De l aversion au risque à l aversion à l ambiguïté vis à vis de la perte

De l aversion au risque à l aversion à l ambiguïté vis à vis de la perte by Q-Hedge Technologies Mathieu Hamel avril 2014 Abstract La théorie de la gestion de portefeuille est en pleine mutation sous l effet conjugué de l avancée de la science en économie comportementale ainsi que de l individualisation des choix d investissement. Nous proposons ici un état de l art de cette discipline. En somme, nous proposons d apporter une réponse innovante aux conséquences néfastes de la prise de décision financière à partir des modèles généralement utilisés comme ceux de Markowitz et de Black-Litterman lorsqu il y a de l incertitude ou lorsque tous les risques n ont pas été révélés. Nous suggérons d utiliser l intelligence artificielle pour analyser l ensemble de ces risques avec cohérence, d utiliser l information disponible sur les marchés dérivés pour obtenir les rendements pour les ETF et ainsi pouvoir s appuyer sur les méthodologies d investissement dits "dans la valeur" et enfin d utiliser la puissance de calcul du HPC (Calcul Haute Performance) pour offrir une gestion des risque individualisée. Mots clés : machine learning; réseau bayésien; gestion de portefeuille; économie comportementale; risque; incertitude; ambiguïté Q-Hedge Technologies est une entreprise du domaine des FinTech (Technologies Financières) qui édite le site MarieQuantier.com.

1 MAXIMISER L ESPÉRANCE DE PERFORMANCE POUR UNE VARIANCE DONNÉE 1 Maximiser l espérance de performance pour une variance donnée Dans le cadre de la théorie actuelle de l allocation optimale de portefeuille, le programme d optimisation consiste à maximiser l espérance de performance pour un risque, défini par la variance, donné. 1.1 Rappels sur la théorie de l allocation de portefeuille Les travaux fondateurs de Markowitz [1], complétés par ceux de Sharpe [2], prix Nobel 1990, puis par Black-Litterman [3], prix Nobel 1997, ont permis de rationaliser la prise de décision d investissement en proposant d appréhender la performance espérée d un portefeuille de titres financiers en fonction du risque présenté par ce dernier, caractérisé par sa variance espérée et l aversion à ce risque. Ils développent la notion de frontière efficiente d investissement. Markowitz raisonne en termes d espérance mathématique et de réduction du risque en fonction de la covariance entre les titres. Sharpe introduit le concept de beta, portefeuille incorporant les comportements de covariance recherchés par Markowitz, afin de pouvoir implémenter plus facilement l approche de frontière efficiente. 1.2 Rappels sur l incertain et l ambiguïté et leurs conséquences sur l allocation d actifs Knight [4] présente la distinction entre les évènements risqués (pour lesquels on connait une loi de probabilité) et les évènements incertains (pour lesquels rien n est connu). Pourtant avant même d aborder l incertain, le paradoxe de Monty Hall [5], la capacité à mener correctement des calculs de probabilité, conditionnelles ou non, offre une difficulté cognitive aux investisseurs individuels. La présence d incertitude impose cependant le recours aux probabilités subjectives pour calculer les performances espérées du programme d optimisation de Markowitz comme dans le cas de Black-Litterman oà le CAPM est utilisé pour définir la distribution de probabilité subjective. L incertitude impose aussi le recours à la caractérisation de l aversion au risque pour définir la fonction d utilité des investisseurs. Cette méthodologie domine encore largement l univers de l investissement comme les normes MIFID ainsi que l exigence de caractérisation du profil de l investisseur en témoigne. Pourtant, il est loin d être démontré que la variance et le programme de Markowitz (y compris dans le cas Black-Litterman) s accommode de la présence de l incertitude.

2 L ABSENCE DE PREUVE D EXISTENCE DE L ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE EN PRÉSENCE D INCERTITUDE 2 L absence de preuve d existence de l espérance mathématique en présence d incertitude 2.1 Liens entre ambiguïté et efficience des marchés Il suffirait de montrer que les marchés sont efficients pour que l existence de l espérance soit acquise. Fama [6] a proposé d étudier l efficience des marché s à partir de l hypothèse d espérance conditionnelle à l information disponible des prix des actifs financiers. Ainsi toute la réflexion de la littérature autour de l efficience des marchés est intimement liée à la connaissance des distributions de probabilité. Le prix des actifs dépend soit des informations fondamentales ("micro efficience") à l entreprise soit au contexte environnemental ("macro efficience"). Or, il n existe aucune preuve que les distributions de probabilité pour calculer l espérance de la performance d un titre financier ne soient stables ni même pérennes. Le premier à s être attaqué à l existence des distributions de probabilité fut Samuelson [7], prix Nobel 1970, en affirmant que le marché était "micro efficient" mais non pas "macro efficient". Si c est "micro efficient" alors c est nécessairement en relation avec soit les résultats soit les dividendes. Pourtant Shiller [7] a démontré que l évolution historique du prix des titres financiers ne pouvait être démontrée par le mouvement des résultats d entreprise ou des dividendes remettant en cause l idée de "micro efficience". Khan [8] et Firth [9] ont apportés au début des années 80 des preuves de "micro efficience" de court terme: annonce fusion acquisition par exemple, ou la publicité de "block trades". Pour synthétiser, Dreman [10] apporte une explication à cette apparente contradiction en remettant en cause l assertion affirmant qu il suffisait de prouver l efficience de court terme pour prouver l efficience. Il pointe ainsi l incapacité de la littérature à établir une méthodologie claire permettant de mesurer l efficience de long terme des marchés, autorisant par la même occasion de douter de l existence de distributions de probabilité mesurables, ne serait-ce que pour la "micro efficience". L absence de preuve d existence de fonctions de distribution de probabilité amène à introduire le concept d ambiguïté. L ambiguïté couvre à la fois les évènements incertains et ceux dont l explicitation des lois de probabilités demande une analyse approfondie et qui sont, par conséquent et à première vue, incertains. En d autres termes, il est parfois possible de lever l incertitude de certains évènements ambigus par la réflexion.

2 L ABSENCE DE PREUVE D EXISTENCE DE L ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE EN PRÉSENCE D INCERTITUDE L ambiguïté permet par conséquent à la fois d expliquer la coexistence de preuve d efficience des marchés de court terme et de profits récurrents de "trading" de la part de certaines banques et de quelques gérants de fonds d investissement. Ce n est pas parce que le marché réagit immédiatement à une annonce, que le prix qui s établit est égal à l espérance de la performance du titre, quelque soit l horizon. En effet, toute l information pourrait être instantanément prise en compte dans la valeur des titres sans que cela n implique que le prix soit pour autant égal à l espérance de la performance actualisée, laissant par la même occasion des opportunités d arbitrage. A noter en aparté que cette remarque ne s adresse pas à tous les domaines de la finance. En effet, l espérance mathématique est pertinente, même en présence d ambigu é, pour la définition du prix des produits dérivés. A ce titre, pour le cas d un market-maker de produits dérivés, il est pertinent d utiliser les probabilités neutres au risque Black, Scholes [11] et Merton [12], prix Nobel 1997, et la théorie du numéraire [13], qui neutralisent la direction des titres financiers ("drift"). Chaque risque du produit dérivé étant couvert ("greeks"), en particulier par le "delta hedging", le portefeuille est immunisé face aux fluctuations du marché. De ce fait, le jeu est répété n fois, chaque jour étant un nouveau tirage de la loterie. Or, précisément, l objectif de l allocation d actifs est de bénéficier de ces mouvements. C est pourquoi, on ne peut justifier la pertinence de l espérance mathématique dans le domaine de l allocation d actifs en observant ce qu il se fait en théorie de la valorisation des produits dérivés. L efficience des marchés n est pas indubitablement démontrée. La question sous jacente finalement revient à se demander s il existe des situations risquées en finance. Nous ne possédons pas de preuve de l existence de distribution de probabilité pour les actifs financiers. La finance est une succession d évènements incertains. De plus à quoi bon utiliser des probabilités en dehors d un jeu répétitif? Les marchés financiers ressemblent plus à une loterie à un coup qui serait pipée de manière aléatoire. Cela se rapproche à l idée de la théorie du chaos [14]. 2.2 Notre solution Nous nous écartons de la théorie du chaos car nous pensons qu il est possible de calculer des probabilités de hausse et de baisse incorporant toute l information disponible et prenant le relais cognitif en utilisant de l intelligence artificeille construit à partir de modèle macroéconomique. Il est plus facile de montrer qu il n existe pas de fonction de densité sur l ensemble des distributions de probabilité que de montrer qu il existe une probabilité de hausse. La seule chose indubitable est que calculer une probabilité de hausse est un exercice moins complexe qu une espérance.

3 AMBIGUÏTÉ, INCERTITUDE ET L IMPOSSIBILITÉ DU PROGRAMME DE MARKOWITZ 3 Ambiguïté, incertitude et l impossibilité du programme de Markowitz Lorsque les lois de probabilité sont connues, environnement risqué, Von Neumann et Morgenstern [15] formalisent la notion d utilité dans "Theory of games and economic behavior". 3.1 Aversion aux évènements extrêmes Allais [16], prix Nobel 1988, présente son fameux paradoxe qui montre l existence de l aversion aux évènements extrêmes : pertes importantes avec une trè s faible probabilité. Cela suffit à invalider l approche en termes d approximation de la distribution de probabilité des rendements à partir de la loi normale et donc d estimer le risque uniquement à partir de la variance. 3.2 L axiomatique de Savage et l utilité espérée Savage déduit ensuite de la formalisation par Von Neumann et Morgenstern de l utilité espérée notamment l axiome d indépendance forte qui fera couler beaucoup d encre. Il présente les conditions d existence du principe de maximisation de l utilité espérée. Savage [17] précise ensuite qu en présence d incertitude, lorsque que les lois de probabilité ne sont pas connues a priori, il est possible d attribuer des probabilités subjectives et ainsi continuer d utiliser la théorie de l utilité espérée. 3.3 Le paradoxe d Ellsberg, biais et probabilités subjectives en présence d ambiguïté Pourtant Ellsberg [18] montre qu il est bien souvent impossible d utiliser les probabilités subjectives. En effet, selon le "paradoxe d Ellsberg", les choix effectués selon les probabilités subjectives ne sont pas cohérentes entre elles et cela serait dû à l aversion pour l ambiguïté. En introduisant la notion d ambiguïté, Ellsberg fait entrer les sciences cognitives dans le champ économique. En effet, la maniè re cérébrale de résoudre l ambiguïté, influence la prise de décision. En d autres termes, le paradoxe d Ellsberg lance un nouveau défi à la théorie d allocation de portefeuille en interpellant sur l aversion à l ambiguïté. 3.4 Le paradoxe de Machina, biais et regret en présence d ambiguïté De plus, en présence d ambiguïté, apparaitrait une certaine subjectivité du résultat qui modifierait la prise de décision. En d autres mots, le regret que peut susciter un résultat impacte lui aussi la prise de décision, c est le "paradoxe de Machina" [19] and [20]. Ce phénomè ne semble être pris en compte, un peu comme la prose de M. Jourdain, par l habitude d appréhender l allocation de portefeuille en termes de "benchmark". Pourtant, cette attitude ne garantit en rien l obtention d un optimum pour l investisseur. Le paradoxe

5 L AVERSION À LA PERTE EN TANT QU ATTITUDE RATIONNELLE EN PRÉSENCE D INCERTITUDE de Machina apporte une preuve supplémentaire de l insuffisance du modè le de Markowitz du fait de l existence de l ambiguïté. 3.5 Notre solution Dans le cadre d une recherche, nous avons utilisé des techniques d intelligence artificielle [21]. Ceci permet d assurer la cohérence des choix de l investisseur vis à vis de l aversion à l ambiguïté et par rapport au regret. 4 Ambiguïté, probabilités de hausse et les sources d incertitude en termes de classes d actifs Une avancée majeure a été effectuée par Tversky et Kahneman [22], prix Nobel d économie 2002, en introduisant les "sources" d incertitude pour intégrer l ambiguïté dans la prise de décision. Les "sources" d incertitude sont des groupes d évènements qui sont générés par des mécanismes similaires d incertitude, ce qui implique qu ils ont des caractéristiques identiques [23]. Les "sources" d incertitude permettent d appréhender les déterminants "macro" des distributions de probabilité telles que définis par Samuelson. 4.1 Notre solution En présence d ambiguïté, les distributions de probabilité sont inconnues soit parce qu elles n existent pas (incertitude) soit parce qu elles n ont pas encore été révélées. Notre solution consiste tout d abord à utiliser l intelligence artificielle pour révéler toutes les distributions de probabilité qui peuvent l être. Lorsque les distributions de probabilité ne peuvent être révélées alors nous nous intétessons, uniquement, à la probabilité de hausse. C est pourquoi, en présence d ambiguïté et pour l allocation de portefeuille, nous proposons d appréhender l évolution des titres financiers en termes de probabilitité de hausse à partir des risques présentés par la "classe d actifs" (actions financières ou d un autre secteur d activité, obligations d entreprise, ou encore de court terme par exemple - "smart beta allocation") à laquelle ils se rapportent [24] et [25]. De plus, en présence d ambiguïté, il n est plus possible de définir le risque à partir de sa seule variance. Par conséquent quelle serait par une meilleure manière de définir le risque. 5 L aversion à la perte en tant qu attitude rationnelle en présence d incertitude Tversky et Kahneman [26] présentent l aversion aux pertes et le "framing effect" comme des biais cognitifs.

5 L AVERSION À LA PERTE EN TANT QU ATTITUDE RATIONNELLE EN PRÉSENCE D INCERTITUDE Pourtant, dans l incertain il est rationnel d agir en fonction du worst case scenario [27], tout simplement parce que c est darwinien : il est essentiel d assurer la survie quelques soient les évènements. De plus une perte est plus certaine qu un gain. Il existe toujours un "Black Swann" [28] possible : impôt, vol,... Il est beaucoup plus probable que quelqu un vienne tenter de vous prendre ce que vous avez que quelqu un vienne vous rendre ce que vous avez perdu. Dans l incertain, maximiser l utilité de sa richesse en T (maturité) revient à maximiser sa richesse en t (maintenant). Si W T suit une loi incertaine alors il est rationnel en T-1 de comparer W T 1 avec le "worst case scenario", soit à 0 dans le pire des cas. L agent rationnel préfè rera tout le temps W T 1 car il est possible que W T soit inférieur. Par récurrence "backward" jusqu à t (maintenant), l utilité ne vaut que min W i, pour tout i appartenant à [t,t ]. D où en présence d incertitude et de non existence de distribution de probabilité alors max E[U(W t )] = mine[mddw t ]. L intelligence artificielle et la logique d investissement dans la valeur permettent de passer (diversification parmi les titres appartenant à une source d incertitude dont la probabilité de hausse est significative et "mean-reversion" entrainée par le "buffer" de la logique d investissement "value"), de Maximun DrawDown (MDD) : MDDW t = (car richesse peut augmenter avant de baisser totalement) à MDDW t < W t. Et donc par conséquent, si l assurance de contrôler le MDD n est pas apportée, alors l utilité retirée jour aprè s jour n augmente jamais. L expérience de vie est déplorable, c est le syndrome Tapie. C est aussi l idée du seuil de résistance à la douleur financière. Dans cette optique l utilité cumulée retirée jour aprè s jour serait supérieure dans la situation 2 par rapport à la situation 1. Les DrawDown seraient alors de gros consommateurs d utilité.

5 L AVERSION À LA PERTE EN TANT QU ATTITUDE RATIONNELLE EN PRÉSENCE D INCERTITUDE De même, la situation 4 apporterait plus d utilité cumulée jour après jour que la 3. Nous pourrions même évoquer un "Syndrome Tapie". L espérance d utilité de sa richesse finale semble très importante. Pourtant tout au long de sa vie, il est probable que l utilité tirée de sa seule richesse ait été bien moindre que qu une richesse moins élevée mais croissante et sans DD.

6 MINIMISER LE CONDITIONAL DRAWDOWN 6 Minimiser le Conditional DrawDown 6.1 Variance, investisseurs institutionnels et particuliers Par souci de praticité, le risque est souvent défini par la quantité statistique : volatilité, qui est l écart moyen par rapport à la tendance d une série temporelle. Si cette quantité est parfaitement adaptée aux investisseurs institutionnels qui cherchent à contrôler le risque de faillite lorsqu un effet de levier est utilisé, elle n est pas pertinente pour les investisseurs individuels qui n utilisent que rarement l endettement pour investir sur les marchés financiers. De plus, en dehors de l évaluation du risque de faillite et de la valorisation des produits dérivés, la volatilité ne présente pas d intérêt car elle ne permet pas de faire le lien entre le risque ressenti et accepté par les investisseurs. Il suffit de se demander soi-même quel est notre degré de tolérance à la volatilité quotidienne calculée sur une année pour immédiatement s apercevoir que nous n avons pas les capacités cognitives pour intuiter cette quantité. En effet, en présence d incertitude, l attitude rationnel est de s exposer à un "upside" si et seulement si le "downside" est contrôlé.

REFERENCES 7 Minimiser le Conditional DrawDown L idée est de transformer le programme d optimisation afin d éviter l aversion pour l ambiguïté aux distributions de probabilité qui n existent pas pour l établir dans un environnement conceptuellement tronqué mais réaliste et risqué (en termes de hausse et de baisse uniquement). Pour répondre aux défis posés par l incertitude, nous proposons de découpler la performance en rendement et en appréciation du capital. En effet, l espérance du rendement est fiable grâce à l information synthétisée par les marchés dérivés [29]. C est le premier objectif de notre programme de recherche. Pour pallier à l impossibilité d appréhender l appréciation du capital en pratique, nous proposons de nous contenter du calcul de la probabilité de hausse et de baisse d une "source de risque" (ie : d une classe d actifs), sans nous intéresser aux amplitudes de ces dernières. Pourtant la définition même d une hausse est subjective car temporelle. En effet, s il est aisé d affirmer vouloir détenir un titre qui a augmenté significativement entre deux dates, il est parfois douloureux de tenir une position face à des fluctuations importantes à la baisse. Il est par conséquent nécessaire d accepter l existence d une deuxième dimension à la définition d une hausse qui serait une fonction du chemin emprunté ("path dependency") par le titre financier. De ce fait, la hausse ou la baisse d un titre devient subjectif et dépend à la fois de son évolution en continu et du seuil de résistance à la douleur financière de l investisseur. En somme, nous proposons de corriger les biais générés par l ambiguïté et la subjectivité qui en découle à partir d un programme d optimisation dans lequel la maximisation de l "upside" s effectue en recherchant les probabilités de baisse pour chacune des sources d incertitude et en demandant à l investisseur de définir en fonction de sa sensibilité à la "path dependency" la variation (hausse ou baisse) des séries représentant l univers d investissement. L incertitude est ensuite réduite au maximum en levant au maximum l ambiguïté relative au calcul des probabilités de baisse des classes d actifs en intégrant toute l information disponible dans de l intelligence artificielle. C est le deuxième objectif de notre programme de recherche. Il est à noter que l individualisation de la définition de hausse et de baisse rend l utilisation du calcul haute performance (HPC) nécessaire. References [1] H. Markowitz, Portfolio selection, The Journal of Finance, vol. 7, no. 1, pp. 77 91, 1952. [2] W. F. Sharpe, Capital asset prices - a theory of market equilibrium under conditions of risk, The Journal of Finance, 1964. [3] F. Black and R. Litterman, Global portfolio optimization, Financial Analysts Journal, 1992.

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