Continuité sur un intervalle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Continuité : une approche graphique 2 2 Théorème des valeurs intermédiaires 3 2.1 Cas des fonctions continues....................................... 3 2.2 Cas des fonctions continues, strictement monotones.......................... 4 2.3 Cas de l équation f (x) = 0....................................... 5 3 Cas des fonctions dérivables 5 3.1 Dérivation et continuité......................................... 5 3.2 Dérivée de signe constant sur un intervalle............................... 5 Table des figures 1 Fonction racine carrée.......................................... 2 2 Fonction inverse............................................. 2 3 Fonction partie entière.......................................... 2 4 Équation f (x) = k : cas d une fonction continue........................... 3 5 Équation f (x) = k : cas d une fonction non continue......................... 3 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1
1 CONTINUITÉ : UNE APPROCHE GRAPHIQUE En préliminaire au cours : Exercices de révision sur la dérivation : 1 page 51 1 2 page 51 2 3 à 7 page 51 3 [TransMath] Activité : Activité page 52 4 [TransMath] 1 Continuité : une approche graphique Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur l intervalle I si on peut tracer sa représentation graphique d un trait continu, «sans lever le crayon». Exemples : 1. La fonction racine carrée x x est continue sur [0 ; + [ (voir figure 1) Figure 1 Fonction racine carrée 2. La fonction x 1 x est continue sur ] ; 0[ et ]0 ; + [ (voir figure 2) Figure 2 Fonction inverse 3. la fonction partie entière n est pas continue sur [0 ; + [ (voir figure 3) Figure 3 Fonction partie entière Exercices : 15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24 page 62 et 26 page 63 5 [TransMath] Module : Exercice 10 page 60 6 [TransMath] 1. Nombre dérivé. 2. Dérivées des fonctions usuelles. 3. Dérivée et sens de variation. 4. Sans lever le crayon. 5. Une approche graphique de la continuité. 6. Une famille de courbes. 2
2 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES 2 Théorème des valeurs intermédiaires 2.1 Cas des fonctions continues Théorème 1 : (admis) Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b I avec a < b. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c de [a ; b] tel que f (c) = k (voir figure 4). Figure 4 Équation f (x) = k : cas d une fonction continue Remarque : L hypothèse de la continuité est essentielle. La fonction de la figure 5 n est pas continue sur [0 ; 4] et, bien que f (0) = 1 et f (4) = 5, l équation f (x) = 2, 5 n admet aucune solution. Figure 5 Équation f (x) = k : cas d une fonction non continue 3
2.2 Cas des fonctions continues, strictement monotones 2 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES 2.2 Cas des fonctions continues, strictement monotones Théorème 2 : Cas des fonctions strictement monotones Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a, b I avec a < b. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un unique réel c de [a ; b] tel que f (c) = k Remarques : Exemples : 1. Par convention, les flèches dans un tableau de variations exprimeront toujours la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l intervalle considéré. 2. Il n est en général pas possible de déterminer de manière exacte la solution. Par contre, on peut utiliser la calculatrice (mode tracé de graphique ou mode tableau de valeurs) pour en déterminer une valeur approchée. 1. Soit f la fonction définie sur [ 1 ; 4] dont le tableau de variation est : x 1 4 6 f (x) 2 Cas de l équation f (x) = 5 : Sur l intervalle [ 1 ; 4], la fonction f est continue, strictement croissante et f ( 1) = 2 et f (4) = 6. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f (x) = 5 admet une solution unique. Cas de l équation f (x) = 3 : Comme le minimum de f sur [ 1 ; 4] est 2, l équation f (x) = 3 n admet aucune solution. 2. Soit g la fonction définie sur [ 2 ; 5] dont le tableau de variation est : x 2 1 5 4 g (x) 0 3 Cette fonction n est pas strictement monotone sur l intervalle [ 2 ; 5]. On ne peut donc pas appliquer directement le théorème des valeurs intermédiaires. On va donc l appliquer successivement sur les intervalles [ 2 ; 1] et [1 ; 5]. Cas de l équation g (x) = 2 : Sur l intervalle [ 2 ; 1], la fonction g est continue, strictement croissante et g ( 2) = 0 et g (1) = 4. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g (x) = 2 admet une solution unique sur l intervalle [ 2 ; 1]. Sur l intervalle [1 ; 5], la fonction g est continue, strictement décroissante et g (1) = 4 et g (5) = 3. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g (x) = 2 admet une solution unique sur l intervalle [1 ; 5]. Globalement, l équation g (x) = 2 admet donc exactement deux solutions. Cas de l équation g (x) = 1 : Comme le minimum de g sur [ 2 ; 1] est 0, l équation g (x) = 1 n admet aucune solution sur l intervalle [ 2 ; 1]. Sur l intervalle [1 ; 5], la fonction g est continue, strictement décroissante et g (1) = 4 et g (5) = 3. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g (x) = 1 admet une solution unique sur l intervalle [1 ; 5]. Globalement, l équation g (x) = 1 admet donc exactement une solutions. 4
3 CAS DES FONCTIONS DÉRIVABLES 2.3 Cas de l équation f (x) = 0 Exercices : 27, 30, 32 page 63 7 1, 3, 4 page 58 et 34 page 64 8 33, 35, 36 page 64 9 61 page 71 10 [TransMath] 2.3 Cas de l équation f (x) = 0 Propriété : Un cas particulier important Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a, b I avec a < b. Si f (a) et f (b) sont de signes contraires alors l équation f (x) = 0 admet une solution unique dans l intervalle ]a ; b[. Module : Exercices 11 page 61 11 et 39 page 65 12 [TransMath] Exercices : 2, 5 page page 58 13 62 page 71 14 [TransMath] 3 Cas des fonctions dérivables 3.1 Dérivation et continuité Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I Alors f est continue sur l intervalle I. Remarque : Attention! La réciproque de cette propriété est FAUSSE. La fonction racine carrée est continue en zéro mais n est pas dérivable en zéro. Conséquences : 1. Les fonctions polynômes sont continues sur R. 2. Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. 3. Les fonctions obtenues par opérations sur les fonctions usuelles (somme, produit, quotient) sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. 3.2 Dérivée de signe constant sur un intervalle Du lien entre variation d une fonction et du signe de sa dérivée et du théorème intermédiaires, on tire le résultat suivant : Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a, b I avec a < b. Si f > 0 sur ]a ; b[ ou si f < 0 sur ]a ; b[ alors : Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un unique réel c de [a ; b] tel que f (c) = k Exercices : 41 page 65 15 42, 43, 45 page 65 et 48 page 66 16 46 page 65 et 49 page 66 17 52 page 66 18 53 page 67 19 63 page 71 20 [TransMath] 7. Cas simples. 8. Exploiter un tableau de variations. 9. Détermination des solutions. 10. Q.C.M. 11. Un algorithme pour encadrer une solution. 12. Pour encadrer une racine. 13. Utilisation d un tableau de variations. 14. Type BAC 15. Une utilisation simple. 16. Résolution d équations. 17. Équations et inéquations. 18. Avec la dérivée seconde. 19. Intersection de courbes. 20. Type BAC. 5
RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Références [TransMath] Transmath Term ES Spécifique/L Spécialité, programme 2012, André antibi, Nathan, 2012. 2, 5 6