BTS Groupement B Mathématiques Éléments de correction Session 211 Exercice 1 : Partie A : Résolution d une équation différentielle 1. a L équation r 2 3r + 2 admet deux racines réelles r 1 et r 2. S 1, 2} b L équation caractéristique associée à E est l équation r 2 3r + 2 dont on a déterminé précédemment les solutions. La solution générale de E est alors yx λe x + µe 2x avec λ, µ R 2 2. a La fonction dérivée de g est g x 2x + 2e x b À l aide de la dérivée d un produit, et après simplification, on a Nous obtenons alors g x 2x + 4e x g x 3g x + 2gx 2x + 4e x 3 2x + 2e x + 2 2xe x + 2 2x + 4 6x 6 + 4xe x + 6 2e x + 6 Par conséquent, la fonction g est une solution particulière de l équation E. 3. La solution générale de l équation E s obtient en ajoutant la solution générale de l équation homogène associée E et une solution particulière de E. yx λe x + µe 2x + 2xe x + 3 avec λ, µ R 2 4. On a déjà f de la forme fx λe x + µe 2x + 2xe x + 3. Or f 2 d où λ + µ + 3 2, c est-à-dire λ + µ 1. On a aussi f x λe x + 2µe 2x + g x λe x + 2µe 2x + 2x + 2e x Or f 1 d où λ + 2µ + 2 1, c est-à-dire λ + 2µ 1. 1
BTS Éléments de correction du BTS groupement B 211 Il faut alors résoudre le système λ + µ 1 λ + 2µ 1 λ 1 µ La fonction f cherchée est alors Partie B : fx 2x 1e x + 3 1. a On écrit fx 2xe x e x + 3. Comme on a lim x ex et lim x xex, alors, par somme : lim fx 3 x b D après le résultat précédent, la courbe C admet la droite d équation y 3 comme asymptote horizontale au voisinage de. 2. a D après le formulaire, on a le développement limité d ordre 2 en de e x : e x 1 + x + 1 2 x2 + x 2 εx avec lim x εx alors, par produit avec 2x 1 en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à 2 : fx 2x 1 1 + x + 1 2 x2 + 3 + x 2 εx 1 x 1 2 x2 + 2x + 2x 2 + 3 + x 2 εx 2 + x + 3 2 x2 + x 2 εx b Une équation de la tangente T à la courbe C est donnée par la partie affine de ce développement limité d ordre 2 en de f T : y 2 + x c La courbe C est au-dessus de la tangente T au voisinage de car 3 2 x2 est positif au voisinage de. 3. a Comme f x 2x + 1e x et que pour tout réel x, e x >, alors f x est du signe de 2x + 1. 2x + 1 < x < 1 2 et 2x + 1 > x > 1, alors la fonction f est ] 2 strictement décroissante sur ; 1 ], [ [ 2 1 strictement croissante sur 2 ; +. b Le minimum de f est alors pour x 1 2 et f 1 2e 1 2 + 3 2 1, 7 Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 21-211 2/5
BTS Éléments de correction du BTS groupement B 211 4. a On a,5 I 2 + x + 3 2 x2 dx [2x + 1 2 x2 + 1 ],5 2 x3 b Pour intégrer par parties, on pose 1 + 1 8 + 1 16 1 16 1, 1875 ux 2x 1 v x e x u x 2 vx e x d où K,5 2x 1e x dx [2x 1e x ],5,5 [2x 1e x ],5 2 [e x ],5 [2x 3e x ],5 2e,5 + 3 2e x dx c On a : J,5,5,5 fx dx 2x 1e x + 3 dx 2x 1e x dx + K + 3 [x],5 K + 3, 5 2 2e,5,5 3e x dx d On a J I 2 2e,5 1, 1875, 15 < 2 1 2 Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 21-211 3/5
BTS Éléments de correction du BTS groupement B 211 Exercice 2 : Partie A : X suit la loi normale N 8, 33 ;, alors T N ; 1. 1. On demande p8, 18 X 8, 48. X 8, 33, suit la loi normale centrée réduite 8, 18 8, 33 8, 48 8, 33 p8, 18 X 8, 48 p T,,, 15, 15 p T,, p 15 T 15 15 Π Π 15 [ ] 15 15 Π 1 Π 15 2Π 1 2Π1, 67 1 2. En procédant de la même façon, on a 2, 525 1, 5 8, 33 h 8, 33 p8, 33 h X 8, 33 + h p, T p h h T,, p 1h T 1h 1h Π Π 1h [ ] 1h 1h Π 1 Π 1h 2Π 1 8, 33 + h 8, 33, Il faut alors résoudre c est-à-dire d où alors 1h 2Π 1, 5 1h Π, 75 1h 1, 6 h, 176 Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 21-211 4/5
BTS Éléments de correction du BTS groupement B 211 On a donc p8, 154 X 8, 56, 5 c est-à-dire que la probabilité qu une pièce possède un diamètre compris entre 8, 154 et 8, 56 est égale à, 5. Partie B : 1. Chaque prélèvement est constitué de 5 épreuves élémentaires indépendantes puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise ; Chaque épreuve élémentaire n a que deux issues possibles : soit le succès : l événement E, «une gaine prélevée dans un stock important est non conforme pour le diamètre intérieur», de probabilité p pe, 6, soit l échec : l événement E, «une gaine prélevée dans un stock important est conforme pour le diamètre intérieur», de probabilité q 1 p, 4 ; La variable aléatoire X mesure le nombre de succès, alors la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n 5 et p, 6. 2. On demande px 5. 3. On demande ici px 2. On a Partie C : px 5 C 5 5, 6 5, 4 45, 184 px 2 px + px 1 + px 2, 4 5 + 5, 6, 4 4 + C 2 5, 6 2, 4 48, 12 1. La règle de décision permettant d utiliser ce test est la suivante : on prélève un échantillon aléatoire de 3 pastilles, on mesure le diamètre des pastilles et on calcule la moyenne d de ces diamètres : Si d [8, 16 ; 8, 154], on accepte l hypothèse H et on rejette H 1 : la livraison est conforme pour le diamètre, au seuil de 5%. Si d / [8, 16 ; 8, 154], on rejette H et on accepte H 1 : la livraison est non conforme pour le diamètre. 2. Ici, d / [8, 16 ; 8, 154], par conséquent la livraison n est pas conforme pour le diamètre, au seuil de 5%. Suggestions ou remarques : xavier.tisserand@ac-poitiers.fr Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 21-211 5/5