Module: rchitecture des ordinateurs ère MI S2 Circuits Logiques الدارات النطقية Taha Zerrouki Taha.zerrouki@gmail.com
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Plan lgèbre de oole Portes Logiques 3
lgèbre de oole 4
L'algèbre de oole L'algèbre de oole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. 5
oole Elle fut initiée en 854 par le mathématicien britannique George oole 6
. Introduction Les machines numériques sont constituées d un ensemble de circuits électroniques. Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée ( addition, comparaison,.). Circuit F(,) La fonction F(,) peut être : la somme de et, ou le résultat de la comparaison de et ou une autre fonction 7
Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonction réalisée par ce circuit. Ce modèle doit prendre en considération le système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de oole. 8
3.3. Fonction logique C est une fonction qui relie N variables logiques avec un ensemble d opérateurs logiques de base. Dans l lgèbre de oole il existe trois opérateurs de base : NON, ET, OU. La valeur d une fonction logique est égale à ou selon les valeurs des variables logiques. Si une fonction logique possède N variables logiques 2 n combinaisons la fonction possède 2 n valeurs. Les 2 n combinaisons sont représentées dans une table qui s appelle table de vérité ( TV ). 9
Fonction logique V V2 V3 V4 V5... F(V,V2,..Vn) Vrai Faut
Exemple d une fonction logique C C C C C F........ ),, ( La fonction possède 3 variables 2 3 combinaisons C F Une table de vérité
Priorité des opérateurs Pour évaluer une expression logique : () NON ET OU أولوية العوامل 2
F(,, C) (. ). ( C )..C si on veut calculer F(,,) alors: F(,,) (.)( ).. F(,,) ( ) ().. F(,,)... F(,,) F(,,) 3
Priorité des opérateurs F(,,C) (. ). ( C ) Calculer F(,,)..C 4
Priorité des opérateurs F(,,C) (. ).( C )..C si on veut calculer F(,,) alors: F(,,) (.)( ).. F(,,) F(,,) F(,,) F(,,) ( ) ()..... 5
Table de vérité Tracer la table de vérité de F(,,C) F(,,C) (. ).( C )..C 6
Solution Pour trouver la table de vérité, il faut trouver la valeur de la fonction F pour chaque combinaisons des trois variables,, C 3 variables 2 3 8 combinaisons F(,,C) (. ).( C )..C F C F(,,) F(,,) F(,,) F(,,) F(,,) F(,,) F(,,) F(,,) (.).( (. ).( (.).( (.).( (. ).( (. ).( (.).( (.).( ) ) ) ) ) ) ) )................ 7
4.5 Lois fondamentales de l lgèbre de oole L opérateur NON. 8
L opérateur ET (. ). C.(. C).. C ssociativité.. Commutativité. Idempotence. Elément neutre. Elément absorbant 9
2 L opérateur OU Elément absorbant Elément neutre Idempotence Commutativité ssociativité ) ( ) ( C C C
Distributivité. ( C ) (. ) (.C ) Distributivité du ET sur le OU (. C ) ( ).( C) Distributivité du OU sur le ET utres relations utiles.( (. ) ) ( ).( ). 2
5. Dualité de l algèbre de oole Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU, le OU par le ET, le par, le par. Exemple :.. التقابل 22
Théorème de DE-MORGNE 23
6. Théorème de DE-MORGNE La somme logique complimentée de deux variables est égale au produit des compléments des deux variables.. Le produit logique complimenté de deux variables est égale au somme logique des compléments des deux variables.. 24
6. Généralisation du Théorème DE- MORGNE à N variables.. C... C... C..... C... مجوم الجتام مجووع الوجووع مجوم الوجووع متام الوجووع 25
utres opérateurs logiques 26
OU exclusif ( XOR) F(, ).. 27
NND ( NON ET ) F(,) F(, ). 28
NOR ( NON OU ) F(,) F(, ) 29
7.4 NND et NOR sont des opérateurs universels En utilisant les NND et les NOR on peut exprimer n importe qu elle expression ( fonction ) logique. Pour cela, Il suffit d exprimer les opérateurs de base ( NON, ET, OU ) avec des NND et des NOR. 3
7.4. Réalisation des opérateurs de base avec des NOR ( ) ( ).. ( ) ( ) 3
Exercice Exprimer le NON, ET, OU en utilisant des NND? 32
33 7.4.3 Propriétés des opérateurs NND et NOR ) ( ) ( C C ) ( ) ( C C
Étude d une fonction logique 34
Étude d une fonction logique Définition textuelle d une fonction logique Les entrées et les sorties Table de vérité Formes algébriques Simplification: lgébrique Table de Karnaugh Logigramme 35 دراسة دالة منطقية - تعريف - الوتاخل والوخعرج - متول الحقيقة - شكل مبري - تبسيط - رسم الوخطط
. Définition textuelle d une fonction logique Généralement la définition du fonctionnement d un système est donnée sous un format textuelle. Pour faire l étude et la réalisation d un tel système on doit avoir son modèle mathématique (fonction logique). Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle. 36
Exemple : définition textuelle du fonctionnement d un système Une serrure de sécurité s ouvre en fonction de trois clés. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite : La serrure est ouverte si au moins deux clés sont utilisées. La serrure reste fermée dans les autres cas. Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler l ouverture de la serrure? 37
Si on reprend l exemple de la serrure : Le système possède trois entrées : chaque entrée représente une clé. On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé, la clé 2, la clé 3 C Si la clé est utilisée alors la variable sinon Si la clé 2 est utilisée alors la variable sinon Si la clé 3 est utilisée alors la variable C sinon C Le système possède une seule sortie qui correspond à l état de la serrure ( ouverte ou fermé ). On va correspondre une variable S pour designer la sortie : S si la serrure est ouverte, S si elle est fermée 38
SF(,,C) F(,,C) si au mois deux clés sont introduites F(,,C) si non. C Circuit SF(,,C) Remarque : Remarque : Il est important de préciser aussi le niveau logique avec lequel on travail ( logique positive ou négative ). 39
2. Table de vérité ( Rappel ) Si une fonction logique possède N variables logiques 2 n combinaisons la fonction possède 2 n valeurs. Les 2 n combinaisons sont représentées dans une table qui s appelle table de vérité. 4
2. Table de vérité ( Exemple ) S C C : max terme C : max terme C : max terme.. C : min terme C : max terme.. C : min terme.. C.. C : min terme : 4 min terme
2.3 Extraction de la fonction logique à partir de la T.V F somme min termes F(,, C)..C..C.. C.. C F produit des max termes F(,,C) ( C) ( C)( C) ( C) 42
3. Forme canonique d une fonction logique On appel forme canonique d une fonction la forme ou chaque terme de la fonction comportent toutes les variables. Exemple : F(,,C) C C C 43
3. Première forme canonique Première forme canonique (forme disjonctive) : somme de produits C est la somme des min termes. F(,, C)..C..C..C..C Cette forme est la forme la plus utilisée. 44
3.2 Deuxième forme canonique Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de sommes Le produit des max termes F(,,C) ( C) ( C)( C) ( C) 45
ère Forme 2ème forme 46
Remarque On peut toujours ramener n importe qu elle fonction logique à l une des formes canoniques. Cela revient à rajouter les variables manquants dans les termes qui ne contiennent pas toutes les variables ( les termes non canoniques ). Cela est possible en utilisant les règles de l algèbre de oole : Multiplier un terme avec une expression qui vaut dditionner à un terme avec une expression qui vaut Par la suite faire la distribution 47
48 Exemple : C C C C C C C C C C C ) C ( ) C( C C C C C C ) C( C) (C C F(,,C) 2. ) ( ) ( F(, ).
Remarque 2 Il existe une autre représentation des formes canoniques d une fonction, cette représentation est appelée forme numérique. R : pour indiquer la forme disjonctive P : pour indiquer la forme conjonctive. Exemple : si on prend une fonction avec 3 variables R( 2,4,6) (2,4,6) R(,,) C C C P(,,3,5,7) (,,3,5,7) P(,,,,) ( C)( C) ( C ) ( C ) ( C) 49
5 Remarque 3 : déterminer F C F C C C C........ F F
Exercice Déterminer la première, la deuxième forme canonique et la fonction inverse à partir de la TV suivante? Tracer le logigramme de la fonction? F 5
Exercice 2 Faire le même travail avec la T.V suivante : S C 52
Simplification des fonctions logiques 53
4. Simplification des fonctions logiques L objectif de la simplification des fonctions logiques est de : réduire le nombre de termes dans une fonction et de réduire le nombre de variables dans un terme 54
4. Simplification des fonctions logiques Cela afin de réduire le nombre de portes logiques utilisées réduire le coût du circuit Plusieurs méthodes existent pour la simplification : La Méthode algébrique Les Méthodes graphiques : ( ex : table de karnaugh ) Les méthodes programmables 55
5. Méthode algébrique Le principe consiste à appliquer les règles de l algèbre de oole afin d éliminer des variables ou des termes. Mais il n y a pas une démarche bien spécifique. Voici quelques règles les plus utilisées :.... ( ) ( ). ( ). ( ). 56
5. Règles de simplification Règles : regrouper des termes à l aide des règles précédentes Exemple C C CD (C C) CD CD ( (CD)) ( CD) CD 57
Règles 2 : Rajouter un terme déjà existant à une expression Exemple : C C C C C C C C C C C C 58
Règles 3 : il est possible de supprimer un terme superflu ( un terme en plus ), c est-àdire déjà inclus dans la réunion des autres termes. Exemple : F(,,C) C C C C ( ) C C C ( C) C ( ) C 59
Exemple 2 : il existe aussi la forme conjonctive du terme superflu F(,,C) ( ). ( C). ( C) ( ). ( C). ( C.) ( ). ( C). ( C ).( C ) ( ). ( C ). ( C).( C ) ( ). ( C) 6
Règles 4 : il est préférable de simplifier la forme canonique ayant le nombre de termes minimum. Exemple : F(,, C) R(2,3,4,5,6,7) F(,,C) R(,).. C.. (C. C).C F(,,C) F(,,C) 6
Exercice Démontrer la proposition suivante :.. C C... C.. C.. C C Donner la forme simplifiée de la fonction suivante : F (,, C, D) CD CD CD CD CD 62
Simplification par la table de Karnaugh 63
Les termes adjacents Examinons l expression suivante :.. ( ) حدود متجاورة adjacents. Ces termes sont dites 64
Exemple de termes adjacents Ces termes sont adjacents....c.. C.C..C.D..C.D..D Ces termes ne sont pas adjacents....c..c..c.d..c.d 65
Table de karnaugh La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente. Méthode graphique pour detecter tous les termes adjacents 66
C Tableau à 2 variables Tableaux à 3 variables 67
Tableau à 4 variables CD 68
Tableau à 5 variables CD CD U U 69
7 TV > Karnaugh C S C
Exemple : 3 variables C F (,, C) C 7
Exemple 2 : 4 variables CD F(,, C, D) C. D.. C.. C. D 72
Exemple 3 : 4 variables CD F (,, C, D) D CD 73
Exemple 4 : 5 variables CD CD U U F(,,C, D, U)..D.U.C.D.U.. DU. 74
Exercice Trouver la forme simplifiée des fonctions à partir des deux tableaux? CD C 75
Fonction non totalement définie دالة تعريفها ناقص 76
6.5 Cas d une fonction non totalement définie Examinons l exemple suivant : Une serrure de sécurité s ouvre en fonction de quatre clés,, C D. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite : S(,,C,D) si au moins deux clés sont utilisées S(,,C,D) sinon Les clés et D ne peuvent pas être utilisées en même temps. On remarque que si la clé et D sont utilisées en même temps l état du système n est pas déterminé. Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites comment représenter ces cas dans la table de vérité?. 77
78 C D S X X X X Pour les cas impossibles ou interdites il faut mettre un X dans la T.V. Les cas impossibles sont représentées aussi par des X dans la table de karnaugh X X X X CD
Il est possible d utiliser les X dans des regroupements : Soit les prendre comme étant des Ou les prendre comme étant des Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X CD X X X X 79
CD X X X X CD 8
CD X X X X CD D 8
CD X X X X CD D C 82
CD X X X X CD D C C 83
Exercice Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table suivante? CD X X X X X 84
Circuits de ase 85
Inverseur (NON) 86
Conjonction ET (ND) 87
Disjonction (OU) (OR) 88
Circuits combinés 89
7.3 NOR ( NON OU ) F(,) F(, ) 9
Non-OU (NND) 9
7.2 NND ( NON ET ) F(,) F(, ). 92
NON-ET (Nand) 93
OU exclusif (XOR) F(, ).. 94
OU exclusif (XOR) 95
Exercice Donner le logigramme des fonctions suivantes : F(,).. F(,, C) ( ).( F(,, C) (. ).( C C).( C) )..C 96
Exercice 2 : Donner l équation de F? 97