MP 15-16 Exercices d'oraux : physique quantique et physique statistique Physique moderne 1 Tous) Comme beaucoup d'exercices de physique quantique et statistique, il faut s'attendre à avoir des questions proches du cours Il est essentiel comme toujours) de bien le connaître! 1 On a l'équation de Schrödinger indepéndante du temps dans la région 1) : φ m x + Eφ = dont la solution est : φx) = A expik 1 x) + ra exp ik 1 x) avec k 1 = Dans la région ) de solution φ m x + E V )φ = φx) = ta expik x) avec k = Il y a continuité de φ et de φ donc 1 + r = t et ik 1 1 r) = ik t d'où r = k 1 k k 1 + k et t = k 1 k 1 + k Si E V, k 1 k et r, t 1 me me V ) Dans ce cas, les solutions dans ) sont réelles φx) = te αx ) On peut poser k = αi avec α > On a r = k 1 iα k + iα et R = r = 1 La particule de franchit pas la barrière me si sa probabilité de présence n'est pas nulle dans la région ) L'onde est alors évanescente Physique moderne Tous) 1 Dans une vision classique, la particule franchit sans problème la falaise sans rebondir dessus, bien évidemment) La situation va être diérente en physique quantique : la particule va avoir une probabilité non nulle de rebondir sur la falaise! Dans la région 1), comme dans l'exercice précédent : dont la solution est : φ m x + Eφ = φx) = A expik 1 x) + ra exp ik 1 x) avec k 1 = me Dans la région ), φ m x + E V )φ = me + V ) de solution φx) = ta expik x) avec k = 1
Exercices d'oraux :Physique moderne De même que précédemment, r = k 1 k k 1 + k et t = k 1 k 1 + k ) k1 k et R = et T = 4k 1k k 1 + k k 1 + k ) 4 Dans ce cas, k = k 1 donc 1 ) R = 1 + = 7, % Physique moderne Tous) πa 1 φx) dx = 1 d'où A = 1 πa La particule étant liée à un cercle de rayon a, la condition limite s'exprime : φx) = φx + πa) On a donc πka = nπ avec n Z k n = m a avec n Z Or l'équation de Schrödinger implique E n = k m = n avec n Z A chaque niveau d'énergie ma correspond deux valeurs opposées de n c'est-à-dire deux états de la particule sauf pour n = On a la situation : E n E n = E n = E 1 n = 1 n =
MP 15-16 4 Il faut placer les 6 électrons par énergie croissante sur le diagramme précédent : E n E n = E n = E 1 n = 1 n = 5 La transition d'energie la plus faible correspond à une transition n = 1 à n = soit E = πc λ = E E 1 = ma d'où a = 15pm L'accord est assez bon Physique moderne 4 Tous) 1 On injecte φx) dans l'équation de Schrödinger et il vient On trouve alors ω = π ma et E n = n ω La fonction d'onde s'écrit E n = n π ma avec n N ψ n x, t) = φx)e i En t ) = φx) exp in ω t ) On utilise le théorème de superposition et il vient : ψx, t) = 1 φ 1 x) exp iω t) + φ x) exp i4ω t))
Exercices d'oraux :Physique moderne 4 On remarque que φ 1 x) = 1 φ g x) + φ d x)) et φ x) = 1 φ g x) φ d x)) d'où ψx, t) = 1 exp iω t) + exp i4ω t))φ g x) + exp iω t) exp i4ω t))φ d x)) soit On a alors ψx, t) = exp i 5 ) ) ) ) ω t cos ω t φ g x) + i sin cos ω t φ d x) ) ) Px, t) = ψx, t) = cos ω t φ g x) + sin ω t φ d x) d'où Px, t) = 1 φg x) + φ d x) ) + 1 φg x) φ d x) ) cos ω t P oscille à une fréquence ν = ω π = E E 1 h Physique moderne 5 Tous) 1 p i = A E i kt avec p 1 + p + p = 1 d'où A = 1 1 + ch E/kT soit e E/kT N 1 = N 1 + ch E/kT N 1 = N 1 + ch E/kT et e E/kT N = N 1 + ch E/kT A basse T, seul le niveau de plus basse énergie est occupé, N 1 N et N, N A haute T, les niveaux sont occupés de manière équiprobable : N i N pour i = 1,, ) E sh E/kT E = E 1 pe 1 ) + E pe ) + E pe ) = p 1 + p )E = 1 + ch E/kT Le graphe est similaire à celui du système à deux niveaux 4 C V T) varie de la même façon que pour un système à deux niveaux Physique moderne 6 Tous) 1 Si le miroir tourne de φ, le rayon rééchi tourne de φ faire un dessin pour le voir)on a donc d Lφ 4
MP 15-16 a) Le théorème d'équipartition de l'énergie donne d'où d = 4L φ φ = k BT C 1 Cφ = 1 k BT d'où k B = C 4L T d = 1, 71 JK 1 Physique moderne 7 Tous) On peut montrer, et il faut savoir le faire, Quel n O z) = n exp M ) Ogz RT et n N z) = 4n exp M ) Ngz RT On a donc pour z=4 m ) x O MO M N )gz = 4 exp = 4, x N RT Physique moderne 8 Tous) 1 Chaque grain est soumis à son poids et à la poussée d'archimède : F = 4 πa d 1)µ eau g u z L'énergie potentielle E p z) d'un grain de coordonnée rst donc Ep z) = 4 πa d 1)µ eau gz = Az avec A = 4 πa d 1)µ eau g Ne nombre moyen de grain est proportionnel au facteur de Boltzmann exp E ) p k B T Donc ce nombre décroit en exp z/h avec = exp Az ) k B T h = k BT A 51 4 m h est de l'ordre de la hauteur de la cuve et il est donc possible d'observer au microscope la répartition des grains obéissant à la loi de Bolzmann On trace ln N en fonction de z et on obtient : On a donc h = 1/, 4 = 4µm et nalement N A = R k B = ln N =, 4z + 4, 7 RT 4πa d 1)µ eau gh 71 mol 1 5