DEVOIR 2 Exercice 1 : Soit ABCD un quadrilatère quelconque dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Soit I le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de [CD] et L le milieu de [DA]. Etude du quadrilatère IJKL 1. a) Démontrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (AC). b) Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. 2. Dans chaque cas, une ou plusieurs affirmations proposées sont exactes. Le candidat indiquera sur sa copie la référence de la question et la (ou les) lettre(s) correspondant à l (ou aux) affirmation(s) qu il estime exacte(s). Aucune justification n est demandée. a) Si ABCD est un losange, alors IJKL est toujours : A : un parallélogramme B : un losange C : un rectangle D : un carré. b) Si ABCD est un carré, alors IJKL est toujours : A : un parallélogramme B : un losange C : un rectangle D : un carré. 3. Démontrer que si ABCD est un rectangle, alors IJKL est un losange. 4. On suppose désormais que le quadrilatère ABCD est un carré (cf. figure 1). Soit N le milieu de [IJ], P le milieu de [JK], Q le milieu de [KL], M le milieu de [LI]. Démontrer que MNPQ est un carré. 5. a) déterminer l image du triangle DQK par la symétrie axiale de centre O en justifiant votre réponse b) déterminer l image du triangle AIM par la rotation de centre O et d angle 90 qui envoie le point D en C en justifiant votre réponse c) donner les caractéristiques de la transformation par laquelle le triangle MIN a pour image le triangle QKP en justifiant votre réponse d) quelle est la transformation par laquelle le carré ABCD a pour image le carré MNPQ? justifiez votre réponse. A I B M N L J O Q P D K C
Questions complémentaires (4 points) Le document présenté en annexe 1 est extrait d un manuel de CM1 (collection Cap Maths, Editions Hatier, 2004), il comporte deux pages qui ont été réduites. 1. Citer trois types de difficultés que peuvent rencontrer les élèves pour reproduire la figure A à l identique sur papier uni à l aide des instruments usuels de géométrie (règle graduée, compas, équerre). 2. Pour chacune des deux figures A et B : - décrire la chronologie des principales étapes de sa construction qui pourrait être induite par la position de la figure dans sa page. - justifier cette chronologie. 3. Le guide du maître du manuel Cap Maths (collection Cap Maths, pages 46 à 48, Editions Hatier, 2004) propose le déroulement suivant : - la moitié de la classe reçoit la figure A, l autre moitié reçoit la figure B, - la consigne est : «Vous devez reproduire sur papier uni avec vos instruments de géométrie la figure que je vous ai distribuée. La figure reproduite doit être identique au modèle.» - les élèves sont invités à réaliser la tâche prescrite. Le maître dispose de calques de la page «figure A» et de la page «figure B». Proposer deux utilisations différentes de ces transparents pour la suite de l activité.
ANNEXE 1 Figure A Figure B Collection Cap Maths, Éditions Hatier, 2004
Exercice 2 (5 points) On considère deux points A et B du plan distants de 6 cm. 1) a. Le point C 1 est sur le segment [AB] et vérifie la condition BC 1 = 2 AC 1. Quelle est la longueur du segment [AC 1 ]? Justifier. b. Le point C 2, distinct de C 1, est sur la droite (AB) et vérifie la condition BC 2 = 2 AC 2. Quelle est la longueur du segment [AC 2 ]? Justifier. c. Placer, avec une règle graduée, les points A, B, C 1 et C 2 sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. On s'intéresse maintenant aux points C du plan n'appartenant pas à la droite (AB) et vérifiant la condition BC = 2 AC. On appelle x la mesure de AC, l'unité de longueur étant le centimètre. 2) a. Existe-t-il des points C correspondant à la valeur x = 9? Justifier la réponse. Dans le cas d'une réponse positive, construire ces points. b. Existe-t-il des points C correspondant à la valeur x = 5? Justifier la réponse. Dans le cas d'une réponse positive, construire ces points. 3) Calculer la valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle en C. Écrire le résultat sous la forme a 5. 4) Montrer qu'il existe une seule valeur de x pour laquelle le triangle ABC est isocèle. Déterminer cette valeur et placer les points correspondants sur la figure en laissant apparents les tracés nécessaires à cette construction. Question complémentaire (5 points) Annexe 1 : Productions d'élèves Dans une classe de cycle 3 à deux niveaux (CE2/CM1), l'enseignante a proposé, au début du deuxième trimestre, l'activité suivante à l'ensemble de ses élèves afin d'évaluer leurs niveaux respectifs : Consigne de l'enseignante : Écris un texte pour permettre à quelqu'un de construire cette figure sans l'avoir vue. A D B C La figure reproduite ci-dessus n'est pas en vraie grandeur. Sur le modèle fourni aux élèves, le côté du carré avait pour longueur 6 cm. Trois productions d'élèves sont proposées en Annexe 2.
1) On s'intéresse aux productions des élèves de CE2 (élèves A et B). a. Dans les productions des élèves A et B, du vocabulaire géométrique est utilisé, parfois à bon escient, parfois non. Certains mots, qui seraient pourtant utiles, ne sont pas présents. Relever et classer ces mots dans un tableau comme celui ci-dessous (qu'on aura recopié sur la copie) : vocabulaire adapté mal utilisé manquant Elève A Elève B b. Qu'est-ce qui permet de penser que la notion de cercle n'est pas complètement acquise pour les élèves A et B? c. Proposer un exercice qui permettrait à l'enseignante de s'assurer que l'élève B a acquis ou non la compétence «reconnaître un carré». 2) Il est classique de faire valider les messages rédigés par les élèves en faisant construire la figure obtenue par des élèves qui ne l'auraient pas vue (situation d'émission/réception). Donner une difficulté à laquelle on doit s'attendre avec cette modalité. 3) On s'intéresse à la production de l'élève C qui est en CM1. a. Il n'utilise pas le mot carré mais il en connaît certaines propriétés. Au vu de sa production, citer les propriétés du carré qu'il connaît. b. Qu'est-ce qui permet de penser que la notion de cercle est, ou n'est pas, acquise par cet élève? c. Le texte produit par l'élève C conduit-il à une construction exacte? Justifier.
ANNEXE 2 Productions d élèves ÉLÈVE A (CE2) ÉLÈVE B (CE2) ÉLÈVE C (CM1)