DM28 Moteur et détente de l hélium

DM28 Moteur et détente de l hélium I Cycle moteur [Véto 200] Attention : une grande attention sera portée à la qualité des applications numériques les donner avec 3 ou 4 chiffres significatifs) Un moteur ditherme fonctionne entre deux thermostats P selon un cycle constitué de deux transformations adiabatiques réversibles et de deux transformations isochores. Les températures des thermostats sont source froide) et CH source chaude) avec < CH. Le cycle est décrit C CH par n moles de gaz supposé parfait de capacité thermmique molaire à volume constant m constante. Pour ce gaz, D le rapport γ de la capacité thermique molaire à pression constante C Pm et de m est égal à,4. A Les différentes transformations du cycle sont : - A : compression adiabatique réversible de durée t; - C : compression isochore par contact du gaz avec la source chaude par l intermédiaire des parois du cylindre qui V =V A =V D V le contient pendant une durée t ; - C D : détente adiabatique réversible de durée t; - D A : détente isochore par contact du gaz avec la source froide par l intermédiaire des parois du cylindre qui le contient pendant une durée t 2. On ne tiendra pas compte de la capacité thermique du cylindre contenant le gaz. Chaque grandeur pression P, volume V et température du gaz en un point du cycle sera indicée par la lettre de ce point. On notera α le rappport volumétrique V A V = V D V C = α. Données : = 350 K; CH = 00 K; α = 0. Constante des gaz parfaits : R = 8,34 J.K.mol ; n = 0,05 mol. t =,00.0 2 s; t = 4,43.0 2 s; t 2 = 3,45.0 2 s. ) Établir la relation de Mayer. En déduire les expressions de m et C Pm en fonction de R et de γ. A.N. : calculer C Pm et m. 2) Montrer que pour une transformation isentropique réversible d un gaz parfait de rapport γ constant, on a la relation PV γ = Cte. En déduire l expression littérale de en fonction de A, α et γ, ainsi que celle de D en fonction de C, α et γ. A.N. : calculer et D sachant que A = 390 K et C = 000 K. 3) Déterminer, en fonction de n, R, A, C, α et γ, les expressions littérales : - du transfert thermique Q C reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source chaude; - du transfert thermique Q F reçu par le gaz, pendant la durée du cycle, de la part de la source froide. A.N. : calculer Q C et Q F. 4) Déterminer, en fonction de n, R, A, C, α et γ, l expression littérale du travail W reçu par

Cycle moteur et détente de l hélium 202-203 le gaz pendant la durée d un cycle. Quelle est la puissance moyenne P de ce moteur? A.N. : calculer W et P. 5) Définir le rendement η de ce cycle moteur. Déterminer l expression littérale de η en fonction uniquement de α et de γ. A.N. : calculer η. 6) Démontrer l expression littérale de la valeur maximale η max du rendement prévue par le théorème de Carnot? A.N. : calculer η max. Comparer η et η max. Que peut-on en conclure? 7) Déterminer, en fonction de n, R, A, C, α et γ, les expressions littérales S A, S C, S CD et S DA, de la variation d entropie du gaz pour les quatre transformations du cycle. A.N. : calculer S DA et S C. 8) Quelle est la variation d entropie du gaz au cours d un cycle? 9) Déterminer, en fonction de n, R, A, C, CH, α et γ, la variation d entropie S CH de la source chaude. A.N. : calculer S CH. 0) Déterminer, en fonction de n, R, A, C,, α et γ, la variation d entropie S FR de la source froide. A.N. : calculer S FR. ) Quelle est la variation d entropie S, au cours d un cycle, du système constitué de l ensemble des sources de chaleur et du gaz? A.N. : calculer S. Commenter le résultat. 2) Que les transferts thermiques aient lieu avec l une ou l autre des sources, on suppose que, à partir de l instant t et pendant une durée infinitésimale dt, ils sont de la forme : { δqc = λ CH t)).dt au cours de la transformation C δq F = λ t)).dt au cours de la transformation D A t) étant la température du gaz, supposée uniforme, à la date t et λ une constante positive. On prendra λ = 4,5 usi. 2.a) Quelle est l unité de λ, exprimée en fonction des unités de travail, de température et de temps du système international? 2.b) Quelle est l unité de λ, exprimée en fonction des unités fondamentales du système international? 3) On pose τ = nm λ. Déterminer la relation entre, A, D, τ et t 2. Quelle est l unité fondamentale de τ? Que représente τ? 4) Déterminer la relation entre CH,, C, τ et t. 5) Déterminer les valeurs limites A,lim et C,lim de A et C lorsque t et t 2 tendent vers l infini. 6) Représenter le cycle moteur étudié dans le diagramme entropique en justifiant théoriquement les allures des courbes représentatives de chaque transformation. Y faire également apparaître les isothermes CH et. 2 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. PSI

202-203 Cycle moteur et détente de l hélium II Détente de l hélium [ENAC 2006, q. 9-24] Une enceinte cylindrique fermée par un piston, mobile sans frottement, contient 500 g d hélium gazeux, monoatomique, de masse molaire M = 4 g.mol. Dans l état ) initial, le volume de l enceinte est V = 00 L, et le gaz, supposé parfait, est à la température = 600 K. On rappelle que l énergie interne de n moles de gaz parfait monoatomique à la température s écrit : U = 3 2 nr, où R = 8,3 J.K.mol désigne la constante des gaz parfaits. ) Calculer la capacité thermique massique à volume constant c V de l hélium : A) c V =,38 kj.k.kg ) c V = 2,9 kj.k.kg C) c V = 3,2 kj.k.kg D) c V = 5,9 kj.k.kg 2) Par déplacement du piston, le gaz subit une détente isotherme, supposée réversible, qui le conduit à l état 2) caractérisé par un volume V 2 = 250 L. Calculer la pression P 2 du gaz dans ce nouvel état : A) P 2 = 2,49.0 6 Pa ) P 2 = 2,49.0 3 Pa C) P 2 = 9,97.0 6 Pa D) P 2 = 9,97.0 3 Pa 3) Quel est le travail W 2 reçu par le gaz au cours de cette évolution isotherme? A) W 2 = 2280 kj ) W 2 = 57 kj C) W 2 = 57 kj D) W 2 = 2280 kj 4) On envisage une nouvelle évolution réversible, constituée d une détente adiabatique entre l état ) et un état intermédiaire 3) de volume V 3 = V 2, suivie d un chauffage isochore entre l état 3) et l état final 2), défini précédemment. Déterminer la température 3 de l état intermédiaire : A) 3 = 326 K ) 3 = 46 K C) 3 = 866 K D) 3 = 05 K 5) CalculerletravailW 32 reçuparlegazaucoursdesévolutionsuccessives:) 3) 2): A) W 32 = 287 kj ) W 32 = 427 kj C) W 32 = 44 kj D) W 32 = 787 kj 6) Déterminer la variation d entropie S du gaz entre l état ) et l état 2) : A) S = 3807 J.K ) S = 952 J.K C) S = 952 J.K D) S = 0 J.K 7) Représenter dans le diagramme de Watt les trois états thermodynamiques ), 2) et 3)) ainsi que les courbes des trois évolutions étudiées ) 2), ) 3) et 3) 2)). On prendra soin de faire apparaître P, P 2, V et V 2. 8) Établir, pour un état intermédiaire {S, } de la transformation isochore réversible entre 3) et 2), l expression donnant la température en fonction de l entropie S, de S, de 3 et de capacité thermique à volume constant). 9) Représenter dans le diagramme entropique les trois états thermodynamiques ainsi que les courbes des trois évolutions étudiées. On prendra soin de faire apparaître, 3, S et S 2. Qadri J.-Ph. PSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 3

Cycle moteur et détente de l hélium 202-203 Solution I. Cycle moteur ) Cf Cours : C Pm m = R relation de Mayer, pour un GP). C Pm = γr γ = 29,0 J.K.mol et m = R γ = 20,78 J.K.mol. 2) Une transformation isentropique réversiblé étant une transformation quasi-statique, à entropie constante, on peut appliquer la première identité thermmodynamique, pour un gaz parfait vérifiant donc la premier loi de Joule) : 0 ds = du GP +PdV d = nm +nrdv V = nr dln +γ )dlnv) γ On én déduit un des trois relation de Laplace pour un gaz parfait subissant une isentropique réversible =adiabatique réversible) : V γ = Cte ; soit, puisque PV = nr : PV γ = Cte comme A V γ A = V γ Donc,, on en déduit : = A α γ = 979,6 K et comme D V γ D = γ C, on en déduit : D = C α γ = 398, K 3) La transformation C étant une isochore et concernant un gaz parfait qui vérifie donc la première loi de Joule) : Q C = Q C,V = U C,GP = nm C ) soit : Q C = nr γ C A α γ ) = 2,6 J De même : Q F = Q D A,V = U D A,GP = nm A D ) soit : Q F = nr γ A C α γ ) = 8,43 J 4) D après le premier principe de la hermodynamique { appliqué au gaz subissant un cycle, 0 l énergie interne étant fonction d état : U = soit : W = Q W +Q C +Q C Q F, d où : F W = nr [ A α γ ) + C α γ )] W = 2,74 J et P = = 28,9 W γ 2 t+ t + t 2 5) η = grandeur utile grandeur investie = W Q C Soit, d après le premier principe : η = + Q F Q C, ce qui conduit à : η = α γ = 60,2% 6) Cf Cours : Pour le cycle de Carnot entre deux thermostats CH et le rendement s écrit : η max = CH = 68,2% Commentaire : η max > η. On vérifie que le cycle réel est un cycle irréversible et que le cycle de Carnot correspond au rendement maximal d un cycle moteur fonctionnant entre les deux thermostats considérés. 7) S A = S CD = 0 transformations isentropiques) La transformation C étant une isochore - concernant un gaz parfait qui vérifie donc la première loi de Joule) - quasi-statique puisque représentable dans le diagramme de Clapeyron), on peut appliquer Premier Identité hermodynamique. C C d On obtient : S C = ds = nm +nr dv V = nr γ ln C = nr γ ln C A α γ 4 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. PSI

202-203 Cycle moteur et détente de l hélium [ S C = nr γ ln C A ) ] lnα = 2,38.0 2 J.K γ ln A C α γ ) ] +lnα = 2,38.0 2 J.K De même, pour la transformation D A, on a : S DA = nr [ S DA = nr γ ln A 8) Par propriété d une fonction d état, sur un cycle : S = S A S A = 0. Les expressions littérales précédents permettent de le vérifier puisque : S = S A + S C + S C D + S D A = 0 C 9) Puisqu un thermostat subit une transformation réversible, par application du deuxième principe : S CH = és CH = Q SC = Q C = nr CH CH γ. Aα γ C =,924.0 2 J.K. CH 0) De même : S FR = és FR = Q SF = Q F = nr γ. Cα γ A = 2,407.0 2 J.K. ) L entropie étant une fonction d état extensive, elle est également, en thermodynamique classique, additive. Donc : S = S + S FR + S CH = 4,83.0 3 J.K Commentaire : On vérifie que le cycle étudié est irréversible puisque S = é S + p S > 0. 2) uλ) = J.K.s = kg.m 2.s 3.K 3) δq F = δq F,V = du GP = nm d = λ ).dt, soit : d dt + τ = τ A D nm λ. d = t2 0 ou encore : FR A D dt τ ln = t 2 t 2 = τ ln D A Commentaire : L équation différentielle qu on a pu écrire faire apparaître τ = nm comme λ homogène à un temps unité : la seconde), plus précisément il s agit de la durée caractéristique de la transformation étudiée. CH 4) De même δq C = nm d = λ CH ).dt, soit : t = τ ln CH C 5) A,lim = RF et C,lim = CH CH 6) La première identité thermodynamique pour une éqs isochore d un GP s écrit : ds = du + PdV d = +nr dv V, soit ) : S S S = exp = Kexp pour C nm ) ) S SD S = D exp = K exp pour D A nm Ainsi, les courbes représentatives de transformations isochores sont des portions d exponentielles croissantes dans le diagramme entropique. A S A =S C D S C =S D S Qadri J.-Ph. PSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 5

Cycle moteur et détente de l hélium 202-203 II. Détente de l hélium Rq : n = m M = 25 mol ) U = 3 2.nRt =. e loi de Joule) d où = m.c V = 3 2.nR Soit : c V = m = 3 2. R M = 3,2 kj.k.kg Rép..C) 2) P 2 = nr 2 V 2 = m M.R V 2 = 24,9 bar = 2,49.0 6 Pa Rép. 2.A) 3) W 2 = δw = a) : QS* car réversible, donc P ext = P b) : car GP c) : car isotherme = Cte = Soit W 2 = nr.ln = P 2 V 2.ln V P ext.dv = a) P.dV = b) V ) = 57 kj Rép. 3.) nr V.dV dv =c) nr V 4) Pour un Gaz Parfait Monoatomique, connaissant la Relation de Mayer : γ = C P = +nr = 5 2 nr 3 2 nr = 5 3,67 Pour la transformation ) 3), le système étant un Gaz Parfait subissant une adiabatique réversible donc isentropique), on peut lui appliquer les lois de Laplace, soit : V γ = Cte, i.e. : V γ = 3 V γ 3 γ V D où : 3 =. = 326 K Rép. 4.A) V 3 5) W 32 = W 3 +W 32, avec : W 32 = δw = Pext. dv = 0 isochore 3 3 W 3 = a) U 3 Q 3 = b). 3 ) = c) 3 2.nR. 3 ) Donc : W 32 = W 3 = 3 2.m M. 3 ) = 427 kj Rép. 5.) a) : e Principe + adiabatique b) : GP et e loi de Joule c) : GPM 6) S = S rév = nr.ln V ds rév = a) du +P.dV Car : a) : e Identitté hermodynamique b) : e loi de Joule et Équation d état d un GP = b).d nr.dv + V = 3 ) 2.nR. 2 ln + D où : S 2 = nr.ln V ) = 952 J.K Rép. 6.C) 6 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. PSI

202-203 7) 9) Cycle moteur et détente de l hélium P P 2 P ) isentr. 2) isoch. ) isentr. isotherme isoch. 2) 3) 3 3) V V 2 V S S 2 S 8) Pour une transformation isochore élémentaire, la e Identité hermodynamique donne, pour un GP vérifiant la e du +P. dv d loi de Joule : ds = = Donc, en sommant entre l état 3) {S 3, 3 } et un état thermodynamique intermédiaire {S, } sur l isochore réversible 3) 2), on obtient : S S 3 =.ln Or, comme S 3 = S ) 3) est une adiabatique réversible, donc une isentropique), on S S obtient : = 3.exp 3 Qadri J.-Ph. PSI http://atelierprepa.over-blog.com/ 7