RICHARD VERMETTE Modélisation de la dépendance entre les garanties applicables en assurance automobile Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l Université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en statistique pour l obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.) FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 2011 c Richard Vermette, 2011
Résumé Dans un portefeuille d assurance automobile, différents types de réclamations peuvent survenir pour chaque police en vigueur. En cas de collision entre deux véhicules, l assuré peut déposer une réclamation pour dommages corporels et matériels à luimême et à autrui. Traditionnellement, ces types de risques ont été considérés comme indépendants afin d en faciliter la modélisation stochastique. Dans la pratique, on observe toutefois une dépendance entre les montants de ces réclamations dont il importe de tenir compte pour mieux quantifier le risque global du portefeuille. Frees et Valdez (2008) ont proposé un modèle permettant de considérer certaines dépendances entre les fréquences et les sévérités des garanties impliquées dans les réclamations d une même police d assurance. Dans ce mémoire, deux structures de modèles inspirées de celle de Frees et Valdez (2008) sont proposées pour modéliser les sinistres d un portefeuille d assurance automobile de l Ontario. L ajustement des modèles est réalisé par la méthode de vraisemblance maximale ainsi que par une approche bayésienne.
Avant-propos Je tiens tout d abord à remercier mon directeur de recherche, M. Thierry Duchesne, professeur au Département de mathématiques et de statistique de l Université Laval, ainsi que mon co-directeur, M. Christian Genest, professeur au Département de mathématiques et de statistique de l Université McGill, pour leur disponibilité, mais aussi pour toute l aide et le soutien qui ont été nécessaires à la réalisation de ce projet. Je tiens spécialement à remercier M. Duchesne pour la qualité de ses conseils dans ce projet et dans la rédaction de ce mémoire, mais aussi pour avoir partagé tant d enrichissantes discussions au cours de la dernière année. J aimerais aussi remercier mes superviseurs de la compagnie d assurance, M. Étienne Plante-Dubé et M. Danaïl Davidov, qui m ont permis d apprendre énormément dans le domaine de l assurance et qui m ont aussi très bien guidé lors de la réalisation de ce projet. Je tiens d ailleurs à remercier Danaïl pour toutes les heures où nous avons échangé des courriels afin de discuter du projet. Un merci spécial à M. Mathieu Francœur qui a contribué au projet en apportant des informations et des suggestions qui furent très utiles dans sa conception et sa réalisation. Mes remerciements vont aussi au Fonds québécois de la recherche sur la nature et les technologies (FQRNT), au fonds de subvention MITACS Accélération, ainsi qu à l Université Laval pour les fonds octroyés à la réalisation de ce projet. Finalement, je suis reconnaissant envers ma fiancée Lucie et toute ma famille pour leur soutien et leur amour qui ont été une motivation supplémentaire à la réussite de ce projet et de mes études.
Table des matières Résumé Avant-Propos Table des matières Liste des tableaux Liste des figures ii iii vi ix xi 1 Introduction 1 1.1 Problématique................................ 2 1.2 Objectifs du projet............................. 3 2 Revue de la littérature 4 2.1 Structure des données........................... 5 2.2 Modèle.................................... 7 2.2.1 Composante 1 : Fréquence des demandes d indemnisation.... 7 2.2.2 Composante 2 : Type de réclamations effectuées lors des demandes d indemnisation...................... 9 2.2.3 Composante 3 : Sévérité des montants pour chaque type de réclamation.............................. 11 3 Analyses préliminaires 14 3.1 Provenance des données.......................... 14 3.1.1 Covariables préliminaires...................... 14 3.1.2 Variables dépendantes d intérêt.................. 15 3.1.3 Utilisation de la fréquence des demandes d indemnisation.... 18 3.1.4 Autres détails sur le jeu de données................ 18 3.1.5 Logiciel utilisé pour le projet.................... 19 3.2 Analyses préliminaires de la dépendance................. 20 3.2.1 Modélisation de la dépendance entre les sévérités........ 20 3.2.2 Modélisation de la dépendance entre les fréquences....... 23
v 3.2.3 Modélisation de la fréquence étant donné la sévérité....... 24 3.2.4 Modélisation de la sévérité étant donné la fréquence....... 25 3.3 Imputation de données........................... 27 3.4 Résumé des analyses préliminaires..................... 29 4 Structure des modèles 32 4.1 Structure hybride.............................. 33 4.1.1 Choix de la loi pour les modèles de sévérité............ 35 4.1.2 Loi multinomiale.......................... 40 4.1.3 Sélection des covariables...................... 43 4.1.4 Utilisation du modèle hybride dans la pratique actuarielle.... 46 4.2 Structure hiérarchique........................... 49 4.2.1 Régression logistique........................ 50 4.2.2 Utilisation du modèle hiérarchique dans la pratique actuarielle. 53 5 Résultats des analyses 54 5.1 Structure hybride.............................. 54 5.1.1 Modèle de tarification....................... 55 5.1.2 Modèle d indemnisation...................... 60 5.2 Structure hiérarchique........................... 62 6 Analyses bayésiennes 63 6.1 Modèle.................................... 64 6.2 Résultats de l ajustement.......................... 68 6.3 Reproduction d un portefeuille....................... 69 7 Conclusion 73 Bibliographie 75 A Autres résultats des analyses préliminaires 78 A.1 Résultats de la régression logistique.................... 78 A.2 Résultats complémentaires de l analyse de la variance.......... 79 A.3 Résultats complémentaires sur la dépendance des montants de sévérité 80 A.4 Histogrammes des montants de sévérité.................. 83 B Théorie : Imputation multiple 87 C Résultats de l ajustement des modèles 89 C.1 Résultats du choix des modèles de sévérité................ 89 C.2 Résultats pour les modèles logistiques................... 91 D Résultats des analyses 92
vi D.1 Structure hybride.............................. 94 D.1.1 Modèle de tarification....................... 94 D.1.2 Modèle d indemnisation...................... 99 D.2 Structure hiérarchique........................... 104 E Échantillonneur de Gibbs 107 F Résultats de l analyse bayésienne 109
Liste des tableaux 2.1 Covariables utilisées lors de l ajustement des modèles pour la composante de la fréquence............................... 9 2.2 Combinaison possible de chaque type de réclamation.......... 10 2.3 Définition de chaque type de réclamation................. 10 3.1 Covariables préliminaires à considérer dans le projet........... 15 3.2 Explication des garanties considérées................... 16 3.3 Mesures de dépendance entre les sévérités des garanties......... 22 3.4 Tests sur les rapports de cotes....................... 24 3.5 Moyenne des montants de chaque garantie selon le type de garanties réclamées lors d un même accident.................... 25 3.6 Estimation des paramètres de la régression logistique de la fréquence de la garantie AB en fonction du montant de dommages matériels DOMM 25 3.7 Effets significatifs de la fréquence des garanties sur le montant de dommages AB par une analyse de la variance................. 26 3.8 Combinaisons possibles des types de réclamation pour les analyses de ce projet.................................... 30 3.9 Moyenne des montants de chaque garantie selon le type de garanties réclamées lors d un même accident : Retrait de la garantie TPL-PD.. 30 4.1 Distributions considérés pour l ajustement des modèles de sévérité... 36 5.1 Coefficients estimés pour le modèle de sévérité des dommages matériels pour la covariable relative à l âge du conducteur principal assuré.... 57 5.2 Variation des coefficients du modèle multinomial en considérant la probabilité de deux modalités fixées...................... 59 6.1 Covariables utilisées lors de l ajustement du modèle bayésien...... 67 6.2 Comparaison des valeurs prédites de la valeur totale des indemnités versées selon la première approche avec les valeurs observées des 1000 portefeuilles................................... 71 6.3 Comparaison des valeurs prédites de la valeur totale des indemnités versées selon la deuxième approche avec les valeurs observées des 1000 portefeuilles................................... 72
viii A.1 Estimation des paramètres de la régression logistique de la fréquence de la garantie TPL-BI en fonction du montant de dommages matériels DOMM 78 A.2 Estimation des paramètres de la régression logistique de la fréquence de la garantie TPL-PD en fonction du montant de dommages matériels DOMM................................... 78 A.3 Effets de la fréquence des garanties sur le montant de dommages DOMM par une analyse de la variance....................... 79 A.4 Effets de la fréquence des garanties sur le montant de dommages BI par une analyse de la variance......................... 79 C.1 Résultats de l ajustement des distributions considérées pour le modèle de sévérité des dommages matériels.................... 89 C.2 Résultats de l ajustement des distributions considérées pour le modèle de sévérité des blessures corporelles.................... 90 D.1 Explication des covariables utilisées dans les modèles présentés..... 93 D.2 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle de sévérité de dommages matériels du véhicule assuré (garantie DOMM) pour la structure hybride de tarification selon la méthode du maximum de vraisemblance.................................. 94 D.3 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle multinomial pour la structure hybride de tarification selon la méthode du maximum de vraisemblance.............................. 95 D.4 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle de sévérité des blessures corporelles subies par l assuré (garantie AB) pour la structure hybride de tarification selon la méthode du maximum de vraisemblance 96 D.5 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle de sévérité des dommages matériels du véhicule assuré (garantie DOMM) pour la structure hybride d indemnisation selon la méthode du maximum de vraisemblance................................. 99 D.6 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle multinomial pour la structure hybride d indemnisation selon la méthode du maximum de vraisemblance............................... 100 D.7 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle de sévérité pour les blessures corporelles subies par l assuré (garantie AB) pour la structure hybride d indemnisation selon la méthode du maximum de vraisemblance................................. 101 D.8 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle logistique expliquant la présence d une réclamation pour les blessures corporelles subies par l assuré (garantie AB) pour la structure hiérarchique d indemnisation selon la méthode du maximum de vraisemblance......... 104
ix D.9 Résultats partiels de l estimation des paramètres du modèle de sévérité pour les blessures corporelles subies par l assuré (garantie AB) pour la structure hiérarchique d indemnisation selon la méthode du maximum de vraisemblance............................... 105 F.1 Estimation des paramètres par la méthode bayésienne et par la méthode du maximum de vraisemblance pour le modèle de sévérité des dommages matériels du véhicule assuré......................... 109 F.2 Estimation des paramètres par la méthode bayésienne et par la méthode du maximum de vraisemblance pour la loi multinomiale......... 110
Liste des figures 4.1 Structure du modèle hybride........................ 34 4.2 Structure du modèle hiérarchique..................... 50 A.1 Graphique des rangs pour les sévérités des garanties AB et DOMM.. 80 A.2 Graphique des rangs pour les sévérités des garanties TPL-PD et DOMM 81 A.3 Graphique des rangs pour les sévérités des garanties TPL-BI et AB.. 82 A.4 Histogramme des montants de sévérité des dommages matériels.... 83 A.5 Histogramme des montants de sévérité des blessures à la personne assurée sachant qu il n y a pas de réclamation pour des blessures à une tierce personne................................... 84 A.6 Histogramme des montants de sévérité des blessures à la personne assurée sachant qu il y a aussi une réclamation pour des blessures à une tierce personne................................... 84 A.7 Histogramme des montants de sévérité des blessures à une tierce personne sachant qu il n y a pas de réclamation pour des blessures à la personne assurée.................................... 85 A.8 Histogramme des montants de sévérité des blessures à une tierce personne sachant qu il y a aussi une réclamation pour des blessures à la personne assurée.................................... 85 A.9 Histogramme des montants de sévérité des dommages matériels avec la densité estimée de la loi gamma...................... 86 C.1 Courbe ROC obtenue pour le modèle logistique concernant la présence d une réclamation pour les blessures corporelles à l assuré........ 91 D.1 Valeurs observées et prédites du montant de sévérité des dommages matériels par le modèle hybride de tarification pour la population classée selon l âge................................... 97 D.2 Différentiels du montant de sévérité des dommages matériels par le modèle hybride de tarification pour la population classée selon l âge.... 97 D.3 Valeurs observées et prédites de la probabilité de la présence d une réclamation pour la garantie AB et d une réclamation pour la garantie BI par le modèle hybride de tarification pour la population classée selon l âge. 98
D.4 Différentiels de la probabilité de la présence d une réclamation pour la garantie AB et d une réclamation pour la garantie BI par le modèle hybride de tarification pour la population classée selon l âge....... 98 D.5 Valeurs observées et prédites du montant de sévérité des dommages matériels par le modèle hybride d indemnisation selon le pourcentage de responsabilité................................. 102 D.6 Différentiels du montant de sévérité des dommages matériels par le modèle hybride d indemnisation selon le pourcentage de responsabilité... 102 D.7 Valeurs observées et prédites de la probabilité de la présence d une réclamation pour la garantie AB et d une réclamation pour la garantie BI par le modèle hybride d indemnisation selon le pourcentage de responsabilité. 103 D.8 Différentiels de la probabilité de la présence d une réclamation pour la garantie AB et d une réclamation pour la garantie BI par le modèle hybride d indemnisation selon le pourcentage de responsabilité...... 103 D.9 Valeurs observées et prédites de la probabilité de la présence d une réclamation pour la garantie AB par le modèle hiérarchique d indemnisation selon le pourcentage de dommages matériels réclamés par rapport à la valeur actuelle du véhicule.......................... 106 D.10 Différentiels de la probabilité de la présence d une réclamation pour la garantie AB par le modèle hiérarchique d indemnisation selon le pourcentage de dommages matériels réclamés par rapport à la valeur actuelle du véhicule.................................. 106 xi
Chapitre 1 Introduction Le domaine de l assurance en est un où la recherche de nouvelles méthodes est omniprésente afin d améliorer et de peaufiner les pratiques actuelles dans le but d attirer de nouveaux clients, mais aussi de convaincre les anciens clients de renouveler leurs assurances au sein de la même compagnie. En général, ce qui va attirer les clients à demander une soumission d une compagnie d assurances, c est sa renommée. Les clients potentiels sont aussi attirés par les stratégies de marketing des compagnies, notamment par le truchement de la télévision, de la radio ou d Internet. Il y a aussi toutes les nouvelles applications en ligne qui permettent de soumettre rapidement une demande d assurances, et depuis peu, les compagnies commencent à offrir ces applications sur les cellulaires intelligents comme le iphone et les BlackBerry afin de rejoindre une plus vaste clientèle. Toutefois, on oublie souvent que derrière toutes ces nouvelles publicités et applications, c est la recherche actuarielle qui permet aux compagnies d assurances d être à la fois compétitives avec des tarifs concurrentiels et à l abri de la faillite. Ces efforts constants permettent à chaque compagnie d assurances d améliorer sa compétitivité dans un marché où il est difficile de faire sa place. La recherche permet aussi à la compagnie d assurances de s assurer qu elle prend les dispositions nécessaires pour faire face aux imprévus et qu elle dispose des réserves monétaires suffisantes pour pallier aux différents problèmes qui peuvent se présenter. Dans le cadre de ce projet, notre intérêt s est porté vers l assurance automobile. Chaque compagnie connaît l importance de bien cibler les personnes qui sont susceptibles d avoir un accident et de déposer une réclamation auprès de l assureur. De plus, lorsqu un accident se produit, il est important pour l assureur de bien évaluer les coûts qui seront associés à l indemnisation de l assuré. En ciblant les différents groupes à
Chapitre 1. Introduction 2 risque, la compagnie peut alors offrir des tarifs avantageux aux groupes de personnes présentant un risque moins élevé. Aux personnes jugées plus à risque, l assureur pourra offrir un tarif plus élevé que la moyenne ou tout simplement refuser de les assurer. L objectif de ce projet est de cibler ces différents groupes de personnes afin que l assureur puisse prendre connaissance des risques qui leur sont liés et instaurer les mesures appropriées. 1.1 Problématique Au Québec, l assurance automobile est en partie gérée par les assureurs privés et par le gouvernement via la Société d assurance automobile du Québec (SAAQ). La SAAQ s occupe de l indemnisation des blessures corporelles subies lors d un accident, alors que les compagnies d assurances s occupent de l indemnisation des dommages matériels aux véhicules assurés. Toutefois, dans le reste du Canada, la situation est différente. Par exemple, en Ontario, il n y a aucune indemnisation offerte par une société d état pour les blessures corporelles subies dans un accident de la route. Ce sont donc les compagnies d assurances qui ont le mandat de régler le total de la facture pour les dommages matériels et corporels. Pour ces derniers, on inclut les différents dédommagements relatifs aux blessures subies, soit le remplacement de salaire de l assuré, une indemnisation pour vices corporels (cicatrice ou toute marque apparente), le remboursement de frais afférents à la blessure (location de béquilles ou d un fauteuil roulant, etc.), ainsi que toute autre réclamation relative aux blessures subies lors de l accident. Pour les compagnies d assurances, il est donc primordial d élaborer des modèles de prévision fiables pour les différents types de réclamations qui peuvent se produire. Les compagnies possèdent généralement des informations très détaillées pour les réclamations de dommages matériels, car on connaît les caractéristiques de l assuré et de son véhicule. L indemnité ne peut d ailleurs jamais dépasser un certain seuil qui est généralement la valeur actuelle du véhicule assuré. Pour ce qui est des dommages corporels, les montants de réclamation sont plus difficiles à prédire. L indemnité peut dépendre d une multitude de facteurs, surtout pour les cas où une personne est blessée grièvement lors de l accident. Par exemple, si l assuré ne peut retourner travailler suite à l accident, il y aura notamment une indemnité de remplacement de salaire qui dépendra de la durée de l absence, du salaire de l assuré, etc.
Chapitre 1. Introduction 3 1.2 Objectifs du projet Ce mémoire résume les analyses effectuées dans le cadre d un projet de recherche subventionné par l organisme MITACS et réalisé en collaboration avec une compagnie d assurances canadienne. Dans ce projet, plusieurs modèles ont été envisagés afin de bien répondre à la problématique exposée. Ces modèles ont été construits à partir d une structure hiérarchique proposée par Frees et Valdez (2008) dont un résumé sera présenté au chapitre 2. Ce modèle permet d incorporer la corrélation qui peut exister entre les sévérités et les fréquences des réclamations pour différentes garanties présentes dans une police d assurances. Le premier objectif de ce mémoire est d ajuster cette structure à la banque de données d assurance automobile de la compagnie en Ontario. Si la structure proposée par Frees et Valdez s avère inadéquate, quelques modifications y seront apportées afin qu elle soit la plus représentative possible. Afin de valider l utilisation de la structure de Frees et Valdez, certaines analyses préliminaires seront présentées au chapitre 3. À partir de celles-ci, il sera alors plus facile de proposer des structures de modèles qui sont appropriées à notre problématique. Les différentes structures utilisées dans le projet sont décrites au chapitre 4, où la théorie sous-jacente aux différents modèles proposés sera exposée. De plus, une liste des différentes applications actuarielles de ces modèles sera présentée. Les résultats concrets obtenus à partir des modèles seront présentés au chapitre 5. Le deuxième objectif du mémoire consiste à appliquer une approche bayésienne appropriée pour l une des structures utilisées dans ce projet. Le but est de développer un algorithme de simulation par chaîne de Markov afin d obtenir les lois a posteriori et prédictives applicables à la base de données de l Ontario. Cette approche bayésienne, ainsi que la théorie s y rattachant, est expliquée au chapitre 6.
Chapitre 2 Revue de la littérature Il existe une multitude de modèles actuariels permettant d obtenir des prévisions fiables des montants de futures réclamations à partir de différentes observations faites sur un assuré. Parmi les informations utiles aux modèles actuariels, on retrouve notamment les caractéristiques de l assuré (âge, sexe, etc.), les caractéristiques du véhicule assuré (marque et modèle du véhicule, cylindrée du moteur, etc.), le type d assurance, ainsi que les réclamations effectuées dans le passé. Ces différentes observations sont souvent connues pour chaque année de validité du contrat d assurance. Le modèle qui sert de base à l élaboration de ce projet est celui proposé par Frees et Valdez (2008). Ces auteurs se sont intéressés aux trois types de réclamations qui peuvent être effectuées dans le cadre d une demande d indemnisation, soient : les blessures à une tierce partie ; les dommages subis par l assuré, ce qui inclut les blessures de l assuré, les dommages subis par le véhicule de l assuré, l incendie du véhicule, le vol du véhicule ; les dommages causés à une propriété (véhicule, etc.) appartenant à une tierce partie. Leur objectif était d établir un modèle qui permette de prédire un montant pour chaque type de garantie impliquée. Par comparaison, les modèles traditionnels visent seulement à fournir une prévision du montant global de la réclamation, c est-à-dire la somme des garanties impliquées. Pour atteindre leur but, Frees et Valdez ont proposé de travailler avec un modèle hiérarchique à trois composantes qui correspondent respectivement à la fréquence, au type et à la sévérité des réclamations.
Chapitre 2. Revue de la littérature 5 Les données utilisées par Frees et Valdez proviennent du Bureau de l Assurance Générale (GIA) de Singapour. Il s agit d une organisation regroupant la majorité des compagnies d assurances générales de cette région. Les observations utilisées proviennent de chaque police d assurance qui était valide entre les mois de janvier 1993 et décembre 2001, soit une période de neuf ans. Les observations proviennent de trois bases de données : les polices d assurance, les dossiers de réclamations et les dossiers d indemnisation. Les dossiers des polices d assurance permettent de connaître les différentes caractéristiques du véhicule et de l assuré, ainsi que la période où l assurance a été valide. Les dossiers de réclamations permettent d obtenir le nombre d accidents pour lesquels l assuré a effectué une réclamation. Finalement, les dossiers d indemnisation permettent de connaître les montants payés pour chaque type de réclamation. Frees et Valdez n ont considéré que les polices d assurance où seul un véhicule était assuré. Ceci représente environ 90% des polices d assurance de l ensemble des compagnies étudiées. Donc, l unité d observation pour leurs analyses était un véhicule assuré par l une des neuf compagnies d assurances pendant une année comprise entre 1993 et 2001. Afin de s assurer que chaque type de réclamation était possible pour chaque demande d indemnisation, seules les polices d assurance comprenant une couverture complète ont été considérées ; une couverture complète comprend une assurance pour chaque type de réclamation, tandis qu une couverture partielle peut ne couvrir que les dommages commis à une tierce partie. 2.1 Structure des données Pour faciliter la compréhension des données, nous employons la même notation que Frees et Valdez (2008). Tout d abord, chaque véhicule admissible assuré par la compagnie d assurances est dénoté par i et chaque année entre 1993 et 2001 par t. Pour chaque unité d observation it, les différentes variables réponses observées sont les suivantes : N it, le nombre de demandes d indemnisation effectuées durant l année t pour le véhicule i ; M it,j, le type de réclamation pour chaque demande d indemnisation, j = 1,...,N it ; C it,jk, le montant de chaque type de réclamation, k = 1,2,3 et pour chaque demande d indemnisation, j = 1,...,N it. Lorsqu une demande d indemnisation est déposée, elle peut être constituée d une seule réclamation ou d une combinaison de plusieurs types de réclamations. Comme il
Chapitre 2. Revue de la littérature 6 y a trois types de réclamations dans les données considérées par Frees et Valdez, il y a sept possibilités différentes de combinaisons de ces types, à savoir : les trois types de réclamations individuelles, trois combinaisons formées par deux types de réclamations, et la combinaison regroupant les trois types de réclamations. Un autre aspect important que Frees et Valdez ont relevé dans leur base de données est la présence d une franchise pour la réclamation des dommages subis par l assuré. En effet, lors d une demande d indemnisation, le montant réclamé pour les pertes subies par l assuré peut être inférieur à la valeur de la franchise. Frees et Valdez ont donc défini C it,2k comme étant le montant excédant la franchise d it, et celui-ci est posé égal à zéro si le montant de la réclamation est inférieur à la valeur de la franchise. Par conséquent, le montant de la réclamation pour les pertes subies par l assuré est une variable censurée par la valeur 0. De plus, toutes les caractéristiques du véhicule assuré, ainsi que celles de la personne assurée, sont contenues dans le vecteur x it où x it = (x it1,..., x itp ). Une autre variable importante du jeu de données est la durée d exposition du véhicule à risque pendant une année donnée. Cette variable, dénotée e it, est mesurée en fraction d année. L ensemble des informations contenues dans le jeu de données peut donc être résumé comme suit : {d it, e it, N it, M it, C it, x it ; t = 1,..., T i ; i = 1,..., n}, où M it est un vecteur de N it valeurs identifiant le type de garanties impliquées et C it est la matrice de dimensions 3 N it des montants de chaque type de réclamation de la police i lors de l année t. Si aucune réclamation n a été faite pour la police i lors de l année t, on impute la valeur 0 à M it et C it. La base de données comprend n = 96 014 véhicules assurés où le i ème véhicule a été observé T i années entre 1993 et 2001 ; un véhicule peut donc avoir été observé pendant un maximum de neuf années. Le jeu de données totalise 199 352 observations, pour une moyenne de 2.08 observations par véhicule assuré. À l examen du facteur d exposition e it, Frees et Valdez ont conclu que les véhicules étaient observés sur une moyenne de 1.29 années.
Chapitre 2. Revue de la littérature 7 2.2 Modèle Le modèle utilisé par Frees et Valdez comporte trois composantes. La première sert à établir la fréquence des demandes d indemnisation qui seront effectuées par l assuré dans une année donnée. La deuxième vise à modéliser les types de réclamations qui seront incluses dans la demande d indemnisation effectuée par l assuré. Finalement, la troisième modélise le montant qui sera versé pour chaque type de réclamation de chaque demande d indemnisation déposée par l assuré. On peut donc exprimer la distribution conjointe de ces trois composantes de la façon suivante : f(n, M, C) = f(n) f(m N) f(c M, N), Conjointe = (Fréquence) (Type de réclamations sachant la fréquence) (Sévérité des réclamations sachant leur type et leur fréquence). Frees et Valdez ont analysé chaque composante indépendamment des deux autres. Il peut exister une corrélation entre le nombre de demandes d indemnisation effectuées dans une année, le type de réclamation, ainsi que le montant accordé pour chaque réclamation. Toutefois, cette corrélation n a pas été mesurée et n a pas été prise en compte dans leur analyse. De plus, Frees et Valdez avaient choisi préalablement des covariables, toutes présentes dans le vecteur x, qui étaient communes à la fréquence, aux types et à la sévérité des réclamations. Ceci avait pour but de faciliter la présentation de leur modèle. Toutefois, ils ont décidé de n utiliser, dans chaque composante du modèle, que les covariables qui avaient un effet significatif. 2.2.1 Composante 1 : Fréquence des demandes d indemnisation Les modèles de prévision de la fréquence des demandes d indemnisation ont fait l objet de multiples analyses dans la littérature actuarielle. Pour leurs analyses des données de Singapour, Frees et Valdez ont décidé d utiliser des modèles standards de dénombrement avec effets aléatoires (Frees, 2004). Parmi les modèles considérés pour cette étude, on retrouve notamment un modèle de Poisson et un modèle binomial négatif, avec ou sans la présence d effets aléatoires.