Notes de cours Culture, société et technique (CST 4) Nom : groupe :
Table des matières Module 1 : Les familles de fonctions... 5 1.1 Relations ou fonctions... 5 1.2 Quelques modèles mathématiques... 5 1.2.1 Fonction définie par partie... 6 1.2.2 Fonction périodique... 7 1.2.3 Fonction en escalier... 8 1.2.4 Fonction polynomiale de degré 0... 9 1.2.5 Fonction polynomiale de degré 1... 10 1.2.6 Fonction polynomiale de degré 2... 11 1.2.7 Fonction exponentielle... 12 1.2.8 Fonction inverse... 13 1.3 Les propriétés des fonctions...14 1.3.1 Domaine :... 14 1.3.2 Codomaine ou image :... 14 1.3.3 Les coordonnées à l origine... 14 1.3.4 La variation... 14 1.3.5 Le signe... 15 1.3.6 Les extrêmums... 15 Module 2 : La résolution d inéquations linéaires...16 2.1 Équation ou inéquation...16 2.2 La droite frontière...17 2.3 L ensemble-solution...18 2.4 Pour retrouver la règle à partir de 2 points...20 Module 3 : La similitude et l isométrie de triangles...22 3.1 Les angles...22 3.2 Rapport d homothétie et rapport de similitude...25 3.3 Triangles isométriques...26 3.4 Triangles semblables...28 3.5 Les relations métriques dans le triangle rectangle...29 Module 4 : Les rapports trigonométriques...31 4.1 Dans un triangle rectangle...31 Page 2
4.2 Les rapports trigonométriques...31 4.3 Pour retrouver la mesure d un angle en utilisant les rapports trigonométriques...33 Module 5 : La loi des sinus et la formule de Héron...34 5.1 La loi des sinus...34 5.2 La formule de Héron...35 Module 6 : La mesure et la géométrie analytique...37 6.1 La droite...37 6.2 Position particulière des droites...39 6.3 Intersection de deux droites...40 6.4 Distance entre deux points...44 6.5 Coordonnées du point milieu...45 6.6 Coordonnées du point de partage...46 Module 7 : Initiation à la démonstration...47 7.1 Quelques définitions...47 7.2 Une démonstration...49 7.3 La démonstration en T...49 Module 8 : Les mesures de dispersion et de position...52 8.1 Petit rappel...52 8.2 L étendue interquartile accompagne la médiane...53 8.3 L écart moyen accompagne la moyenne...54 8.4 Le rang centile...55 Module 9 : La corrélation linéaire...56 9.1 Définition...56 9.2 Nuage de points...56 9.3 Tableau à double entrées...56 9.4 Corrélation linéaire...57 9.5 Coefficient de corrélation linéaire...58 9.6 La droite de régression...61 9.7 Méthode: Médiane-médiane...62 9.8 Méthode: Mayer...64 9.9 Les sources de biais...65 Page 3
Module 10 : Les types de probabilités...66 10.1 La probabilité...66 10.2 Trois types de probabilité...68 10.3 Rappel : Calculer la probabilité d événements composés...69 Module 11 : Le concept d'équité...71 11.1 Chance pour, chance contre...71 11.2 L espérance mathématique...73 11.3 Calcul de l espérance mathématique...74 Page 4
Module 1 : Les familles de fonctions 1.1 Relations ou fonctions Une relation est une fonction si et seulement si pour chaque x je peux associer maximum un y 1.2 Quelques modèles mathématiques 1.2.1 Fonction définie par partie... 6 1.2.2 Fonction périodique... 7 1.2.3 Fonction en escalier... 8 1.2.4 Fonction polynomiale de degré 0... 9 1.2.5 Fonction polynomiale de degré 1... 10 1.2.6 Fonction polynomiale de degré 2... 11 1.2.7 Fonction exponentielle... 12 1.2.8 Fonction inverse... 13 Page 5
1.2.1 Fonction définie par partie Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 6
1.2.2 Fonction périodique Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 7
1.2.3 Fonction en escalier Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 8
1.2.4 Fonction polynomiale de degré 0 Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 9
1.2.5 Fonction polynomiale de degré 1 Règle : Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 10
1.2.6 Fonction polynomiale de degré 2 Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 11
1.2.7 Fonction exponentielle Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 12
1.2.8 Fonction inverse Règle : Table de valeurs Caractéristiques : Paramètres : Page 13
1.3 Les propriétés des fonctions 1.3.1 Domaine : 1.3.2 Codomaine ou image : 1.3.3 Les coordonnées à l origine Ordonnée à l origine (valeur initiale) Abscisse à l origine (zéro) 1.3.4 La variation Croissante : Décroissante : Page 14
1.3.5 Le signe Positive ou ( ) : Négative ou ( ) : 1.3.6 Les extrêmums Minimum : Maximum : Page 15
Module 2 : La re solution d ine quations line aires 2.1 Équation ou inéquation Règles de transformations Exemple : 5x - -8 = 3x + 2 Lorsqu'on résous une inéquation, faites ATTENTION Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le signe Exemple : 3 > 2 3 > 2 Page 16
2.2 La droite frontière Fonction polynomiale du premier degré (directe ou partielle) La règle : Si on n'a pas la forme y = a x + b on doit isoler y La droite est pleine : La droite est pointillée : Exemple 1 : -2 5x - y Exemple 2 : 8 + x 3x - 2y Exemple 3 : y - 8 2x - y Exemple 4 : 45-16x 9x + 5y Page 17
2.3 L ensemble-solution L'ensemble des points qui vérifient l'inéquation Tous les points (x, y) qui font que l'inéquation est vraie Pour déterminer de quel côté de la droite nous allons hachurer Choisir un point test (x, y) Remplacer dans l'inéquation vrai colorier de ce côté de la droite faux colorier de l autre côté de la droite Exemple 1 : y 3x -5 Exemple 2 : y 3x -5 Page 18
En résumé : Exemple 1 : 8 - x y Exemple 2 : 35 Page 19
2.4 Pour retrouver la règle à partir de 2 points On cherche la règle y = a x + b à partir de deux points P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) Exemple 1 : Donne la règle de la droite passant par les points P 1 (2, 5) et P 2 (-7, -31) 1. On utilise la formule du taux de variation (pente) pour trouver le a : ( ) 2. On remplace le x et le y par les coordonnées d un des deux points et on isole la valeur initiale, le b qui est la seule inconnue. y 3. On obtient la règle recherchée. x Page 20
y Exemple 2 : Donne la règle de la droite passant par les points A (4, 10) et B(30, 23). x Exemple 3 : Donne la règle de la droite passant par les points T(-6, 31) et U(5, -24). y x Page 21
Module 3 : La similitude et l isome trie de triangles 3.1 Les angles plat: 180 rentrant: entre 180 et 360 obtus: entre 90 et 180 plein: 360 aigus: entre 0 et 90 nul: 0 droit: 90 Des angles supplémentaires : Des angles complémentaires : Des angles opposés par le sommet : Page 22
Des angles alternes-internes: pas le même sommet un à gauche de la sécante et l'autre à droite (de chaque côté de la ligne pointillée) à l'intérieur des parallèles (Entre les deux lignes pleines) 1 3 2 4 5 6 7 8 1 3 2 4 6 5 8 7 Des angles alternes-externes: pas le même sommet un à gauche de la sécante et l'autre à droite (de chaque côté de la ligne pointillée) à l'extérieur des parallèles (à l extérieur des deux lignes pleines) 1 3 2 4 5 6 7 8 1 3 2 4 6 5 8 7 Des angles correspondants : pas le même sommet du même côté de la sécante (du même côté de la ligne pointillée) un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des parallèles (un à l intérieur et l autre à l extérieur des lignes pleines) 1 3 2 4 5 6 7 8 1 3 2 4 6 5 8 7 IMPORTANT : Page 23
Dans un polygone, si j'additionne toutes ses mesures d angles intérieurs j'obtiens: (n-2) 180 où n corresponds au nombre de côtés du polygone Exemples : Triangle Dodécagone Décagone Pentagone Hexagone Quadrilatère Pythagore : Seulement pour les triangles rectangles Exemple 1 : Exemple 2 : Page 24
3.2 Rapport d homothétie et rapport de similitude Les transformations géométriques Translation Rotation Réflexion Homothétie Rapport d homothétie : Exemple 1 : Exemple 2 : 6 cm 2 cm 5 m 20 m initiale image initiale image Page 25
3.3 Triangles isométriques Les conditions minimales pour identifier que deux triangles sont identiques. (CCC, CAC, ACA) CAC : Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre des côtés homologues congrus sont isométriques. CCC : Deux triangles ayant leurs trois côtés homologues isométriques sont isométriques. ACA : Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre deux angles homologues congrus sont isométriques. Page 26
d 4 Exercices: d 1 //d 2 d 2 d 1 1 7 2 8 3 9 4 10 d 3 5 11 6 12 Trouve des angles opposés par le sommet : correspondants mais pas congrus : correspondants et congrus : alternes-internes : alternes-externes mais pas congrus : alternes-externes et congrus : supplémentaires : Trouve la mesure de l angle 13. Si la mesure de l angle 1 est 95 et la mesure de l angle 5 est 130? d 4 d 1 //d 2 d 1 2 1 7 8 d 3 d 2 6 5 3 4 12 9 10 11 13 Page 27
3.4 Triangles semblables Les conditions minimales pour identifier que deux triangles sont semblables. (CCC, CAC, AA) CAC : Deux triangles ayant un angle isométrique compris entre des côtés homologues proportionnels sont semblables. CCC : Deux triangles ayant leurs trois côtés homologues proportionnels sont semblables. AA : Deux triangles ayant deux angles homologues congrus sont semblables. Page 28
3.5 Les relations métriques dans le triangle rectangle La hauteur issue de l'angle droit dans un triangle rectangle forme trois triangles semblables Relation 1 : Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l'angle droit est la moyenne proportionnelle de la mesure de sa projection sur l'hypoténuse et de celle de l'hypoténuse entière. Relation 2 : Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est la moyenne proportionnelle des mesures des deux segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse. Relation 3 : Dans un triangle rectangle, le produit des mesures de l'hypoténuse et de la hauteur correspondante est égal au produit des mesures des côtés de l'angle droit. Page 29
Exemple relation 1 : Exemple relation 2 : Exemple relation 3 : Page 30
Module 4 : Les rapports trigonome triques 4.1 Dans un triangle rectangle B C A 4.2 Les rapports trigonométriques Page 31
Exemple 1 : B 12 24 C 30 A Exemple 2 : Résous le triangle suivant : B 22 cm C 35 A Exemple 3 : résous le triangle suivant : B C 42 cm 40 A Page 32
4.3 Pour retrouver la mesure d un angle en utilisant les rapports trigonométriques ( ) ( ) ( ) Exemple 1 : Résous le triangle suivant : B 24 cm C 48 cm A Exemple 2 : Résous le triangle suivant : 39 cm B 78 cm C A Page 33
Module 5 : La loi des sinus et la formule de He ron 5.1 La loi des sinus Pour résoudre des triangles qui ne sont pas rectangle Exemple 1 : Résous le triangle suivant : Exemple 2 : Résous le triangle suivant : Page 34
5.2 La formule de Héron Calcul de l aire d un triangle Lorsqu on a une hauteur : Si on connaît la mesure des trois côtés : On utilise le demi-périmètre Dans la formule de Héron : ( ) ( ) ( ) Exemple : calcule l aire du triangle suivant : Page 35
Exemple 3 : Résous le triangle suivant et calcule l aire. 16 dm Il faut porter attention à l angle. Est-ce qu il s agit d un angle aigu ou un angle obtus? Calcule : ( ) ( ) Page 36
Module 6 : La mesure et la ge ome trie analytique 6.1 La droite Le taux de variation (la pente) : La valeur initiale (ordonnée à l origine) : Le zéro (abscisse à l origine) : L équation de la droite La forme fonctionnelle (canonique) La forme générale La forme canonique ou fonctionnelle La forme générale Le taux de variation (pente) L inclinaison de la droite ( ) La valeur initiale (ordonnée à l origine) La valeur de y quand x=0 Le zéro (abscisse à l origine) La valeur de x quand y=0 Page 37
Exemple : Donne la forme générale et trace la droite. Exemple : Donne la forme canonique et trace la droite. Page 38
6.2 Position particulière des droites Sécantes : droites qui se coupent. Parallèles distinctes : droites qui ne se touchent pas. Parallèles confondues : droites identiques, une par-dessus l autre. Perpendiculaires : droites qui se coupent à angle droit (90 ) Page 39
6.3 Intersection de deux droites Résoudre un système d équations consiste à trouver les coordonnées du point de rencontre de ces deux droites. Trois méthodes pour retrouver les coordonnées du point de rencontre Table de valeurs combinées Graphique Algébrique (substitution, comparaison, réduction) Exemple : Résous le système suivant : { Résoudre à l aide d une table de valeurs combinées : x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 1 y 2 Solution : Résoudre graphiquement : Solution : Page 40
Résoudre algébriquement avec la Méthode de comparaison Exemple 1 : Résous le système suivant : { Exemple 2 : Résous le système suivant : { Page 41
Résoudre algébriquement avec la Méthode de substitution Exemple 1 : Résous le système suivant : { Exemple 2 : Résous le système suivant : { Page 42
Résoudre algébriquement avec la Méthode de réduction Exemple 1 : Résous le système suivant : { Exemple 2 : Résous le système suivant : { Page 43
6.4 Distance entre deux points Grâce à Pythagore, nous pouvons calculer la distance entre deux points dans le plan cartésien. Formule : ( ) ( ) ( ) Exemple 1 : Trouve la distance entre les points A et B. Exemple 2 : Trouve la distance entre les points T(-4, 9) et U(5, -12). Page 44
6.5 Coordonnées du point milieu Formule : ( ) ( ( ) ( ) ) Exemple 1 : Trouve les coordonnées du point milieu du segment. Exemple 2 : Trouve les coordonnées du point milieu du segment. T(-4, 9) et U(5, -12). Page 45
6.6 Coordonnées du point de partage Formule : ( ) ( ( ) ( )) Exemple 1 : Trouve les coordonnées du point situé au du segment à partir de A. Exemple 2 : Trouve les coordonnées du point qui partage le segment dans le rapport 2 :3. T(-4, 9) et U(5, -12). Page 46
Module 7 : Initiation a la de monstration 7.1 Quelques définitions Conjecture: Un énoncé, une supposition basée sur des apparences ou des intuitions. (hypothèse, opinion, présomption, prévision, soupçon, supposition) Il faut une démonstration pour prouver qu une conjecture est vraie. Un simple exemple suffit pour prouver qu une conjecture est fausse. Un contre-exemple. Théorème : une conjecture qui a été prouvée. Des symboles importants : Congrus : Semblables : Triangle : Perpendiculaires : Angle : Droites parallèles : Segment : Mesure du segment : Angle droit : Environ : Mesure d angle : Page 47
Quelques formules à se souvenir Page 48
7.2 Une démonstration Hypothèse Conclusion si Condition alors Conséquence J ai ceci Il arrive cela 7.3 La démonstration en T Énoncé : Hypothèse : dessin : Conclusion : Affirmations justifications 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. Page 49
Exemple 1 : Énoncé : Dans un triangle ABC dont l angle A est de 35 et l angle C est de 45, trouve la mesure de l angle B. Hypothèse : dessin : Conclusion : Affirmations justifications Exemple 2 : Énoncé : Les angles opposés d un parallélogramme sont congrus. Hypothèse : dessin : Conclusion : Affirmations justifications 1. 1. Car dans un parallélogramme, les côtés opposés sont congrus 2. 2. idem 1 3. 3. car 4. 4. car 5. et 5. car les éléments homologues de figures isométriques sont congrus. Page 50
Exemple 3 : Trouve les mesures des angles : 1, 2, 3 et 4. Exemple 4 : Si, que = 5 cm, = 7 cm et = 8 cm, peux-tu trouver la mesure de? Page 51
Module 8 : Les mesures de dispersion et de position 8.1 Petit rappel Mesure de tendance centrale : Mesure de position : Mesure de dispersion : Les tableaux de distribution et les diagrammes : Page 52
8.2 L étendue interquartile accompagne la médiane La médiane : c est la donnée du milieu si les données sont classées en ordre croissant. le deuxième quartile (Q 2 ) L étendue: nous renseigne sur la dispersion des données Maximum - minimum L étendue interquartile: nous renseigne sur la dispersion des données le 3 e quartile le premier quartile (Q 3 -Q 1 ). Le diagramme de quartiles Exemple : construis le diagramme de quartiles à partir des données suivantes : 2, 2, 5, 8, 9, 16, 17, 19, 24, 35, 46 Page 53
8.3 L écart moyen accompagne la moyenne La moyenne est la somme de toutes les données divisée par le nombre de données ( ) L'équart moyen nous renseigne sur la moyenne des écarts entre la moyenne et chacune des données La somme (Σ) de toutes les données ( ) moins la moyenne ( ) divisée par le nombre de données (n) Exemple : calcule l écart moyen à partir des données suivantes : 2, 2, 5, 8, 9, 16, 17, 19, 24, 35, 46 Valeurs Écart à la moyenne x i 2 2 5 8 9 16 17 19 24 35 46 Somme des écarts Page 54
8.4 Le rang centile C est le pourcentage de données plus pourries ou aussi pourries que celle que tu observes. ou Important : si le rang centile n est pas un entier, il faut arrondir à l unité supérieure Exemple : Voici 20 données : 12, 18, 40, 16, 16, 18, 20, 32, 24, 25, 27, 24, 33, 35, 38, 15, 42, 42, 48, 50 a) Quel est le rang centile de la donnée 32? b) Quel est le rang centile de la donnée 18? c) Quelle est la donnée qui a le rang centile 90? Page 55
Module 9 : La corre lation line aire 9.1 Définition Mettre en relation deux variables et observer s il existe un lien entre les deux. Exemple 1 : La taille des parents et la taille de leur enfant Exemple 2 : Le nombre de jours depuis qu une maison est mise en vente et le nombre de personnes qui l on visité. 9.2 Nuage de points Représenter graphiquement les données recueillies pour en faire l analyse. 9.3 Tableau à double entrées Représenter dans un tableau les données recueillies pour en faire l analyse. Choix de couleur selon l âge bleu rouge jaune 10 III I 11 I IIII 12 II III 13 II Page 56
Valeurs en x Mathématique secondaire 4 régulier CST 2012 9.4 Corrélation linéaire Linéaire comme dans ligne droite, donc fonction : Si on peut établir un lien entre deux variables, on peut faire des prédictions La corrélation peut être associée à tous les modèles mathématiques (second degré, inverse, exponentielle, etc.) Pour faire ressortir une relation statistique entre les deux variables d une distribution, on peut utiliser les deux modes de représentation ci-dessous. LE NUAGE DE POINTS LE TABLEAU À DOUBLE ENTRÉE VALEURS EN Y 20 22 23 24 26 27 29 30 31 32 34 35 37 9 1 4 3 8 3 2 7 1 5 6 2 5 2 1 4 1 4 3 1 2 3 2 2 4 1 3 Page 57
9.5 Coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire est un nombre entre -1 et 1 Plus les points se regroupent pour former une ligne droite, plus le coefficient se rapproche du 1 ou du -1. Plus les points sont éparpillés, plus le coefficient se rapproche du 0 Page 58
Pour qualifier le coefficient : Valeur du coefficient de corrélation (noté r) r = 1 Corrélation linéaire négative parfaite Exemples de nuages de points associés à r 1 < r < 0 Corrélation linéaire négative variant de forte à faible r = 0 Corrélation linéaire nulle 0 < r < 1 Corrélation linéaire positive variant de faible à forte r = 1 Corrélation linéaire positive parfaite Page 59
Pour calculer le coefficient : Pour calculer le coefficient on utilise notre règle et on mesure le plus petit rectangle incluant tous les points ( ) Exemple : Calcule le coefficient de corrélation. Nombre de ventes de pneus d hiver L hiver s en vient Nombre de ventes de médicament contre la grippe Page 60
9.6 La droite de régression Pour faire des prédictions, nous avons besoin de connaitre le lien entre les deux variables. Comme il s agit de corrélation linéaire, nous chercherons l équation d une droite. Deux méthodes pour trouver l équation de la droite la plus représentative de tous ces points. Médiane-médiane : o plus simple quand il y a beaucoup de données o plus précise s'il y a des points aberrants Mayer o Plus simple quand il y a peu de données Prédiction: Plus la corrélation est forte, plus les prédictions sont précises Soyez toujours critique Interpolation: prédiction à l'intérieur du domaine (étendue de la distribution) Extrapolation: à l'extérieur du domaine étudié Plus on s'éloigne de l'intervalle observé, plus on risque de faire des prédictions aberrantes Petit rappel : La moyenne : La somme de toutes les données divisée par le nombre de données. Le mode : La donnée qui se répète le plus souvent. La médiane : La donnée qui est située au centre de la distribution lorsque celles-ci sont classées en ordre croissant (s'il y a un nombre pair de données, faire la moyenne des deux centrales). La distribution : Toutes les données observées. Page 61
9.7 Méthode: Médiane-médiane La droite médiane-médiane est la droite définie à partir de 3 points médiants (M 1, M 2 et M 3 ) représentatifs de la distribution 1. Ordonner les couples (x,y) en ordre croissant selon x. (Pour 2 x de la même valeur, considérer y en ordre croissant) 2. Partager en 3 groupes (1 er et 3 e même nombre de données et le 2 e aussi si possible) 3. Déterminer la médiane de chaque groupe pour x et pour y 4. Définir les 3 points M 1 (médiane x 1 er groupe, médiane y 1 er groupe) (x m1, y m1 ) M 2 (médiane x 2 e groupe, médiane y 2 e groupe) (x m2, y m2 ) M 3 (médiane x 3 e groupe, médiane y 3 e groupe) (x m3, y m3 ) 5. Déterminer les coordonnées du point P 6. Trouver l'équation de la droite médiane-médiane ( ) ( ) a. parallèle à la droite donc : b. passe par le point P donc : Page 62
Exemple: Utilise la méthode médiane-médiane pour définir la règle de l équation de la droite de régression de la distribution suivante : (6,5), (14, 6), (19, 14), (3, 2), (9, 7), (22, 21), (14, 10), (27, 17) Page 63
9.8 Méthode: Mayer La droite de Mayer est la droite passant par 2 points moyens (P1et P2) représentatifs de la distribution 1. Ordonner les couples (x,y) en ordre croissant selon x. (Pour 2 x de la même valeur, considérer y en ordre croissant) 2. Partager en 2 groupes ayant le même nombre de données (Si impair, inscrire la donnée du milieu dans les 2 groupes) 4. Déterminer la moyenne de chaque groupe pour x et pour y 5. Définir les 2 points P 1 ( x moyen du 1 er groupe, y moyen du 1 er groupe) (x 1, y 1 ) P 2 (x moyen du 2 e groupe, y moyen du 2 e groupe) (x 2, y 2 ) 6. Trouver l'équation de la droite passant par Exemple: Utilise la méthode de Mayer pour définir la règle de l équation de la droite de régression de la distribution suivante : (6,5), (14, 6), (19, 14), (3, 2), (9, 7), (22, 21), (14, 10), (27, 17) Page 64
9.9 Les sources de biais Le choix de l'échantillon: trop petit personnes trop ou pas concernées méthode d'échantillonnage inadéquate (pas de hasard) La question: trop compliquée pas claire pas précise pas pertinante subjective L attitude du sondeur: pressé, pressant insistant ridiculise Une erreur de mesure: lecture d'instruments compilation Présentation des résultats: rejet d'une partie de l'échantillon tableau, graphique mauvaise interprétation Attention à l'interprétation Toujours être critique Page 65
Module 10 : Les types de probabilite s 10.1 La probabilité Probabilité = Exemple 1 : Obtenir Pile en lançant une pièce de monnaie Exemple 2 : Obtenir un nombre pair en lançant un dé Exemple 3 : Piger le nom d un garçon dans la classe (il y a garçons et filles) Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 inclusivement impossible probable possible certain Page 66
Exemples d expériences aléatoires : Lancer un dé 1) On ne peut pas prédire les résultats d avance 2) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Piger une carte dans un jeu de cartes 1) On ne peut pas prédire les résultats d avance 2) Ω = {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, } Ω Lancer une pièce de monnaie 1) On ne peut pas prédire 2) Ω = {P, F} Page 67
10.2 Trois types de probabilité Probabilité théorique : calculer à partir d une formule (théorie) Exemple : Probabilité fréquentielle : calculer à partir d une expérience répétée plusieurs fois (pratique, expérimentation) Exemple : Probabilité subjective : Calculer à partir de statistiques, d expériences passées et de notre jugement (impossible de faire l expérience ou de calculer théoriquement) Exemple : Page 68
10.3 Rappel : Calculer la probabilité d événements composés On multiplie les probabilités de chacune des étapes On additionne chacune des probabilités des cas possibles Exemple 1 : Le lancer d une pièce de monnaie deux fois. Fais l arbre des probabilités et calcule les probabilités demandées. 1 er lancé 2 e lancé résultats probabilités départ Quelle est la probabilité d obtenir pile aux deux lancés? Quelle est la probabilité d obtenir 2 Piles ou 2 faces? Page 69
Exemple 2 : Fais l arbre des probabilités et calcule les probabilités de l expérience : piger un diamant, lancer une pièce de monnaie et lancer un dé. Quelle est la probabilité d obtenir (bleu, pile, 3)? Quelle est la probabilité d obtenir pile? Page 70
Module 11 : Le concept d'e quite 11.1 Chance pour, chance contre Probabilité = Ω = Nombre de cas favorables + nombre de cas défavorables = nombre de cas possibles Événements complémentaires : Chances pour = Chances contre = Exemple 1 : Lancer un dé. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Événement «obtenir un 4» Nombre de cas favorables : Nombre de cas défavorables : Nombre de cas possibles : P(obtenir un 4) = Chance pour d obtenir un 4 : Chance contre d obtenir un 4 : Page 71
Exemple 2 : Piger une carte dans un jeu de cartes régulier. Nomme un événement possible : Nomme un événement ayant une probabilité nulle : Nomme un événement certain : Quelle est la P(de piger un valet, une dame ou un roi)? Chance pour de piger un valet, une dame ou un roi : Chance contre de piger un valet, une dame ou un roi : Quelle est la P(de ne pas piger un valet, une dame ou un roi)? Exemple 3 : Lancer deux (2) dés (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) Quelles sont les chances pour d obtenir une somme de moins de 6? Quelle est la P(d obtenir une somme de 4)? Page 72
11.2 L espérance mathématique C'est une moyenne du montant que l'on peut espérer obtenir à chaque tour si on joue plusieurs fois Trois cas possibles : Favorable : gains aux pertes Défavorable : gains aux pertes Équitable : gains aux pertes Exemple 1 : Pour financer votre voyage de finissants, vous organisez un casino. Il en coûte 5$ pour jouer à la roue. a) Si l espérance mathématique est de 8$, ce jeu est pour le joueur. b) Si l espérance mathématique est de 3$, ce jeu est pour le joueur. c) Si l espérance mathématique est de 5$, ce jeu est pour le joueur. d) Si l espérance mathématique est de 8$, ce jeu est pour l organisateur. e) Si l espérance mathématique est de 3$, ce jeu est pour l organisateur. f) Si l espérance mathématique est de 5$, ce jeu est pour l organisateur. Page 73
11.3 Calcul de l espérance mathématique On multiplie chacune des valeurs possibles par la probabilité d obtenir cette valeur. On additionne tous ces produits Exemple 1 : Tu lances un dé. Tu gagnes la valeur du chiffre obtenu en argent. (si tu obtiens le chiffre 1, tu gagnes 1$. Si tu obtiens le chiffre 2, tu gagnes 2$, etc.) ( ) ( ) ( ) ( ) Donc on peut espérer gagner 3,50$ Quel montant dois-je payer pour jouer à ce jeu de dés afin que le jeu soit : Équitable pour moi : Défavorable pour moi : Favorable pour moi : Page 74
Exemple 2 : Le jeu consiste à faire tourner la roue suivante. Tu peux gagner le montant qui sera pointé quand la roue arrêtera de tourner. Calcule l espérance mathématique de ce jeu s il en coûte 2$ pour jouer. Donc on peut espérer gagner : On peut dire que ce jeu est équitable, défavorable ou favorable? Exemple 3 : Le jeu consiste à faire tourner la roue suivante. Tu peux gagner le montant qui sera pointé quand la roue arrêtera de tourner. L espérance mathématique est de 4$. S il en coûte 2$ pour jouer quel montant manque sur la roue? Page 75