POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - 1
Chapitre 5 : Energie potentielle Energie mécanique Systèmes conservatifs Introduction : L énergie potentielle d un corps est en quelque sorte une énergie «cachée». Lorsqu on étire un ressort, celui-ci emmagasine de l énergie ; même immobile dans cette position d étirement, cette énergie est là, prête à être restituée. De même, lorsqu on élève un corps par rapport à sa position de repos (balle de tennis prête à être lâchée d une certaine hauteur), ce corps, bien qu immobile, possède une certaine énergie «cachée», c est-à-dire que si on le laisse libre, il ne va pas rester immobile, mais va se mettre spontanément en mouvement et restituer cette énergie sous forme d énergie cinétique. Notons également que lorsque ce corps a été surélevé d une certaine hauteur (c est-à-dire que la force qui a élevé ce corps a «lutté» contre les forces de pesanteur), même maintenu immobile les forces de pesanteur sont encore là, le corps est encore en interaction avec la Terre L énergie potentielle d un corps est donc une certaine forme de l énergie, liée à la position du corps par rapport à sa position de repos ou à son interaction avec un autre système. I. Energie potentielle de pesanteur : Définition : c est l énergie que possède un corps en interaction avec la Terre, dans une région où g peut être considérée comme constant. L énergie potentielle de pesanteur d un corps ne dépend que de l altitude de son centre d inertie G. m : masse de l objet (en kg) z : altitude du centre d inertie par rapport à une altitude de référence choisie (z = 0) g : valeur de la pesanteur ( ) Remarques : cette relation est valable pour un axe [Oz) ascendant ; si l axe [Oz) est choisi comme descendant, alors :. Pour éviter les erreurs de signe, vérifier que lorsque G s élève, son E pp augmente ; lorsque G descend, son E pp diminue. Lorsque les déplacements ne sont plus uniquement localisés à la surface de la Terre, g luimême varie avec l éloignement (cas des satellites) ; on parle alors d énergie potentielle gravitationnelle ( ; voir chapitre Satellites) 2
Variation de l énergie potentielle de pesanteur : Lorsque la position d un corps varie d une altitude z A à une altitude z B, la variation d énergie potentielle de G est égale à l opposé du travail du poids : Un travail moteur diminue l d un corps, un travail résistant l augmente II. Energie mécanique : L énergie mécanique d un corps est la somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle (de pesanteur ou autre) que possède ce corps ; si le système n est soumis qu à la pesanteur, l énergie potentielle est uniquement sous forme d énergie potentielle de pesanteur et l on a alors : III. Systèmes conservatifs : En l absence de frottements, l énergie mécanique d un corps est constante ; Loi de conservation de l énergie : «L énergie totale de tout système isolé du reste de l Univers reste constante, mais l énergie peut être transformée d une forme à une autre à l intérieur du système» l énergie cinétique se transforme en énergie potentielle et inversement. En l absence de frottements et de toute autre force que celle de la pesanteur, on a donc, entre deux états A et B : 3
Exemple : si l objet est lâché de A sans vitesse initiale et que l on considère les frottements comme négligeables, quelle est la vitesse atteinte en B? Or IV. Systèmes dissipatifs : En présence de frottements, l Em d un solide diminue, sa variation est égale au travail des forces de frottements qui lui sont appliquées : Et l énergie du système est perdue sous forme d énergie thermique. Remarque : Un système isolé possède une quantité d énergie totale finie et constante Un système pseudo-isolé n a pas forcément une énergie mécanique constante 4
Chapitre 6 : 2 ème et 3 ème Lois de Newton - Mouvements plans dans le champ de pesanteur terrestre - I. Accélération accélération moyenne : la variation de vitesse par unité de temps définit l accélération = accélération instantanée : c est la variation de vitesse pour un temps extrêmement court ; = = Remarque : expérimentalement, on peut mesurer l accélération grâce à une chronophotographie : II. 2 ème et 3 ème Lois de Newton a) Enoncé de la 2 ème Loi : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au solide est égale au produit de la masse m du solide par le vecteur accélération du centre d inertie : 5
Remarques : validité de la 2 ème Loi : si v < 0,14 c (c : célérité de la lumière dans le vide) ; sinon il faudrait raisonner dans le cadre de la relativité restreinte (Hors-Programme) si =, alors =, donc et le mouvement est rectiligne uniforme ; or, si =, : on retrouve la 1 ère Loi la 2ème Loi de Newton est aussi appelée : Relation Fondamentale de la dynamique (RFD), ou : Théorème du Centre d Inertie (TCI) b) 3 ème Loi de Newton, ou : loi des actions réciproques, ou : Principe de l action et de la réaction «Les forces sont toujours une affaire de paire». Autrement dit, si un système a exerce sur un corps B une action mécanique, alors le système b exerce sur le corps A l action mécanique opposée : Ces forces ont la même droite d'action, des sens opposés et la même norme. Exemples : avions à réaction, les moteurs éjectent des gaz qui produisent une poussée, une propulsion sur l avion lui-même ; starting-bloc, l athlète pousse sur le starting-bloc, qui, bien accroché, résiste et «renvoie» la force vers l avant, ce qui propulse l athlète ; recul d un arme à feu lors d un tir, III. Mouvements Plans ; exemple-type : projectile dans le champ de pesanteur a) Equations du mouvement : Exemple-type : projectile M lancé d une hauteur avec une vitesse initiale faisant un angle avec l'horizontale. 6
1. Système : {le projectile} 2. Référentiel : terrestre supposé galiléen 3. Bilan des forces : le poids 4. Dans le référentiel galiléen, la 2 nde Loi de Newton appliquée au projectile donne : Soit : 5. Projection selon les axes du repère [O,x,y) : Comme =, on a, après intégration : Comme =, on a, après intégration : 7
Equations paramétriques (ou horaires) du mouvement de M Selon l axe [Ox), le mouvement est rectiligne uniforme ( Selon l axe [Oy), le mouvement est rectiligne uniformément décéléré ( 1. Grâce à on peut isoler le temps t, c est-à-dire :, expression que l on injecte dans y ; soit : Cette trajectoire est de la forme : trinôme du second degré dont la courbe est un arc de parabole ; la trajectoire suivie par le projectile lancé d une hauteur h est une parabole tronquée b) Portée / Flèche : Portée x P : abscisse du lieu où retombe le projectile Si le lancer se fait sur un plan horizontal, on a au point de portée : y = 0 On est alors amené à résoudre un polynôme du second degré : Remarque : 8
si Attention, si le plan n est pas horizontal mais par exemple incliné d un angle β : Equation du plan incliné : Flèche y F : ordonnée du point de plus haute altitude 9
Remarque : on constate que l abscisse de la flèche est la moitié de celle de la portée : c) Mouvement à une dimension : (Cas particulier plus simple que les mouvements à 2 dimensions, on ne projette que sur un axe) Exemple 1 : On lâche une balle d un pont de 30 m sans vitesse initiale et sans frottements. On prend g = 10 m/s² et on prend comme origine des dates l instant du lâcher, et comme origine de l espace l endroit du lâcher. On se référera à un axe vertical descendant. Au bout de combien de temps la balle touche-t elle l eau? Soit : projection selon :[Oz) 10
Comme =, on a, après intégration : d où : Comme =, on a, après intégration : Remarque : 3 e façon de trouver la formule de la chute libre sans vitesse initiale : Exemple 2 : On recommence la même expérience que l exemple 1 mais on impulse maintenant à la balle une vitesse initiale verticale vers le haut. On prend g = 10 m/s² et on prend comme origine des dates l instant du lâcher, et comme origine de l espace l endroit du lâcher. On se référera à un axe vertical ascendant. Au bout de combien de temps la balle touche-t elle l eau? 11
Soit : projection selon :[Oz) Comme =, on a, après intégration : d où : Comme =, on a, après intégration : 12
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