Phénomènes de dispersion

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 Phénomènes de dispersion I Propagation dans un pavillon eponentiel I.1 Description et modélisation du problème On étudie la propagation d une onde acoustique dans un fluide à l intérieur d un cornet à symétrie de révolution et de section d aire Spq lentement variable. Au repos, le fluide est à la pression p et a une masse volumique ρ. On néglige les effets de la pesanteur. La compressibilité isentropique du fluide est noté χ S. l onde sonore est décrite par une surpression p 1 p, tq et une vitesse v 1 p, tq v 1 p, tq u. la masse volumique est ρ ρ 1 p, tq. On se place dans l approimation adiabatique. Dans ce cas, l équation vérifiée par la surpression est la suivante (voir e III du TD ondes sonores) : I. Onde pseudo-progressive harmonique B p 1 ρ χ S Bt B p 1 B 1 Bp 1 a B Si l onde est plane harmonique on peut l écrire en notation complee p 1 p 1 eppipt kqq, donc On a donc ce qui donne B p 1 Bt p 1, B p 1 B k p 1 et Bp 1 B ikp 1 ρ χ S p 1 k 1 p 1 a ikp 1 ρ χ S k ik a k ik a ρ χ S k est alors à priori complee, donc k k 1 ik avec k 1 et k réels, ce qui donne comme solution donc On a par ailleurs p 1 p 1 eppipt kqq p 1 eppipt pk 1 ik qqq p 1 p 1 eppipt k 1 qq epp k q pk 1 ik q ipk 1 ik q a ρ χ S k 1 k ik 1 ik k 1 k a a ρ χ S En identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque membre, on a " k 1 k k 1 a k 1 k k a ρ χ S 1

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 I.3 Dispersion-absorption Si k 1, alors k 1{a et k 1 ρ χ S 1 4a ce qui n est possible que si c{a avec c ρ χ S. On a donc une solution comportant un terme d absorption k et un terme de propagation eppipt k 1 qq pour lequel la vitesse de phase v ϕ k 1 dépend de la fréquence. Cette dépendance caractérise le phénomène de dispersion dont nous étudierons les effets dans la partie suivante. I.4 Conclusion Une équation de propagation linéaire a pour solution une superposition d ondes planes pseudoprogressives harmoniques de la forme yp, tq A eppipt kqq où k k 1 pq ik pq et donc yp, tq A eppipt k 1 qq epp k q qui comporte un terme de propagation et un terme d absorption. La propagation se fait avec une vitesse de phase v ϕ {k qui dépend à priori de. II Propagation dispersive d une onde non harmonique II.1 Dans cette section, on négligera le phénomène d absorption. Limites de la description en OPPH Une onde physique est nécessairement limitée dans le temps et dans l espace, ce qui n est pas le cas d une onde plane progressive harmonique. La notion de paquet d onde permet de rendre compte des limitations temporelle et spatiale de l onde. II. Superposition de deu OPPH On commence par étudier la superposition de deu OPPH de même amplitude, non déphasées, de pulsations proches 1 et et de même direction de propagation, dans le sens des croissants. On considère que le milieu est peu dispersif ce qui nous permettra de faire des développements au premier ordre. On note donc 1 et δ 1 avec δ!. On note les nombre d onde k kp q et # k1 k δ kp q δ k δ δ k k δ δ kp q k L onde s écrit alors yp, tq y cosp 1 t k 1 q En utilisant la relation cospaq cospbq cosp a b 1 t k 1 t k yp, tq y cos y cosp t k q a b q cosp q, on obtient cos 1 t k 1 p t k q

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 soit en développant t pk 1 k q δt pk1 k q yp, tq y cos cos En utilisant les développements limités au premier ordre de k 1 et k k 1 k k ; k 1 k δ on obtient que l on réécrit δt pδ yp, tq y cos p t k q cos q yp, tq y cos t k δ cos t Le premier terme représente une propagation vers les croissants, avec une pulsation et une vitesse de propagation k. le second terme représente une propagation vers les croissants, avec une pulsation δ{ et une vitesse de propagation k. L onde se présente donc comme un signal sinusoïdal à haute fréquence modulé par un signal sinusoïdal à basse fréquence δ{. Le signal à haute fréquence se propage à la vitesse k, le signal à basse fréquence à la vitesse k. yp, tq Remarque On peut retrouver ce résultat en utilisant les notations complees et en faisant apparaître les termes en 1{ dans les eponentielles complees. En effet 1 cospaq cospbq reppiaq epp iaq eppibq epp ibqs 1 reppia{ ia{ ib{ ib{q epp ia{ ia{ ib{ ib{q eppib{ ib{ ia{ ia{q epp ib{ ib{ ia{ ia{qs 1 reppia{ ib{q eppia{ ib{q epp ia{ ib{q epp ia{ ib{q eppib{ ia{q eppib{ ia{q epp ib{ ia{q epp ib{ ia{qs 1 1 reppia{ ib{qpeppia{ ib{q eppib{ ia{qq epp ia{ ib{qpepp ia{ ib{q epp ib{ ia{qqs reppia{ ib{qp cospa{ b{qq epp ia{ ib{qp cospa{ b{qqs cos a b cos a b 3

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 II.3 Paquet d onde yp, tq Un paquet d onde est une superposition d un nombre infini d OPPH dont les pulsations sont comprises dans l intervalle r, s. Le caractère continu de l intervalle de pulsation transforme l opération de sommation en intégrale et fait apparaitre la version continue de la série de Fourier, la transformée de Fourier : yp, tq? 1» 8 π 8 ŷpq eppipt kqq 1? π» ŷpq eppipt kqq où le terme ŷpq est mathématiquement la transformée de Fourier de yp, tq et est appelé densité spectrale d amplitude. ŷpq dépend du processus d émission et caractérise le caractère plus ou moins monochromatique de la source (donc sa cohérence temporelle!). En supposant la largeur spectrale petite et le milieu faiblement dispersif, on peut linéariser la relation de dispersion au voisinage de kpq kp q p q k On peut alors réécrire le terme eponentiel de l intégrale eppipt kqq ep i t p q k p q ep i t t t k p q eppip t k qq ep ipp qt p q eppip t k qq ep ip q t Le terme eppip t k qq peut être sorti de l intégrale puisqu il ne dépend pas de, d où yp, tq? 1» 8 eppip t k qq ŷ ep ip q t π où on peut mettre l intégrale sous la forme On a alors» 8 8 ŷ ep ip q t 8 F t yp, tq? 1 eppip t k qqf t π k k 4

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 II.4 Vitesse de phase et vitesse de groupe II.5 On retrouve le terme en eponentielle correspondant à une propagation à la vitesse de phase v ϕ k La fonction F correspond à l enveloppe, dont la vitesse, qui correspond à la vitesse de déplacement du paquet d onde, est appelée vitesse de groupe Étalement du paquet d onde v g Si on décompose le paquet d onde en OPPH, chacune va se propager à une vitesse donnée par la relation de dispersion. Il va donc y avoir déformation qui va donner un étalement du paquet d onde lors de la propagation. yp, tq III Propagation d une onde EM dans un plasma Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé composé d électrons et de cations que l on peut rencontrer par eemple dans la haute atmosphère (ionosphère et magnétosphère). Le vent solaire, flu de particules chargées émis par le Soleil peut aussi être considéré comme un plasma. Ces deu types de plasmas sont des plasmas dilués. Des plasmas denses constituent le Soleil et le cœur des epériences de fusion nucléaires basées sur la technologie tokamak. De manière plus proche de nous, les lampes dites au néon et les écrans plasma sont basé sur cet état de la matière appelé parfois quatrième état. III.1 Modélisation du plasma Dans le cadre du programme, on se limitera à un modèle simple du plasma : on considère un milieu dilué dans lequel on néglige les interactions entre particules chargées par rapport à l interaction avec le champ électromagnétique, les ions sont considérés comme immobiles, et donc ne participent pas à la conductivité du plasma, le plasma est constitué d ions de masse M, de densité de particules n i et de charge e, et d électrons de masse m, de densité de particules n e et de charge e. En l absence d onde, la charge totale est nulle et le milieu est localement neutre, ce qui impose n i n e n, On considère la propagation d une onde plane pseudo-harmonique transversale dans le plasma, le mouvement des électrons est décrit par le champ de vitesse eulérien v e pm, tq. 5

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 III. Propagation d une onde plane On considère une onde plane se propageant vers les croissants, de type pseudo-harmonique ÝÑ ÝÑ E pm, tq E eppipt kqq où k peut être complee et ÝÑ E e (transversalité). Conductivité du plasma On peut considérer dans le cas d électrons non relativistes que la force de Lorentz se réduit à ÝÑ F ee. On peut donc écrire le PFD pour une particule fluide de masse m m D v e Dt eýñ E La force de Lorentz est dirigée perpendiculairement à la propagation. Les électrons initialement au repos ont donc un mouvement colinéaire au champ électrique. Par ailleurs, le champ ÝÑ E est invariant par translation sur e y et e z, donc v e pm, tq v y p, tq e y v z p, tq e z ce qui fait que le terme de dérivée convective est nul p v e ÝÝÑ gradq v e v y p, tq B v ep, tq By v z p, tq B v ep, tq Bz On peut donc réécrire le PFD m B v e Bt eýñ E En notation complee, la vitesse dépend du temps de manière harmonique, donc im v e e ÝÑ E Le vecteur densité de courant est donné par j n e v e, donc ce qui permet d obtenir la conductivité complee j i n e ÝÑ E m γ i n e m Le fait que la conductivité est complee entraine le fait que j et ÝÑ E sont en quadrature, ce qui implique que la puissance cédée au charges j ÝÑ E y est nulle. Relation de dispersion i ÝÑ B soit L équation de Mawell Faraday s écrit en notation complee ik e ^ ÝÑ E k e ^ ÝÑ E ÝÑ B La relation de Mawell-Ampère s écrit ik e ^ ÝÑ B i µ n e ÝÑ E m i ÝÑ E c 6

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 soit k e ^ ÝÑ µ n e B m Des équations précédentes, on déduit c ÝÑE µ n e m c ÝÑE k e ^ k e ^ ÝÑ E k e ^ p e ^ pα e y β e z qeq ce qui donne e ^ p e ^ pα e y β e z qeq e ^ ppα e z β e y qeq p α e y β e z qe ÝÑ E donc µ n e m c ÝÑE k ÝÑ E On en déduit la relation de dispersion k c µ n e m On peut réécrire cette relation de dispersion k c µ n e m c ne ε m c p c qui fait apparaitre une grandeur homogène à une pulsation, la pulsation plasma (ou pulsation de Langmuir) p n e ε m III.3 Relation de dispersion k p c Pulsation plasma (ou pulsation de Langmuir) p n e ε m Propagation, dispersion et absorption Propagation La propagation ne peut se faire que si k est réel, c est à dire si k. Ceci n est possible que si p. dans le cas contraire, on observe dans le plasma une onde évanescente et une onde arrivant sur le plasma est réfléchie (voir chapitre suivant). La pulsation plasma agit donc comme la pulsation de coupure d un filtre passe haut. Ce caractère est mis à profit dans la propagation des ondes radios dites grandes ondes. Dispersion effet Dans le cas ou la propagation est possible, on peut alors calculer la vitesse de phase. En k p c donc k 1 c p 7

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 donc v ϕ k c b 1 p et la vitesse de groupe que l on peut calculer de deu manières donc d où k c p c k k c ce qui donne la relation v g c v ϕ b p c v g c et donc d où ce qui donne v g c k c b k c p c c k b k b p c b p c p c p c c p c k 1 g f c p c e p c c Finalement c v g c 1 p On constate que v ϕ est supérieure à c ce qui ne contredit pas la relativité restreinte dans la mesure où la phase d une onde ne transporte pas d information. L information (et l énergie) de l onde sont transportées à la vitesse v g qui elle est bien inférieure à c. Absorption Dans le cas où la propagation est possible, k est réel, il n y a donc pas d absorption, ce qui correspond au fait que la puissance cédée au charges est nulle en moyenne. Cette situation découle de la non prise en compte des interactions internes au plasma. IV Réfleion d une onde EM à la séparation de diélectriques IV.1 Indice d un milieu On considère un milieu dans lequel se propage une onde plane pseudo-progressive harmonique, caractérisée par un nombre d onde complee k k 1 ik. On définit l indice complee n d un milieu par k n c où c est la vitesse de propagation de l onde dans le vide. On peut décomposer l indice en partie réelle et partie complee n n 1 in n 1 k 1 c 8

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 est appelé indice de dispersion. Dans la mesure où v ϕ {k 1, on retrouve pour l indice de dispersion n 1 c v ϕ soit la relation donnant l indice de réfraction d un milieu transparent, la vitesse de phase correspondant à la vitesse de propagation d une onde monochromatique. La partie complee de l indice n k c est appelé indice d absorption. Si n, le milieu est transparent. IV. Position du problème On considère deu milieu transparents d indices n 1 ( ) et n ( ) réels, séparés par un plan Σ en, appelé dioptre. Une onde plane progressive harmonique incidente se propage dans le milieu 1 selon la direction e i. Elle donne naissance à une onde transmise de direction e t et à une onde réfléchie de direction e r. les deu milieu sont considérés comme homogènes et isotropes, isolants et non chargés. Champ électrique L onde incidente, de vecteur d onde k i n 1 c e i a pour epression complee ÝÑ E i pm, tq ÝÑ E i eppipt k i ÝÝÑ OMqq L onde réfléchie, de vecteur d onde k r n 1 c e r a pour epression complee ÝÑ E r pm, tq ÝÑ E r eppipt k r ÝÝÑ OMqq L onde transmise, de vecteur d onde k t n c e t a pour epression complee ÝÑ E t pm, tq ÝÑ E t eppipt k t ÝÝÑ OMqq Le champ électrique total s écrit donc " ÝÑE ÝÑ E pm, tq 1 pm, tq ÝÑ E pm, tq ÝÑ ÝÑ E i pm, tq E r pm, tq ÝÑ E t pm, tq Champ magnétique Les champs magnétiques associés à chaque onde peuvent se calculer avec la formule pour les OPPH ÝÑ ÝÑ k ^ E B n c u ^ ÝÑ E ce qui donne les epressions des champs magnétiques ÝÑ B i pm, tq n 1 c e i ^ ÝÑ E i pm, tq ÝÑ B r pm, tq n 1 c e r ^ ÝÑ E r pm, tq ÝÑ B t pm, tq n c e t ^ ÝÑ E t pm, tq Le champ magnétique total s écrit donc " ÝÑB ÝÑ B pm, tq 1 pm, tq ÝÑ B pm, tq ÝÑ ÝÑ B i pm, tq B r pm, tq ÝÑ B t pm, tq 9

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 IV.3 Conditions au limites La composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée de la surface Σ ÝÑ E {{ pi, tq ÝÑ E {{1 pi, tq @ I P Σ Compte tenu de l absence de courant surfacique (matériau isolant), on peut aussi écrire ÝÑ B pi, tq ÝÑ B 1 pi, tq @ I P Σ On peut réécrire la continuité du champ électrique sous la forme donc ÝÑ E {{i eppipt k i ÝÝÑ OMqq ÝÑ E {{i epp i k i ÝÝÑ OMq soit en divisant par epp i k i ÝÝÑ OMq ÝÑ E {{i ÝÑ E {{r eppipt k r ÝÝÑ OMqq ÝÑ E {{t eppipt k t ÝÝÑ OMqq ÝÑ E {{r epp i k r ÝÝÑ OMq ÝÑ E {{t epp i k t ÝÝÑ OMq ÝÑ E {{r epp ip k r k i q ÝÝÑ OMq ÝÑ E {{t epp ip k t k i q ÝÝÑ OMq Pour que cette relation soit vraie @ M, il faut que les produits scalaires suivants soient nuls Comme M P Σ, OM est sur la surface Σ et donc IV.4 Lois de Descartes p k r k i q ÝÝÑ OM et p k t k i q ÝÝÑ OM kr k i a n 1 et kt k i b n 1 Première loi de Descartes Le plan d incidence est le plan défini par les vecteurs k i et n 1. Les vecteurs kr et k t sont donc compris dans le plan d incidence. Deuième loi de Descartes milieu 1 milieu r kr kt i i 1 ki 1

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 En projetant dans le plan du dioptre la relation précédente, r, i 1 et i Comme k r k i, alors k r sinprq k i sinpi 1 q et k t sinpi q k i sinpi 1 q sinprq sinpi 1 q donc i 1 r ce qui donne la loi de Descartes pour la réfleion. Par ailleurs, k t sinpi q k i sinpi 1 q ñ n c sinpi q n 1 c sinpi 1q ce qui permet de retrouver la deuième loi de Descartes pour la réfraction n 1 sin i 1 n sin i Remarques Dans le cas d un dioptre non plan, les mêmes résultats sont obtenus en utilisant le plan tangent au dioptre au point d incidence, on a supposé que les pulsations étaient les même pour tous les champs, mais cette condition n est pas nécessaire puisqu on peut la démontrer au cours de la démonstration des lois de Descartes. IV.5 Coefficients de réfleion et de transmission en amplitude sous incidence normale Relation de passage On considère l onde arrivant en incidence normale au point I, donc i 1 i r. Le champ électrique n a pas de composante normale, le champ total est donc continu à la traversée de la surface ÝÑ ÝÑ E i pi, tq E r pi, tq ÝÑ E t pi, tq De même, en l absence de courant surfacique, la relation de passage du champ magnétique est ÝÑ B i pi, tq ÝÑ B r pi, tq ÝÑ B t pi, tq L onde est en incidence normale ce qui permet d avoir les directions de propagation e i e, e r e et e t e. On peut alors réécrire la relation de passage pour le champ magnétique n 1 c e ^ ÝÑ E i pi, tq n 1 c p e q ^ ÝÑ E r pi, tq n c e ^ ÝÑ E t pi, tq Pour obtenir une relation ne faisant plus intervenir de produit vectoriel, on multiplie vectoriellement par e la relation n 1 e ^ p e ^ ÝÑ E i pi, tqq n 1 e ^ p e ^ ÝÑ E r pi, tqq n e ^ p e ^ ÝÑ E t pi, tqq et on utilise la formule du double produit vectoriel ÝÑ A ^ p ÝÑ B ^ ÝÑ C q p ÝÑ A ÝÑ C q ÝÑ B p ÝÑ A ÝÑ B q ÝÑ C. Ici, les ondes étant transverses, les termes e ÝÑ E i pi, tq, e ÝÑ E r pi, tq et e ÝÑ E t pi, tq sont nuls. On a donc n 1 e ^ p e ^ ÝÑ E i pi, tqq n 1 p e ÝÑ E i pi, tqq e n 1 p e e q ÝÑ E i pi, tqq n 1 ÝÑ E i pi, tq ce qui nous donne la relation de passage pour le champ magnétique n 1 ÝÑ E i pi, tq n 1 ÝÑ E r pi, tq n ÝÑ E t pi, tq 11

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 Remarque La multiplication vectorielle et l utilisation du double produit vectoriel nous a permis de simplifier par e ^. Coefficient de réfleion et de transmission Pour obtenir r, il faut éliminer ÝÑ E t pi, tq, ce qui donne n 1 ÝÑ E i pi, tq n 1 ÝÑ E r pi, tq n p ÝÑ E i pi, tq ÝÑ E r pi, tqq soit et donc p n 1 n q ÝÑ E i pi, tq p n n 1 q ÝÑ E r pi, tqq ÝÑ E r pi, tqq n 1 n ÝÑ E n n i pi, tq n 1 n ÝÑ E 1 n i pi, tq avec le coefficient de réfleion pour le champ électrique r n 1 n n 1 n De la même manière, on élimine ÝÑ E r pi, tq pour avoir la coefficient de transmission du champ électrique, ce qui donne ÝÑ E t pi, tqq n 1 ÝÑ E n 1 n i pi, tq avec le coefficient de transmission pour le champ électrique t n 1 n 1 n Remarques Le coefficient de transmission est toujours positif : le champ transmis est en phase avec le champ incident le coefficient de réfleion peut être : positif si n 1 n, il n y a alors pas de déphasage du champ réfléchi par rapport au champ incident négatif si n 1 n, il y a alors déphasage de π du champ réfléchi par rapport au champ incident (opposition de phase) on peut calculer les coefficients de réfleion et de transmission pour le champ magnétique IV.6 Coefficients de réfleion et de transmission en intensité sous incidence normale Pour une direction de propagation u n 1 ÝÑ ÝÑ ÝÑ ÝÑ E ^ B E ^ p n Π c u ^ ÝÑ E q µ µ On utilise l identité vectorielle ÝÑ A ^ p ÝÑ B ^ ÝÑ C q p ÝÑ A ÝÑ C q ÝÑ B p ÝÑ A ÝÑ B q ÝÑ C on obtient ÝÑ Π n µ c pýñ E ÝÑ E q u p ÝÑ E uq ÝÑ E Le deuième terme est nul puisque l onde est transversale, on a donc ÝÑ Π n µ c E u n µ c E cos pt kq u 1

PSI Moissan 1 Phénomènes de dispersion Février 13 En valeur moyenne, on obtient donc ÝÑ Πy n µ c E u On a donc pour les ondes incidente, réfléchie et transmise : ÝÑ Π i y n 1 µ c E i e ÝÑ Π r y n 1 µ c E r e ÝÑ Π t y n µ c E t e On peut alors calculer les coefficients de réfleion et de transmission en puissance (ou en intensité) définis par R ÝÑ Π r y ÝÑ Π i y r et et donc R T ÝÑ Π t y ÝÑ Π i y n n 1 t n1 n n 1 n et T 4n 1n pn 1 n q Remarque R T 1 ce qui eprime la conservation de l énergie. 13