 DA payable dans 4 ans. 212 000 DA payable dans 5 ans.
Préférant se libéré en une seule fois de sa dette, il obtient de son créancier de s acquitter par un paiement unique dans 3ans. Calculer le paiement unique compte tenu d un taux annuel de 8%.