Prévoir la croissance économique Clément Marsilli Prix A Doc 2013 de la jeune recherche en Franche-Comté Article paru à ce titre aux Presses Universitaires de Franche-Comté, Numéro spécial Prix A Doc 2013, ISBN 978-2-84867-454-4, 138 pages, hors collection. Banque de France, Service des Études Macroéconomiques et des Synthèses Internationales, et Université de Franche-Comté, Laboratoire de Mathématiques de Besançon. clement.marsilli@banque-france.fr. Cet article traduit uniquement les opinions de l auteur et n engage en rien la Banque de France.
Introduction La crise financière mondiale, la crise des dettes souveraines, les récessions qu ont enduré et qu endurent encore nombres de pays parmi les plus avancées témoignent de la difficulté d anticiper les fluctuations économiques, même à des horizons proches. Toutefois, la prévision économique de court terme à l échelle macroéconomique dans un ensemble globalisé et interdépendant, est un exercice aussi complexe qu essentiel pour la définition de la politique économique et monétaire contemporaine. Dans ce cadre, les taux de croissance du PIB et de l inflation constituent des indicateurs privilégiés de mesure de la santé économique d un pays et concentrent à ce titre l intérêt premier des prévisionnistes. Les études économétriques de prévision doivent dès lors reposer sur un mécanisme cohérent qui mesure les conditions conjoncturelles du moment et la composante cyclique et systémique des éléments qu il mobilise. Les données disponibles sur lesquelles baser une analyse prédictive n ont jamais été aussi importantes. Les statistiques de l industrie, de l emploi, les enquêtes d opinion, les prix de matières premières, d actions, d obligations quottés en temps quasi continu, les indicateurs du marché immobilier, le nombre d immatriculations, etc. sont autant de variables explicatives et de prédicteurs potentiels de la croissance économique d un pays. On remarquera toutefois que les séries temporelles issues de l économie réelle et financière ne présentent pas les mêmes caractéristiques, tant au niveau de leur fréquence d échantillonnage que de leur apport prédictif. Se posent subséquemment des questions quant à l utilisation de ces données : quelle agrégation temporelle est la plus judicieuse? Quels indicateurs sont à considérer? Quel modèle, pour une prévision à quel horizon temporel? Nous évoquerons dans un premier temps les éléments fondamentaux de la prévision macroéconomique et discernerons la problématique et les enjeux véritables de l étude. Puis, nous proposerons une méthodologie économétrique, objet de notre travail de recherche, qui repose sur plusieurs étapes et entend mêler parcimonie (statistique) et performance (empirique). Enfin, à partir d une modélisation sur des données européennes (Allemagne, France et Royaume-Uni) durant la période post crise, nous discuterons, comparerons et relativiserons les résultats, quelques faits stylisés seront esquissés, et de nouvelles perspectives seront envisagées. 2
1 La prévision macroéconomique 1.1 Une temporalité particulière, contrainte du problème La croissance, entendons le taux de croissance du Produit Intérieur Brut (PIB) réel d un pays, est liée aux comptes nationaux calculés par l institut statistique national du pays concerné et est présentée trimestriellement. Le chiffre rendu public par l INSEE en France, est un résultat comptable reposant sur des données telles que la consommation, l investissement, les variations de stocks, les exportations et importations, représentant la production de valeur ajoutée durant la période. Cette publication intervient de manière retardée par rapport au trimestre en question et fait l objet de révisions successives, ne délivrant un résultat définitif que plusieurs années plus tard. En France, le chiffre de croissance est connu environ 1 mois et demi après la fin du trimestre en question (e.g. mi-mai pour le 1er trimestre). Ce décalage dans le temps n a en particulier permis d identifier la récession française débutée en mars 2008, qu à partir de novembre 2008. Dompter cette temporalité constitue un véritable enjeu pour les économistes et une gageure pour notre travail de recherche. 1.2 Un ensemble d informations hétéroclite Les modèles économétriques de prévisions reposent généralement sur des régressions qui cherchent à expliquer et à prédire une série d intérêt, dans notre cas la croissance économique, par un ensemble d informations contemporaines et passées. Des éléments autorégressifs, c est à dire des valeurs passées issues de la même série peuvent également être pris en compte. Les données macroéconomiques sont toutefois limitées par un historique parfois court. Dès lors comment cibler les variables explicatives essentielles que nous utiliserons dans notre modèle de prévision? Nous identifions tout d abord deux grandes familles d indicateurs économiques : les variables réelles : il s agit d indicateurs mensuels de l activité économique tels que les statistiques d emploi, indices de production industrielle, immatriculations... Sont également considérées comme réelles les séries de données issues d enquêtes de conjoncture, ou d opinion. Nous identifierons ces variables dans nos commentaires et nos modèles par la couleur bleu. les variables financières, et plus généralement liées aux marchés financiers, parmi lesquelles sont concernées : indices boursiers, prix de matières premières, taux d intérêt, taux de change... Les variables financières seront présentées en rouge dans notre étude. 3
Les variables financières sont généralement absentes des modélisations économétriques. En effet, celles-ci sont intrinsèquement volatiles, il est donc difficile de discerner leur véritable apport prédictif d un point de vue macroéconomique. Le lien entre sphère financière et économie réel est toutefois patent, en particulier durant la période récente : les sévères récessions que de nombreux pays ont subi en 2009 sont les répercutions directes de la crise financière et bancaire mondiale de 2008 (Claessens et al. (2012)). Certains travaux de la littérature suggèrent que ces séries financières peuvent être utiles lorsqu elles sont correctement envisagées. Chauvet et al. (2012) et Ferrara and Marsilli (2013) ont notamment montré que la volatilité des variables financières avait une réelle influence sur les fluctuations économiques. La volatilité est une notion statistique bien précise, il s agit d une mesure de l amplitude des variations des signaux financiers, celle-ci n est malheureusement pas à proprement parlé observable, elle est donc sujette à l estimation d un modèle. Nous considérerons les variables financières par le biais de leur volatilité journalière et non de leur rendement, comme c est le cas usuellement. La volatilité sera estimée à partir d une modélisation GARCH, sur des séries stationnaires, blanchies, et nettoyés d outliers exogènes. L ensemble des variables réelles et financières que nous utiliserons dans notre étude est décrit en Annexe A. Les variables réelles sont par nature coïncidentes, ou légèrement avancées par rapport au cycle économique (<1 trimestre), les variables financières ont, d après la littérature, une anticipation prédictive plus importante (4 à 6 mois), citons parmi d autres Ferrara et al. (2013). Le choix des variables à privilégier dans le cadre de prévisions macroéconomiques est délicat et dépend fortement de l horizon de prévision. Il existe différentes méthodes permettant de réduire l ensemble d information en conservant une significativité statistique. La méthodologie LASSO notamment, introduite par Tibshirani (1996), induit de la sparsité 1 dans l ensemble des variables par le biais d une pénalisation sur le modèle de régression, et ainsi sélectionne les plus importantes. Cette technique fait d ailleurs l objet de recherches dans le cadre de notre projet doctoral. Nous considérerons dans cette étude une autre méthode, l analyse en composantes principales (ACP) qui agrège les données en projetant sur des axes factoriels, l information de la base initiale et réduit donc significativement la dimension. Cette technique nous permet notamment d identifier un facteur commun à chacun de nos deux groupes de d indicateurs et ainsi de confronter plusieurs modélisations issues de ces deux variables (facteur réel vs. facteur financier). Cette méthode est souvent employée en économétrie ; on la retrouve en particulier dans les travaux de Banerjee and Marcellino (2006). La description mathématique de l ACP que nous considérons est en Annexe B. 1. La sparsité caractérise un ensemble peuplé majoritairement de zéros. Lorsque l un des élément est nul, c est qu il n est pas significatif. Un ensemble sparse réalise donc indirectement une sélection des variables les plus significatives. 4
2 Une modélisation à mélange de fréquences La modélisation que nous proposons est une régression linéaire classique à ceci près que les variables incorporées sont de fréquences différentes, à savoir que notre série temporelle d intérêt est observée à fréquence basse (trimestrielle) et que les variables explicatives sont échantillonnées à fréquence haute (journalière ou mensuelle). Nous raisonnerons dans un premier temps de manière contemporaine, la notion de prévision n interviendra qu une fois le modèle établit. La situation est la suivante : pour expliquer une donnée trimestrielle (par exemple celle du 1er trimestre disponible fin mars), on considère par exemple les 4 dernières données d une variable réelle mensuelle (mars, février, janvier et décembre), et les 6 derniers mois de données d une variable financière journalière (au moins 20 6 = 120 données journalières d octobre à mars). L idée première serait de pondérer chacune de ces valeurs par un coefficient que l on estimerait, cette modélisation, est inenvisageable pour un problème de grande dimension : l utilisation des deux variables explicatives précédentes impliquerait l estimation d au moins 124 paramètres. Il s agit d un problème récurrent avec des échantillons finis (appelé curse of dimensionality). La modélisation que nous proposons cherche à concilier le mélange des fréquences d échantillonnage et la parcimonie nécessaire à son estimation. La régression MIDAS La modélisation MIDAS (Mixed Data Sampling), introduite par Ghysels et al. (2004), repose sur l idée simple et pour autant innovante que les poids présents devant chacune des données hautes fréquences, permettant l agrégation temporelle, sont liés par une fonction. Il ne s agit donc plus d estimer chacun d eux mais les paramètres de cette fonction, ainsi le problème voit sa dimension réduite. Mathématiquement qu en est-il? Procédons par étapes : Tout d abord, une régression linéaire : Y t = α + βx t + ε t, où Y t est notre variable d intérêt, X t la variable dépendante, ε t les résidus de la modélisation (un bruit blanc), et α et β sont les paramètres de régression à estimer. X t n est cependant pas cadencé à la même fréquence que Y t (e.g. mensuel vs. trimestriel), on introduit donc notre fonction 2 midas pondérant les K dernières données explicatives haute fréquence telle que : Y t = α + βmidas K (θ)x κ t + ε t (1) κ définit la fréquence de la covariable X κ t, e.g. κ = 1/3 pour une variable mensuelle. Le paramètre θ décrit la forme de la fonction de poids midas. 2. Il s agit précisément d un polynôme fonctionnel. 5
La fonction midas définit les pondérations nécessaires à l agrégation temporelle et ainsi au mélange de fréquences. Les spécifications de celle-ci sont les suivantes : L est l opérateur retard qui dans la configuration présente fait correspondre à la variable haute fréquence les K poids aux K dernières données de la variable X t, e.g. lorsque κ = 1/3 et k = 2, L ( k 1)κ X t = X ( t 1/3), i.e. chiffre du mois précédent. Au delà de la formulation mathématique, il faut comprendre que la fonction de poids f est l élément essentiel de la méthodologie MIDAS, et à ce titre elle a fait l objet de nombreux travaux (notamment Ghysels et al. (2007)). On remarque par ailleurs que l expression précédente est en fait une moyenne pondérée selon la significativité des données, et dont la somme des poids est égale à 1. Cette fonction permet donc d uniformiser la fréquence d étude de manière beaucoup plus performante que par une moyenne simple. Nous utiliserons dans cette étude une fonction Beta retardée restreinte, ( f K (k, θ) = θ 1 k ) θ 1, (2) K qui ne dépend que d un paramètre θ et apparait comme strictement décroissante, pour tout θ > 1. Récemment, Foroni and Marcellino (2012) ont apporté une contribution intéressante à la littérature en introduisant la notion unrestricted-midas. L un de nos projets de recherche doctorale reprend ces travaux et propose de les étendre en considérant un modèle pour ces séries haute fréquence qui conditionne l agrégation temporelle et la prévision. Envisageons maintenant, le modèle de régression MIDAS que nous venons de décrire, pour la prévision ; il convient donc de définir dans un premier temps la portée de cette prévision. Lorsque par exemple début février, on souhaite prévoir la croissance du second trimestre (qui se finit fin juin), il s agit d une prévision à un horizon de 5 mois (h=5/3 en trimestre) à partir des données disponibles fin janvier. En conservant les mêmes notations, l équation faisant correspondre à un ensemble d information contemporaine une prédiction à l horizon temporel h est la suivante : Y t+h t = α (h) + β (h) midas M (θ (h) ) X κ t (3) La variable Y ( t + h t) correspond à une prévision de Y à t + h, c est à dire à l horizon h, en ne connaissant que l information jusqu à t. De la même manière que dans un modèle de régression standard, l élément α constitue en fait la moyenne de long terme de notre variable d intérêt Y. Le coefficient β mesure et conditionne l importance de la variable explicative dans le modèle. Ces paramètres de régression {α (h), β (h), θ (h) } h sont 6
dépendants de l horizon de prévision, et pourront donc voir leur valeur changée. Ils sont donc estimés pour chaque h, par une méthode d optimisation adaptée (également objet de nos recherches). Comme nous l avions évoqué dans la partie 2, les variables explicatives Xt κ que nous ferons intervenir dans l étude empirique qui suit, sont issues d une analyse en composantes principales des données réelles et financières. 3 Étude empirique 3.1 Cadre de l expérience La période considérée dans cette étude intervient à la suite de la crise financière 2008-2009. Cette période dont il fut espéré qu elle soit celle de la reprise économique après la récession vit finalement poindre une nouvelle crise européenne. Le sauvetage de la Grèce, la création de différents mécanismes européens (FESF puis MES), les aides financières dispensées aux pays en difficultés en contrepartie de lourds plans de rigueur, le pacte de stabilité renforcé, l usage de politiques monétaires non conventionnelles par la Banque Centrale Européenne : en Europe les évènements s enchainèrent et la croissance, bien que redevenue positive mi-2009, resta faible et très inégale jusqu à 2012. C est précisément sur cette période 2010-2012 que nous évaluerons notre méthodologie à partir des données des trois plus grandes économies européennes : l Allemagne, la France, et le Royaume-Uni. Pour cet exercice de prévision, trois modèles reposant sur une méthodologie MIDAS sont envisagés ; ils font intervenir successivement des variables réelles mensuelles, et financières journalières et nous permettront ainsi d identifier les facteurs anticipateurs de chacun de ces pays. La spécification de ces modèles est la suivante : Le premier modèle midas M ne considère que des variables mensuelles de l économie dite réelle (production, chômage, enquêtes, etc.) : PIB T t+h t = α + β midas M (θ) F M t (4) Le second modèle midas J se concentre sur les volatilités financières journalières (indices boursiers, taux de change,...) : PIB T t+h t = α + γ midas J (ω) F J t (5) 7
Enfin le troisième modèle midas MJ entend mélanger les deux précédents en incorporant indicateurs économiques réels mensuels et volatilités financières journalières tel que : PIB T t+h t = α + β midas M (θ)f M t + γ midas J (ω) F J t (6) Le corpus de variables que nous utilisons est en Annexe A. Il faut également noter que la dimension des bases de données mensuelles ou journalières est au préalable réduite à partir d une méthode factorielle d analyse en composantes principales. Cette modélisation dite FAMIDAS (Factor Augmented MIDAS) a été proposée par Marcellino and Schumacher (2010). La nature temporelle est précisée en exposant de la variable 3 (e.g. Ft M est le facteur issu de la base de données réelles mensuelles construit par ACP qui représente l économie réelle, voir Annexe B). Enfin, il faut noter que les périodes d estimation et de prévisions sont définies respectivement du premier trimestre 1993 au quatrième de 2009 (68 trimestres), et du premier de 2010 au troisième de 2012 (11 trimestres). 3.2 Des résultats et des faits L évaluation des résultats passe par une mesure de la performance des trois modèles expérimentés. Il s agit donc d analyser leurs résidus : différences entre nos estimations et les observations réalisées. Nous considérons l erreur de prévision moyenne Erreurs 4 sur les 11 trimestres d évaluation, dont la formule mathématique est la suivante : Erreurs h = 1 11 ( 2 PIB T t+i+h t+i PIB T 11 t+i+h) (7) i=1 Ceux-ci sont présentés en fonction de l horizon de prévision (en trimestre) et du modèle considéré dans les figures suivantes correspondant aux économies allemande (Figure 1), française (Figure 2) et britannique (Figure 3). Les tableaux des résultats sont disponibles en Annexe C. Quels enseignements pouvons-nous tirer de ces résultats? Ils sont multiples. D un point de vue quantitatif tout d abord, les résultats pour la France apparaissent globalement comme étant les meilleurs par rapport aux deux autres pays : les RMSFE étant inférieurs à 0,3 dès l horizon de prévision de 5 mois, alors que dans le même temps, les résultats pour l Allemagne et le Royaume-Uni peinent à descendre sous 0,6. La croissance en France présente intrinsèquement une faible amplitude (portée par une consommation relativement immuable), et semble être plus facilement envisagée par notre modèle. Cette relative stabilité dans les 3. T : trimestriel pour le P IB T t, M : mensuel, et J : journalier pour les facteurs explicatifs F M t et F J t. 4. Il s agit de l erreur de prévision quadratique moyenne (RMSFE : Root Mean Squared Forecast Error) 8
Figure 1 Résultats des prévisions de croissance allemande Figure 2 Résultats des prévisions de croissance française Figure 3 Résultats des prévisions de croissance britannique 9
phases récessives comme dans les périodes de sursaut économique et sa bonne estimation par de notre modèle s expliquent par le fait que la croissance française est en premier lieu guidée par sa moyenne de long terme, tendance générale de l économie, modélisée par le coefficient? dans nos équations. Nos résultats rejoignent le consensus de la littérature à ce sujet (citons notamment Barhoumi et al. (2012)). Au delà de ces considérations, deux faits d anticipation sont flagrants à la vue des figures précédentes. On remarque tout d abord que les meilleures prévisions de croissance allemande et française sont données par les indicateurs réels. En effet, pour ces deux économies, le modèle mixte midas MJ est le plus performant et semble guidé par le facteur réel, modèle midas M, pour les horizons courts (à partir de h=4/3 ie 4 mois avant la cible). Les prévisions du Royaume-Uni apparaissent au contraire comme étant particulièrement liées au facteur issu de la sphère financière. Les variables financières considérées dans le modèle midas J ont un gain prédictif avéré quelque soit l horizon de prévision. Ces résultats semblent en cohérence avec l analyse macroéconomique de structure financière de l économie britannique, et de base industrielle de la croissance allemande. On note enfin que la modélisation à fréquence multiple semble parfaitement correspondre à la problématique telle que nous l avons envisagée de prévision de la croissance économique à court terme. 4 Conclusion Cette courte étude expose le contexte et les enjeux de la prévision macroéconomique. Le choix des prédicteurs et le mélange des fréquences apparaissent comme les éléments essentiels de l estimation et la prévision de la croissance. La méthodologie MIDAS revêt dans ce cadre un intérêt certain par sa parcimonie et ses performances empiriques. L identification de facteur réel et financier a de plus permis de modéliser la nature et les caractéristiques propres de chacune des économies étudiées. Pour autant, il apparait que certains aspects notamment concernant l agrégation temporelle en prévision et les méthodes d estimation, peuvent être sujets à de plus amples études et recherches que nous nous attacherons à réaliser dans le cadre de nos travaux doctoraux. 10
Références Banerjee, A. and Marcellino, M. (2006). Are there any reliable leading indicators for US inflation and GDP growth? International Journal of Forecasting, 22(1) :137 151. Barhoumi, K., Darné, O., Ferrara, L., and Pluyaud, B. (2012). Monthly GDP orecasting using bridge models : Application for the French economy. Bulletin of Economic Research, forthcomin. Chauvet, M., Senyuz, Z., and Yoldas, E. (2012). What does financial volatility tell us about macroeconomic fluctuations? Working paper, Federal Reserve Board. Claessens, S., Kose, M. A., and Terrones, M. E. (2012). How do business and financial cycles interact? Journal of International Economics, 87(1) :178 190. Ferrara, L. and Marsilli, C. (2013). Financial variables as leading indicators of GDP growth : Evidence from a MIDAS approach during the Great Recession. Applied Economics Letters, 20(3) :233 237. Ferrara, L., Marsilli, C., and Ortega, J.-P. (2013). Forecasting US growth during the Great Recession : Is the financial volatility the missing ingredient? Foroni, C. and Marcellino, M. (2012). A comparison of mixed approaches for modelling euro area macroeconomic variables. Technical report, EUI. Ghysels, E., Santa-clara, P., and Valkanov, R. (2004). The MIDAS touch : Mixed data sampling regression models. Ghysels, E., Sinko, A., and Valkanov, R. (2007). MIDAS regressions : Further results and new directions. Econometric Reviews, 26(1) :53 90. Marcellino, M. and Schumacher, C. (2010). Factor MIDAS for nowcasting and forecasting with ragged-edge data : A model comparison for German GDP. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 72(4) :518 550. Tibshirani, R. (1996). Regression Shrinkage and Selection via the Lasso. Journal of the Royal Statistical Society, 58(1) :267 288. 11
A Corpus de variables utilisées dans la modélisation Variables réelles mensuelles : Production dans la construction (INSEE / DEStatis / Office for National Statistics) Inflation CPI (Banque de France / Deutsche Bundesbank / Bank of England) Immatriculations (OECD) Production industrielle manufacturière (INSEE / DEStatis / Office for National Statistics) Prêt au secteur privé résident (Banque de France / Deutsche Bundesbank / Bank of England) Indice de masse monétaire M2 (Banque de France / Deutsche Bundesbank / Bank of England) Enquête de conjoncture dans l industrie (Banque de France / IFO / CLI) Taux de chômage (Eurostat) Enquête de confiance : European Sentiment Indicator (Commission Européenne) Variables financières journalières envisagées par leur volatilité : Indice boursier national CAC40 / DAX30 / FTSE100 (Euronext Paris / Deutsche Boerse / FTSE) Taux interbancaire à 3mois EURIBOR / LIBOR (European Banking Federation / Datastream) Taux des obligations d État à 10ans (Banque de France / Deutsche Bundesbank / Bank of England) Indice boursier européen EuroStoxx50 (STOXX) Indice de prix des matières premières CRB (Commodity Research Bureau) Taux de change EUR-USD / GBP-USD (Reuters) B Analyse en Composantes Principales L analyse en composantes principales est une méthode d analyse de données permettant de réduire la dimension de l ensemble de données. On considère que notre matrice de variables explicatives X a une structure factorielle telle que : X τ = ΛF τ + η τ, où τ décrit la fréquence des données de X τ (journalières ou mensuelles dans notre étude), la matrice Λ contient les poids, composantes communes aux séries de X τ, les résidus η τ sont l élément idiosyncratique, part de X τ non expliquées par F τ, enfin F τ est le vecteur des n facteurs estimés par analyse en composantes principales. Nous ne considérerons dans notre étude qu un seul facteur étant donné la taille de nos bases de données. Celuici constituera la variable explicative des différents modèles proposés résumant l ensemble de l information des variables économiques considérées. 12
C Résultats Tableaux des erreurs (RMSFE) pour les trois modèles midas appliqués aux trois pays considérés. DE h=0/3 h=1/3 h=2/3 h=1 h=4/3 h=5/3 h=2 h=7/3 h=8/3 midas M 0.50 0.44 0.41 0.34 0.51 0.60 0.59 0.66 0.59 midas J 0.75 0.72 0.77 0.82 0.73 0.72 0.73 0.71 0.71 midas MJ 0.42 0.36 0.32 0.33 0.52 0.59 0.60 0.71 0.59 Table 1 RMSFE de prévision sur la croissance du PIB allemand FR h=0/3 h=1/3 h=2/3 h=1 h=4/3 h=5/3 h=2 h=7/3 h=8/3 midas M 0.20 0.21 0.20 0.26 0.26 0.29 0.27 0.33 0.33 midas J 0.29 0.28 0.30 0.36 0.27 0.28 0.30 0.31 0.30 midas MJ 0.19 0.21 0.19 0.29 0.24 0.27 0.28 0.33 0.32 Table 2 RMSFE de prévision sur la croissance du PIB français UK h=0/3 h=1/3 h=2/3 h=1 h=4/3 h=5/3 h=2 h=7/3 h=8/3 midas M 0.63 0.61 0.59 0.62 0.65 0.62 0.58 0.63 0.58 midas J 0.55 0.55 0.53 0.54 0.59 0.54 0.49 0.60 0.60 midas MJ 0.63 0.60 0.55 0.60 0.63 0.60 0.52 0.62 0.57 Table 3 RMSFE de prévision sur la croissance du PIB britannique 13