ACADÉMIE D AIX-MARSEILLE Brevet blanc de Mathématiques Collège M. ROBESPIERRE Port Saint Louis du Rhône Le vendredi 14 Février 2014 Consignes générales : La calculatrice est autorisée mais tout prêt est interdit. Le soin et la rigueur de l écriture mathématique seront pris en compte dans la note. (4 points) L usage du Blanco est interdit. L énoncé est à rendre avec la (ou les) feuille(s) double(s). Exercice 1 : (4 points) 1. Les nombres 555 et 240 sont-ils premiers entre eux? Justifier. 2. Ecrire la fraction 240 sous la forme la plus simple possible. Expliquer la démarche. 555 Exercice 2 : (4 points) Tom doit calculer 3,5 2. "Pas la peine de prendre la calculatrice" lui dit Julie, tu n'as qu'à effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter 0,25. 1. Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5. 2. Proposer une façon simple de calculer 7,5 2 et donner le résultat. 3. Julie propose la conjoncture suivante (n + 0,5) 2 = n(n + 1) + 0,25 où n est un nombre entier positif. Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre n). Exercice 3 : (5 points) Développer puis réduire les expressions données : 1) A = 2 (3x + 4) 2) B = (x + 2) (4x + 3) 3) C = (5x 2) (3x 5) 4) D = (2x + 5) (4x 3) + 7(x - 4) Page 1/4
Exercice 4 : (4 points) Développer les expressions données en utilisant une identité remarquable : 1) E = (x + 4) 2 2) F = (9 + 2x) 2 3) G = (x 3) 2 4) H = (x 7) (x + 7) Exercice 5 : (8 points) A Poindimié, Torres possède un poulailler. Comme cuve de récupération d'eau de pluie, il utilise un pavé droit dont les dimensions sont indiquées sur le schéma ci-dessous. 1. Montrer que le volume de la cuve est de 300 000 cm 3. En déduire sa contenance en litres. 2. Montrer que l'aire de la surface ABCD de récupération d'eau de pluie est de 0,6 m 2. 3. On donne le tableau suivant: Page 2/4
Par lecture du tableau, donner en millimètres la quantité d'eau de pluie tombée au cours de l'année 2011 dans la commune où habite Torres. 4. On précise que 1 mm d'eau récupérée, c'est 1 litre d'eau lorsque la surface est 1 m 2. a. Placer dans le tableau de proportionnalité ci-dessous la réponse obtenue à la question 2. b. Calculer le volume maximal x d'eau récupérée en 2011 par Torres. 5. En 2011, Torres a récupéré 1 530 L d'eau de pluie. Il faut en moyenne 1,5 L d'eau par semaine pour abreuver une poule. a. Torres a-t-il eu suffisamment d'eau pour abreuver "gratuitement"ses 16 poules durant l'année 2011? Justifier. Rappel: il y a 52 semaines dans une année. b. Combien de litre ne seront pas consommés? c. En se basant sur les résultats précédents, combien de poules supplémentaires pourrait-il abreuver? Exercice 6 : (8 points) Vous tracerez la figure en suivant les indications de l'énoncé. 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 13 cm; AC = 12 cm et BC = 5 cm. 2. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. 3. Compléter la figure de la question 1. a. Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6 cm. b. Construire le point P du segment [AB] tel que AP = 6,5 cm. 4. On suppose les droites (BC) et (PM) parallèles. Parmi les 4 propositions suivantes, recopier celle qui permet de montrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires. Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment. 5. Calculer PM. Page 3/4
Exercice 7 : (4 points) Le débit d'une connexion internet varie en fonction de la distance du modem par rapport au central téléphonique le plus proche. On a représenté ci-dessous la fonction qui,à la distance du modem au central téléphonique (en kilomètres), associe son débit théorique (en mégabits par seconde). 1. Marie habite à 2,5 km d'un central téléphonique. Quel débit de connexion obtient-elle? 2. Paul obtient un débit de 20 Mbits/s. A quelle distance du central téléphonique habite-t-il? 3. Pour pouvoir recevoir la télévision par internet, le débit doit être au moins de 15 Mbits/s. A quelle distance maximum du central doit-on habiter pour pouvoir recevoir la télévision par internet? Nom et Prénom : Présentation Soin Rédaction - Orthographe : / 4 TOTAL / 40 Page 4/4
Corrigé du Brevet Blanc Février 2014 Exercice 1 1) 555 ET 240 sont deux multiples de 5: leur PGCD est différent de 1. Les nombres 555 et 240 ne sont donc pas premiers entre eux. 2) A l'aide de la calculatrice, on trouve PGCD(555;240) = 15. Pour rendre une fraction irréductible, on simplifie son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. 240 16 x 15 = 555 37 x 15 = 16 37 Exercice 2 1) 3 x 4 + 0,25 = 12 + 0,25 = 12,25 3,5 2 = 12,25 Les deux calculs sont égaux. 2) On effectue le produit de 7 par 8 et on rajoute 0,25: 7 x 8 + 0,25 = 56 + 0,25 = 56,25 7,5 2 = 56,25 3) (n + 0,5) 2 = n 2 + 2 x n x 0,5 + 0,5 2 = n 2 + n + 0,25 n(n + 1) + 0,25 = n 2 + n + 0,25 Donc (n + 0,5) 2 = n(n + 1) + 0,25 La conjecture de Julie est vraie. Exercice 3 A = 6x + 8 B = 4x 2 + 3x + 8x + 6 = 4x 2 + 11x + 6 C = 15x 2-25x - 6x + 10 = 15x 2-31x + 10 D = (8x 2-6x + 20x - 15) + (7x - 28) = 8x 2 + 14x - 15 + 7x - 28 = 8x 2 + 21x - 43 Exercice 4 E = x 2 + 8x + 16 F = 81 + 36x + 4x 2 G = x 2-6x + 9 H = x 2-49 Exercice 5 1) V = L x l x h = 100 cm x 60 cm x 50 cm = 300 000 cm 3 300 000 cm 3 = 300 dm 3 = 300 L 2) A = L x l = 1 m x 0,6 m = 0,6 m 2
3) Au cours de l'année 2011, la quantité de pluie tombée à Poindimié est de 2 550 mm. 4) a) Volume d'eau récupérée en litres 2 550 x Aire de récupération en m 2 1 0,6 b) 1x = 2 550 x 0,6 x = 1 530 Le volume maximal d'eau récupéré par Torres est de 1 530 L. 5) a) 1,5 L x 52 semaines x 16 poules = 1 248 L Donc Torres a eu suffisamment d'eau pour abreuver gratuitement ses poules. b) 1 530 L - 1 248 L = 282 L. 282 L ne seront pas consommés. c) 1,5 L x 52 semaines = 78 L 282 L : 78 L 3,6 Torres pourrait abreuver 3 poules supplémentaires. Exercice 6 1) et 3) C M 5,00 A 6,00 6,50 13,00 P 2) AB 2 = 13 2 = 169 AC 2 + BC 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169 Comme AB 2 = AC 2 + BC 2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 4) Les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires. Les droites (PM) et (BC) sont parallèles. Propriété:" Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre". B
Donc les droites (AC) et (PM) sont perpendiculaires. 5) Dans le triangle AMP rectangle en M, on a d'après le théorème de Pythagore: AP 2 = AM 2 + MP 2 6,5 2 = 6 2 + MP 2 MP 2 = 42,25-36 MP 2 = 6,25 MP = 6,25 MP = 2,5 cm Exercice 7 1) Marie obtient un débit de connexion de 10 Mbit/s. 2) Paul habite à 1,5 km du central téléphonique. 3) On peut habiter au maximum à 2 km du central.