Construction d un modèle éléments finis

CHAPITRE4 Construction d un modèle éléments finis Dans ce chapitre, on présente quelques étapes clé de la construction d un modèle éléments finis. Plus précisément, on invite le lecteur à s interroger sur la nature du modèle à développer (poutre, plaque, massif), sur les conditions de symétrie à prendre en compte, et sur la mise en oeuvre des conditions aux limites. Enfin, une comparaison des performances associées à différents type de modèles est effectuée sur un exemple simple. Sommaire 1 Choix du modèle et de la géométrie support associée... 188 1.1 Structures élancées............................... 188 1.2 Structures fines................................. 188 1.3 Structures massives............................... 188 1.4 Rapport qualité/investissement....................... 188 2 Prise en compte des symétries... 189 2.1 Exemple étudié................................. 189 2.2 Prise en compte des symétries........................ 190 2.3 Traduction des conditions aux limites.................... 190 3 Etude comparative de différents modèles... 191 3.1 Calcul de la solution analytique....................... 191 3.2 Comparaison avec les différents modèles éléments finis......... 193 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 189

4 Construction d un modèle éléments finis 1 Choix du modèle et de la géométrie support associée Lorsqu on cherche à réaliser le modèle éléments finis d une structure quelconque, la première question à se poser porte sur le choix de la géométrie support et du maillage associé. 1.1 Structures élancées Si la structure est très élancée (une dimension très grande devant les deux autres), on priviliégiera un modèle poutre. La géométrie représentant la structure sera donc filaire, c est-àdire composée de courbes, ou de droites dans le plan ou dans l espace. Le maillage sera composé de segments de droite. Un exemple est fourni sur les Figure III.23(a) et Figure III.23(b). Il s agit d une structure en forme de treillis, dont les éléments sont rigidement liés entre eux (la structure est taillée dans la masse) et fortement élancés (longueur de 130 mm pour une section de 12 mm 4 mm). De ce fait, les éléments vérifient les hypothèses de la théorie des poutres. Néanmoins, si la CAO de la structure est donnée au départ, elle ne peut être directement utilisée pour réaliser le modèle poutre. Il est nécessaire de reconstruire une nouvelle géométrie filaire qui constituera le support au maillage à partir de la géoémétrie volumique. Dans le cas de structures complexes, cette étape peut être relativement chronophage. 1.2 Structures fines Si la structure est fine (une dimension faible devant les deux autres), on privilégiera un modèle plaque ou coque. La géométrie représentant la structure sera surfacique, plane ou spatiale, et le maillage sera composé de triangles ou quadrangles. Un exemple est fourni sur les Figure III.23(c) et Figure III.23(d). Il s agit d une simple plaque renforcée par trois raidisseurs. Le modèle imaginé est constitué d une plaque et de trois poutres solidaires. La géométrie à définir est donc constituée d une surface rectangulaire et de trois droites. Là encore, la géométrie volumique ne peut être directement utilisée pour réaliser le maillage, et il est nécessaire de reconstruire une géométrie surfacique pertinente. Comme pour les modèles poutres, dans le cas de structures complexes, cette étape peut être relativement chronophage. 1.3 Structures massives Si la structure ne possède aucune des particularités précédentes, on choisira un modèle massif ; la géométrie représentant la structure est alors directement la CAO 3D, sauf s il paraît opportun d en simplifier quelques détails qui ne jouent que très peu sur la solution et qui conduiraient à un maillage complexe par exemple. L exemple d une pièce d embrayage massive est présenté sur la Figure III.23(e). 1.4 Rapport qualité/investissement Ainsi, lorsqu une géométrie CAO existe, et même si la structure présente des particularités géométriques, il pourrait être tentant de l exploiter directement à travers un modèle massif puisqu il ne nécessite aucun travail supplémentaire, notamment dans les codes éléments finis intégrés aux modeleurs CAO. Ce serait une erreur, car la qualité de la solution obtenue peut être très fortement impactée par ce choix, comme l illustrera la section suivante. 190 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf

2 Prise en compte des symétries (a) Géométrie 3D d un treillis (b) Support géométrique filaire pour un modèle poutre (c) Géométrie 3D d une plaque raidie (d) Support géométrique surfacique et filaire pour un modèle plaque et poutre (e) Géométrie 3D d une plaque de poussée d un embrayage de moto (f ) Support géométrique volumique pour un modèle massif Figure III.23: Exemples de structures et supports géométriques au maillage associé 2 Prise en compte des symétries 2.1 Exemple étudié Afin de mettre en évidence l importance de ce choix de modèle, on considère l exemple très simple d une structure élancée, de forme parallélépipédique, encastrée sur un bâti en X = 0 et en X = 2L, et soumise à un effort en son plan médian (Figure III.24). L effort est supposé réparti sur toute la section. La structure est ainsi sollicitée en flexion et en cisaillement. Les données du problème sont les suivantes : géométrie de la poutre : longueur 2L = 2 m, épaisseur h = 0.1 m, largeur b = 0.1 m ; matériau de la poutre : acier, avec E = 2 105 M P a, = 0.3 ; chargement : effort surfacique uniforme en X = L de résultante 2 104 N selon ~ Z. Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 191

4 Construction d un modèle éléments finis X=0 Z Y X X=2L Figure III.24: Exemple étudié pour comparer les modèles éléments finis poutre, plaque et massif 2.2 Prise en compte des symétries La première question à se poser est la suivante : existe-t-il des symétries dans le problème? Si le problème présente un plan de symétrie, alors la solution en déplacement et en contrainte est symétrique. Il est important d exploiter cette symétrie pour réduire le temps de calcul. Pour que le problème soit dit symétrique, il faut vérifier les conditions suivantes : la géométrie de la structure est symétrique par rapport à un plan noté (P); le chargement est symétrique par rapport au plan (P); les conditions aux limites en déplacement sont symétriques par rapport au plan (P); la distribution de matériau est symétrique par rapport au plan (P). Sous toutes ces conditions, il est possible de ne modéliser que la moitié de la structure et de réduire ainsi le coût de calcul. Dans le cas présent, la structure, le chargement, les conditions aux limites, et les propriétés du matériau sont clairement symétriques par rapport au plan parallèle au plan (~Y, ~Z )et passant par le point (L,0,0) comme montré sur la Figure III.25. On ne considérera donc dans la suite que la partie allant de X = 0àX = L. 2.3 Traduction des conditions aux limites Il est maintenant nécessaire de traduire cette condition de symétrie par une condition portant sur les inconnues du problème. Selon le support retenu (poutre, plaque, massif), la prise en compte des conditions aux limites se traduit de différentes manières. Si l on conserve l exemple précédemment traité, l existence d un appui plan à l extrémité de la structure impose que la rotation de la section extrême autour des axes ~Y et ~Z soit nulle, tout comme la translation selon ~x. Cet appui plan peut être imposé simplement sur le modèle massif en imposant que les déplacements selon ~X sont nuls sur tous les noeuds de la face. 192 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf

3 Etude comparative de différents modèles X=0 Z Y X (P) X=2L Figure III.25: Prise en compte des symétries Pour le modèle plaque, l appui plan revient à imposer que les rotations selon ~Z soient nulles et que le déplacement selon ~X soit nul. Enfin pour le modèle poutre, l appui plan revient à imposer que les rotations selon ~Y et ~Z soient nulles et que le déplacement selon ~X soit nul. 3 Etude comparative de différents modèles 3.1 Calcul de la solution analytique La solution analytique peut ici être calculée aisément à l aide de la théorie des poutres, sous l hypothèse de Bernoulli. Le problème est modélisé sur la Figure III.27. Il est hyperstatique et il est donc nécessaire d exploiter les différentes méthodes vues dans les chapitres précédents pour trouver la flèche et le niveau de contrainte en x = L. 3.1.1 Equations d équilibre L équilibre de la poutre donne les équations suivantes (le problème est considéré plan) : X A + X B = 0 Y A + F = 0 M A + M B + FL= 0 Le problème est hyperstatique de degré 2. Pour le comportement qui nous intéresse, seule une inconnue statique reste indéterminée, par exemple le moment d encastrement M A. 3.1.2 Obtention de l inconnue hyperstatique Pour résoudre le problème hyperstatique, différentes méthodes existent : les équations de compatibilité cinématiques ; Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 193

4 Construction d un modèle éléments finis Encastrement Z Y X Effort surfacique et appui plan Figure III.26: Exemple étudié pour comparer les modèles éléments finis poutre, plaque et massif y=z F A B x=x Figure III.27: Modèle poutre associé au problème proposé sur la Figure III.26 les théorèmes énergétiques que l on utilisera ici. Le moment fléchissant dans la lame s exprime par : M fz (x) = Y A x M A L énergie de déformation est alors, en utilisant l équation donnant Y A : E d = 1 2EI Z L 0 (Fx+ M A ) 2 dx où I désigne le moment quadratique de la section droite par rapport à l axe (G,~z): I = bh3 12 (III.147) Le théorème de Menabrea fournit l équation manquante (la rotation en x = 0 est nulle) : de d dm A = 0 soit encore : Z L 0 (Fx+ M A )dx = F L2 2 + M AL = 0 194 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf

3 Etude comparative de différents modèles d où finalement : M A = F L 2 = M B 3.1.3 Déplacement transversal en x = L Enfin, le déplacement ± en bout de poutre, dans la direction de la force appliquée, est donné par le théorème de Castigliano : ± = de d df L énergie de déformation, exprimée uniquement en fonction des données du problème est : E d = 1 2EI On trouve donc en dérivant pa rapport à F : de d df = 1 EI Z L 0 Z L 0 F 2 µ x L 2 2 dx F µ x L 2 2 dx Le déplacement transversal à l extrémité, dans la direction et le sens de l effort appliqué F, est donc : ± = F L3 12EI 3.1.4 Contrainte normale maximale en x = L avec I = bh3 12 (III.148) La contrainte normale sur la peau supérieure de la poutre est donnée à partir du moment fléchissant : æ xx (x) = M fz(x) h (III.149) I 2 En x = L, on trouve donc la contrainte normale : æ xx (L) = FLh 4I 3.2 Comparaison avec les différents modèles éléments finis 3.2.1 Présentation des modèles étudiés (III.150) (a) Maillage poutre (b) Maillage plaque (c) Maillage massif Figure III.28: Les trois types de maillages envisagés pour modéliser la structure étudiée représentée sur la Figure III.26 La solution analytique précédente peut être comparée à quatre modèles éléments finis : Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 195

4 Construction d un modèle éléments finis un modèle éléments finis poutre, avec hypothèse de Bernoulli ; un modèle éléments finis plaque ; un modèle éléments finis massif, avec éléments linéaires ; un modèle éléments finis massif, avec éléments quadratiques. Pour chacun de ces modèles, on extrait le déplacement transversal en x = L pour le comparer à ± donné par l équation (III.148): pour les modèles poutre on extrait la bonne composante transversale du vecteur déplacement au point extrémité ; pour le modèle plaque, on extrait la composante transversale de la moyenne du vecteur déplacement sur l arête extrémité ; pour le modèle massif, on extrait la composante transversale de la moyenne du vecteur déplacement sur la face extrémité. On extrait également la contrainte normale sur la face supérieure, en x = L pour la comparer à æ xx (L) donnée par l équation (III.231). Enfin, ces différentes quantités, ainsi que le temps de calcul associé à la résolution du système linéaire, seront relevées pour différentes tailles de mailles. Les maillages utilisés sont toujours homogènes à l image de ceux présentés sur la Figure III.28. 6.86E 04 6.53E 04 6.21E 04 5.88E 04 5.55E 04 5.22E 04 4.89E 04 4.56E 04 4.23E 04 3.90E 04 3.57E 04 3.24E 04 2.91E 04 2.58E 04 2.25E 04 1.92E 04 1.59E 04 1.26E 04 9.34E 05 6.04E 05 2.75E 05 6.87E 04 6.54E 04 6.21E 04 5.88E 04 5.55E 04 5.22E 04 4.89E 04 4.56E 04 4.23E 04 3.90E 04 3.57E 04 3.24E 04 2.91E 04 2.58E 04 2.25E 04 1.92E 04 1.59E 04 1.26E 04 9.35E 05 6.05E 05 2.75E 05 6.61E 04 6.29E 04 5.97E 04 5.66E 04 5.34E 04 5.02E 04 4.70E 04 4.39E 04 4.07E 04 3.75E 04 3.44E 04 3.12E 04 2.80E 04 2.48E 04 2.17E 04 1.85E 04 1.53E 04 1.22E 04 8.99E 05 5.81E 05 2.64E 05 (a) Maillage poutre (b) Maillage plaque (c) Maillage massif Figure III.29: Exemples de champs de déplacement selon ~Z obtenus pour les modèles poutre, plaque, et massif 3.2.2 Analyse des résultats Les résultats sont présentés sur la Figure III.30. La Figure III.30(a) présente l évolution du déplacement calculé en bout de poutre en fonction de la taille du maillage utilisé et pour les différents modèles précédemment introduits. L échelle de l abscisse correspond au logarithme népérien de l inverse de la taille de maille. La Figure III.30(b) présente l évolution de la contrainte normale maximale en bout de poutre en fonction de la même abscisse. Enfin la Figure III.30(c) présente l évolution du temps de calcul associé à la résolution du système linéaire en fonction de cette même abscisse. On constate tout d abord que le modèle éléments finis poutre (hypothèse de Bernoulli) fournit le même résultat en déplacement et en contrainte que le modèle analytique avec un coût de calcul très faible. On constate que le modèle plaque est un peu plus coûteux, mais qu il donne également de très bons résultats. Enfin, on remarque que le modèle massif n est pas adapté à ce type de problème. En effet, il faut mailler extrêmement finement la structure, notamment dans son épaisseur, pour obtenir des résultats de qualité (déplacement et 196 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf

3 Etude comparative de différents modèles contrainte). Cela conduit à un coût de calcul très important. Des éléments de degré 2 permettent d obtenir des résultats de meilleure qualité à taille de maille identique, mais le coût de calcul augmente encore. Le déplacement obtenu avec les modèles massifs tend vers une valeur légèrement supérieure à celle donnée par le modèle analytique. Cela est dû au fait que le modèle analytique réalisé est basé sur l hypothèse de Bernoulli : on suppose que la section droite reste perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation. En pratique, cette contrainte cinématique rigidifie légèrement le comportement. Le modèle plaque donne la même valeur que le modèle poutre car il est basé sur le même type d hypothèse cinématique. La contrainte normale obtenue par les modèles plaque et poutre (éléments finis et analytique) est identique. La contrainte normale obtenue via les deux modèles massifs semble converger vers une valeur légèrement supérieure. Néanmoins, avec ces modèles, il faut faire un effort de calcul très conséquent pour arriver à un résultat au moins égal à ceux des modèles plaque et poutre. En effet, pour h = 1/100 il faut 1000 s pour trouver le même niveau de contrainte que celui obtenu par le modèle plaque au bout de 20 s et par le modèle poutre au bout de 1 s. On voit donc clairement que les modèles structuraux de type plaque ou poutre sont bien plus performants dès que la structure présente un certain élancement. Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 197

4 Construction d un modèle éléments finis (a) Convergence du déplacement (b) Convergence de la contrainte normale (c) Temps de calcul Figure III.30: Résultats obtenus par les différents modèles numériques (poutre, plaque, massif) et le modèle analytique pour le problème posé Figure III.26 et pour différentes tailles de maille 198 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf