Algèbre Chapitre I : Nombres - Ensembles et opérations I. Rappels du collège - règles de calcul 1. Notions d'opposé et d'inverse Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est égale à 0. Exercice : Donner l'opposé des nombres suivants : 4 ; 2 ; 1,5 ; 1 10 ; 0 Deux nombres sont inverses lorsque leur produit est égal à 1. Exercice : donner les inverses de 3 ; 2 7 ; 5 ; 0 2. Carré d'un nombre Le carré d'un nombre est le résultat du produit de ce nombre par lui-même. a 2 = a a Exercice : calculer le carré de 3 ; 5 ; 1 ; 0 Remarque 1 : Un carré est toujours positif. Remarque 2 : Ne pas confondre x 2 et ( x) 2 En effet, x 2 = x x et ( x) 2 = ( x) ( x) = x 2. x 2 et ( x) 2 sont donc opposés 1
3. Identités remarquables......... Exercice : Développer (x + 3) 2 =... Développer (2x 7)(7 + 2x) =... Factoriser 4x 2 12x + 9 =... 4. Puissance d'un nombre Une puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre avec lui-même. a n = a a a a n facteurs Syntaxe : a n se lit "a exposant n". On dit que "a est élevé à la puissance n". Propriétés a 0 = 1 a 1 = a a m a n = a m+n a n = 1 a n 5. Racines carrées Soit a un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif b tel que b 2 = a. 2
Propriétés Soient a et b deux nombres positifs. a b = a b a a = a ( a)² = a² = a a b = a b Exercice : Simplifier l'écriture de 20... Simplifier l'écriture de 2 14... Simplifier l'écriture de 3 2 + 5 2... II. Les ensembles de nombres (rappels du collège et nouveautés) 1. Les entiers naturels On appelle entier naturel tout nombre entier positif ou nul (ne comportant pas de partie décimale). C'est l'ensemble des nombres "sans virgule" et positifs (ou sans signe) supérieurs ou égaux à 0. Notations : o L'ensemble des entiers naturels est noté N. o N = {0; 1; 2; 3; } o 12 N "12 appartient à l'ensemble des entiers naturels" o 2 N " 2 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels" o 3,5 N "3.5 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels" Il permet notamment de dénombrer une collection d'objets, de les compter, d'en estimer la quantité, en les considérant tous comme équivalents. Exemple : dans un panier de pommes, on peut estimer la quantité de pommes présentes, sans les distinguer. On dénombrera 1 pomme, 2 pommes, 3 pommes, etc. On notera que l'ensemble des entiers naturels est infini, il comporte une infinité d'éléments. 2. Les entiers relatifs On appelle entier relatif tout nombre entier positif ou négatif. 3
Notations : o L'ensemble des entiers relatifs est noté Z. o Z = {0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; } o 12 Z "12 appartient à l'ensemble des entiers relatifs" o 2 Z " 2 appartient à l'ensemble des entiers relatifs" o 3,5 Z "3.5 n'appartient pas à l'ensemble des entiers relatifs" On notera que l'ensemble des entiers relatifs est infini, il comporte une infinité d'éléments. Soit a un entier relatif. Le nombre b tel que a + b = 0 est appelé l'opposé de a. Exemple : le nombre 2 est l'opposé de 2 car 2 + 2 = 0 Propriétés - Tout entier relatif possède un opposé. - l'opposé d'un entier relatif est un entier relatif - L'opposé de 0 est 0 3. Les rationnels Un nombre est dit rationnel s'il peut être exprimé sous la forme d'un quotient de deux entiers relatifs dont le dénominateur n'et pas nul. Notation : L'ensemble des rationnels est noté Q. On notera que l'ensemble des rationnels est infini, il comporte une infinité d'éléments. Exemples de rationnels 3 5 3 11 0 2 7 5 1,6 4
4. Les réels Tous les nombres ne peuvent pas être exprimés sous forme d'un quotient d'entiers relatifs avec dénominateur non nul. On a par exemple vu au collège des nombres particuliers tels que π ou encore 2. Ces nombres ne sont pas des rationnels. Ce sont des irrationnels. Démonstration de l'irrationalité de 2 : Nous allons montrer que 2 ne peut pas s'écrire sous la forme a b Nous allons utiliser une propriété liant un entier naturel et son carré : "Un entier et son carré ont même parité." Ci-dessous la preuve : Cas "x est pair" Soit x est un entier pair. Cela signifie qu'il existe un entier y tel que x = 2y. Ainsi, x 2 = 4y 2 = 2 (2y 2 ). Ce qui implique que x 2 est pair. On a montré que a pair a 2 pair Cas "x est impair" Soit x est un entier impair Cela signifie qu'il existe un entier y tel que x = 2y + 1. Ainsi, x 2 = 4y 2 + 4y + 1. Ce qui implique que x 2 est impair. On a montré que a impair a 2 impair Réciproques : La contraposée de a impair a 2 impair est a 2 pair a pair. De même, la contraposée de a pair a 2 pair est a 2 impair a impair. On a donc démontré que "Un entier et son carré ont même parité." Démontrons l'irrationalité de 2 par l'absurde. Supposons que 2 est un rationnel. Il existe donc deux entiers a et b tels que 2 = a où a est une fraction irréductible et b 0. b b 2 = a b 2 = a2 b 2 a2 = 2b 2 a 2 est donc pair, et donc, comme on l'a vu plus haut, a est pair et donc, il existe un entier a tel que a = 2a. Autrement dit, a 2 = 2b 2 4a 2 = 2b 2 2a 2 = b 2. On a montré ainsi que b 2 était pair et que donc b l'était aussi. Récapitulons : On a supposé 2 rationnel. 2 = a avec a irréductible. On a déduit de tout cela que a était b b forcément pair et que b était forcément pair aussi. Par conséquent, a n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ. 2 n'est b donc pas un rationnel. L'ensemble des réels est l'ensemble des nombres que l'on peut placer sur une droite graduée. Il comprend les rationnels et les irrationnels. Notation : L'ensemble des réels est noté R. On notera que l'ensemble des réels est infini, il comporte une infinité d'éléments. 5
5. Schéma d'inclusion des différents ensembles 6. Des ensembles particuliers : o Les nombres premiers Un nombre entier est dit premier s il n a pour diviseur que 1 et lui-même.... o Les nombres décimaux Un nombre décimal a est un nombre que l on peut écrire sous la forme a = b 10 n avec b entier relatif et n entier naturel n. Autrement dit, un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité, c'est-à-dire s'écrivant avec une quantité quelconque, mais finie, de chiffres derrière la virgule et que l on peut donc écrire sous la forme d un entier relatif divisé par une puissance de 10. 6
III. Calculs sur les nombres résolutions d équations 1. Règles opératoires sur les réels Les règles de calculs apprises sur les ensembles de nombres découverts au collège restent valables dans R : - Priorités des multiplications (et divisions) sur les additions (et soustractions) - Priorités des expressions entre parenthèses sur les opérations à l extérieur de ces parenthèses - Division par zéro interdite - Tout réel a un opposé - Les identités remarquables sont toujours vérifiées - Si un produit est nul, l un des facteurs au moins est nul - Le carré d un réel est toujours positif - etc. 2. Résolution d équations simples dans R Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues, généralement notées x, y, z, etc. Principe Résoudre une équation consiste à déterminer par le calcul l ensembles des valeurs que peut (peuvent) prendre l inconnue (les inconnues) pour que l égalité soit vérifiée. La réponse est généralement donnée sous la forme S = { on liste ici toutes les solutions } On lira «L ensemble des solutions S est» 7