Les ensembles de nombres Notions de troisième et exemples. notations-symboles d appartenance et d inclusion L ensemble N = {0; ; ;...} est appelé ensemble des entiers naturels et se note N. L ensemble Z = {... ; ; ; 0; ; ; ;...} est appelé ensemble des entiers relatifs et se note Z. Un nombre est appelé nombre décimal s il peut s écrire sous la forme et n N. Cet ensemble se note D. a (partie décimale finie) où a Z 0n Un nombre est appelé nombre rationnel s il peut s écrire comme quotient de deux entiers relatifs. L ensemble des nombres rationnels se note Q. Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels.. L ensemble formé par ces nombres et les nombres rationnels est appelé ensemble des nombres réels. On le note R. Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N Z. De même, tout entier relatif est un décimal car a = a, tout nombre décimal est rationnel car peut s écrire sous forme d une fraction décimale (dénominateur multiple de 0) et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N Z D Q R (se lit N est inclus (ou contenu)dans Z...) On peut illustrer comme ci-dessous : Remarques : Le symbole se lit inclus dans. La proposition N Z D Q R signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels. Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre peut aussi s écrire, 0 (écriture décimale) ou 4 etc. (écriture fractionnaire) 4 (écriture avec un radical). Attention à ne pas confondre le symbole et. Le premier s utilise pour noter un élément appartenant à un ensemble et le second pour noter un ensemble qui est contenu dans un autre. Par exemple, on note 4 N et {; 9} N. Exemple Compléter avec, / et R { ;, 4 ; 8 } D / N /6
. Intervalles a et b sont deux réels quelconques avec a < b : Exemple Compléter le tableau suivant : inégalité intervalle inégalité intervalle x < 5 x ] ; 5[ 5 < x ] 5; ] x x [; + [ x < ] ; [ x [ ; + [ < x < 4 ] ; 4 [ Identités remarquables forme développée forme factorisée a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) a b = (a b)(a + b) Exemple Développer (x ) (x ) = (x) x + = 4x x + 9 (deuxième identité remarquable avec a = x et b = ) Factoriser 4x 5 (voir fiche méthode factoriser) 4x 5 = (x) ( 5) = (x 5)(x+ 5) (troisième identité remarquable avec a = x et b = 5) /6
Calculs avec des racines carrées. Simplifications Exemple 4 : Simplifications. Simplifier 7 7 = 6 = 6 = 6. Ecrire 50 sous la forme a b avec a Z et b N 5 6 = 5 4 = 5 8 = 7 Remarque : Il faut faire apparaitre sous la racine le carré d un nombre entier, soit par exemple 4 =, 9 =, 6 = 4, 5, 6, 49.... Supprimer les racines au dénominateur Exemple 5 : Supprimer les racines carrées au dénominateur. Supprimer les radicaux (les racines carrées) au dénominateur dans. Supprimer les radicaux (les racines carrées) au dénominateur dans.. = = = ( + ) ( )( + ) = 9 + ( ) = 9 + 7 Pour supprimer les radicaux au dénominateur, on utilise la troisième identité remarquable : (a b)(a + b) = a b. Ce qui donne ici ( )( + ) = ( ) avec a = et b = + est appelée l expression conjuguée de 4 Règles de calcul et exemples 4. Quelques rappels Quelques rappels pour éviter les erreurs les plus courantes :. La multiplication et la division sont prioritaires sur l addition et la soustraction. Pour «éliminer» une parenthèse précédée d un signe, il faut changer le signe des termes dans cette parenthèse. (x 4x + ) = x + 4x. Attention aux fractions précédée d un signe, il faut procéder comme s il y avait des parenthèses au numérateur : x (x ) = 4 4 = x + 4 /6
4. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Attention à ne pas confondre inverse et opposé : L inverse de 5 est mais l opposé de 5 5 est 5 5. Quand on multiplie ou divise chacun des membres d une inégalité par un nombre strictement négatif, le sens de cette inégalité change. Par exemple : x > 9 x < 9 x) mais x > 9 x > 9 De même : x < 4 x > 4 4. exemples de calculs commentés Exemple 6 : Calcul avec des fractions x < (on divise chacun des membres par pour «isoler» x > (on divise chacun des membres par pour «isoler» x) x > 4 Calculer et écrire sous forme d une fraction irréductible : 4 + 4 5 = 9 5 0 + 6 0 On pourrait écrire x > 6 4 + 4 5 ( ) ( 4 + 4 ) 5 Les calculs prioritaires sont donc et 4 + 4 5 = 7 0 = 7 0 = 7 0 7 = 0 9 Il faut réduire au même dénominateur pour additionner ou soustraire Diviser par 0 revient à multiplier par 0 Simplifier si possible avant de multiplier Ici, 7 et Exemple 7 : Développer-simplifier Développer et réduire : (x )(x + 4) (x 4x + ) Il faut multiplier x par +x puis par +4 et ensuite par +x puis par +4 = x x + x 4 x 4 x + 4x Il faut multiplier x par +x puis par +4 et ensuite par +x puis par +4 = 6x + x x 4 x + 4x Pour «supprimer» la parenthèse (x 4x + ) précédée du signe il faut changer les signes des termes de l expression x 4x + = 5x + 4x 5 Attention x x = 6 x 4/6
Exemple 8 : Equation Résoudre dans R l équation (x 6) + = x + (x 6) + = x 4 x 6 + = x + Il faut distribuer («éliminer» les parenthèses) x 4 + = x + x = x + 4 6 x 8 6 = 9 6 x + 6 Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite Réduire au même dénominateur pour se débarrasser des fractions (pas obligatoire mais plus simple ensuite) 4x 8 = 9x + Multiplier ensuite les deux membres par 6 4x 9x = + 8 Isoler x 5x = 0 Diviser par le facteur de x ici 7 x = 0 5 = 6 La solution est x = 6 On peut écrire S = { 6} Donner la(les) solution(s) et contrôler en remplaçant x par 6 dans (x 6) + puis x + 5/6
Exemple 9 : Inéquation Résoudre dans R l inéquation x + < 5 x 4 x + < 5 x 4 x 5 x < 4 5 0 x 6 0 x < 4 4 Il faut «isoler» x Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite en réduisant au m 0 x < 5 4 5 x > 4 0 x > 5 4 0 x > 5 0 4 x > 5 5 Diviser ensuite les deux membres par 0 Attention, est négatif donc on change le sens de l inégalité 0 Diviser par 0 revient à multiplier par 0 Simplifier si possible avant de multiplier, ici 0 et 4 x > 75 Donner l ensemble de solution On peut s aider d un axe gradué Il faut x > 75, on peut écrire S =]75 ; + [ ou x ] 75 ; + [ 6/6