Octobre 2003(1 ère S 4 ) Les calculatrices sont autorisées. Lisez l énoncé en entier avant de commencer et répondez bien au questions qui vous sont posées. Vous pouvez faire les eercices dans l ordre que vous souhaitez. La rédaction est importante. Les graphiques seront effectués sur une feuille quadrillée à petits carreau ou une feuille de papier millimétré. Soyez propre et clair. Bon courage! Eercice 1 (6pts) Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : A : -1 3-7 -4 2 7 B : = 1 C : 3 9 20 = 0 1 7 Eercice 2 (2pts) Déterminer tous les couples de réels (, y) y = 3 2 2 y = - 1 3 Eercice 3 (4pts) Un massif fleuri, rectangulaire, a une superficie de 612 m 2. On trace tout autour (à l'etérieur) une allée de 1,50 m de large L'aire de cette allée est de 165 m 2. Quelles sont les dimensions du massif? Eercice 4 (3pts) solutions du système. Soit f : ² 7 2 1. Donner la forme canonique du trinôme f(). 2. Démontrer que ce trinôme admet un maimum et donner sa valeur. 3. Donner le tableau de variation de cette fonction. 4. Tracer la courbe de la fonction f. Eercice 5 (5pts) Soit f la fonction définie sur IR par f() = ² - 4 1 1. Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa représentation graphique (notée P ). 2. Dans le même repère tracer les droites suivantes : D 0 d équation y =, D -3 d équation y = 3 et D 3 d équation y = 3 3. Dans chaque cas lire les coordonnées ou une valeur approchée des coordonnées du ou des points éventuels d intersection des droites avec P (s aider si besoin de la calculatrice graphique ) 3. Résoudre par le calcul l inéquation 23 ² - 4 1, repasser en rouge sur votre graphique l ensemble des solutions de cette inéquation.
Octobre 2003(1 ère S 4 ) CORRECTION Eercice 1 (6pts) Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : A : -1 3-7 -4 2 7 B : = 1 1 7 C : 3 9 20 = 0 A : -1 3-7 -4 ; ensemble de définition de A : 0 et 3 7 0 donc 7 3 A est définie sur IR\{0 ; 7 3 } ; -1 3-7 -4 0 ñ (-1) (3-7)(-4) ² - 3²12 78 0 ñ 0 ñ ²188 0 (3-7) (3-7) (3-7) On étudie le signe du numérateur en recherchant son discriminant. =18²-4*(8)*() ; = 324-224 = 100 est positif donc le numérateur admet deu racines : 1 et 2-18 100 1 = = -1810 = -8 2*() -4-4 = 2 2 = -18-10 = 8-4 -4 = 7 d où le tableau de signes suivants : - 0 2 7 3-7 - - - - - - 0 3-7 - - - 0-0 ²188 (3-7) - 0-7 0 0 Donc l intervalle solution pour A est ]0;2] ] 7 3 ;7] 2 7 B : = 1 on travaille sur IR \ {1 ;7} car 1 et 7 annulent 1 7 le dénominateur. (-7) (-1)(2-7)-(-1)(-7) =0 ñ (-1)(-7)
Octobre 2003(1 ère S 4 ) 2 7-(2²-77)-(²-7-7) =0 ñ (-1)(-7) ² 7²72-7-²7-7 =0 ñ (-1)(-7) ²10-14 =0 ñ(²-57) =0 ñ²-57=0 On calcule = (-5)²- (-1)(-7) (-1)(-7) 4*1*7=-3 il est négatif donc cette epression n est jamais nulle. L équation n a donc pas de solution réelle. C : 3 9 20 = 0 Cette équation est définie pour 0 Elle devient 4 9² 20 =0 ñ 4 9²20=0 soit en posant X=² X²-9X20=0 On calcule =(-9)²-4*1*20=1 donc on a deu solutions X 1 = 9 1 =5 et X 2 2 = 9-1 =4 d où finalement quatre solutions pour : 2 1 = 5 ; 1 =- 5 ; 2 = 2 ; 2 = Eercice 3 (2pts) Déterminer tous les couples de réels (, y) y = 3 2 2 y = - 1 3 L équation 2 devient 2y2 = - 1 y 3 y par 3 on obtient : 6 y = -1 3 Le système devient y =3 y=-18 ²318=0 soit 2(y) y donc 18 = -y solutions du système = - 1 3 En remplaçant donc y=3- soit (3-)=-18 donc On calcule = 3²-4*18*-1=81 donc on a deu solutions 1 = et -3-81 2 = =6 ce qui nous donne y 1 =6 et y 2 = -3 La paire solution de ce système est donc {6 ;-3} Eercice 4 (3pts) Un massif fleuri, rectangulaire, a une superficie de 612 m 2. On trace tout autour (à l'etérieur) une allée de 1,50 m de large L'aire de cette allée est de 165 m 2. Quelles sont les dimensions du massif? -3 81 =-3
Octobre 2003(1 ère S 4 ) Soit L la longueur du massif et l sa largeur. L énoncé se traduit par L*l=612 et (L 2*1,5)*1,5*2 1,5*l*2= 165 soit 3L93l=165 soit 3L3l=156 qui peut aussi s écrire en divisant tout par 3 : Ll=52 Ll =52 On a donc le système suivant : L*l=612 donc en remplaçant L par 52-l dans l équation2 on a (52 l)*l = 612 soit l²52l-612 = 0 On calcule -52 256 = 52²-4*( -1)*(-612 ) = 256 donc deu solutions l 1 = =18 et -52-256 l 2 = =34 On remplace cette valeur et on trouve L 1 =52-18=34 et L 2 =18 En supposant que L >l on obtient le couple solution 34m et 18m pour le massif. Eercice 5 (2pts). Soit f : ² 7 2 5. Donner la forme canonique du trinôme f(). 6. Démontrer que ce trinôme admet un maimum ( en utilisant la forme canonique ) et donner sa valeur. 7. Donner le tableau de variation de cette fonction. 8. Tracer la courbe de la fonction f. 1. f()=² 7 2 = (- 7 2-1) =[(-7 )² -49 4 16-1] = [(-7 )² -65 4 16 ] 2. Ce trinôme a un coefficient du terme en ² négatif donc ce sera une fonction croissante puis décroissante. Le sommet de cette 3. parabole qui sera donc ici un maimum aura pour coordonnées : 7 4 pour l abscisse et 2*- 65 16 =65 8 7/4 65/8 f pour l ordonnée.
4. Octobre 2003(1 ère S 4 ) O Eercice 6 (4pts) Soit f la fonction définie sur IR par f() = ² - 4 1 4. Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa représentation graphique (notée P ). 5. Dans le même repère tracer les droites suivantes : D 0 d équation y =, D -3 d équation y = 3 et D 3 d équation y = 3 3. Dans chaque cas lire les coordonnées ou une valeur approchée des coordonnées du ou des points éventuels d intersection des droites avec P (s aider si besoin de la calculatrice graphique ) 4. Résoudre par le calcul l inéquation 23 ² - 4 1, repasser en rouge sur votre graphique l ensemble des solutions de cette inéquation. f() = ² - 4 1 =()²-41 =()² -3 (forme canonique) =( -4) ²-4*1*1=12 4 12 2(2 3) Les deu racines de ce trinômes sont donc 1 = = =2 3 2 2 et 2 =2-3 2 3 (- 1 ) - - 0 (- 2 ) - 0 ² - 4 1 0-0 2 f -3
Octobre 2003(1 ère S 4 ) O D 0 : y = n a qu un seul point d intersection avec la parabole de coordonnée (1 ; ) D -3 : y = 3 n a aucun point d intersection avec la parabole D 3 : y = 3 a deu points d intersection avec la parabole dont les valeurs approchées des coordonnées sont A :(-0,7 ;4,5) et B :(2,7 ;,5) 23 ² - 4 1 devient ²-421-3 0 soit ² 0 Pour étudier le signe de ce trinôme on calcule = () ²-4*( ) *1=12 2 12 2(1 3) Donc deu solutions 1 = = =1 3 2,73 2 2 Et 2 = 1-3 -0,73 Les points d intersections de la courbe et de la droite ont donc comme coordonnées eacts : A : (1-3 ;12 3) et B : (1 3 ;1 3) 1-3 1 3 ² 0-0 Les solutions sont donc entre les deu racines soit dans l intervalle [1-3;1 3]