LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions indispensables pour entamer la première S dans de bonnes conditions en mathématiques. Comment utiliser ce livret? Ce livret est à travailler par chaque élève entrant en première S, de préférence durant les dernières semaines du mois d août. J ai oublié une formule, un théorème... Consulter le cahier de cours de Seconde ou le site de l inspection académique de Versailles regroupant la plupart des notions, classées par ordre alphabétique : https ://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/lexique.jsp Comment vérifier mes réponses et ma rédaction? Les élèves pourront et devront poser leurs questions aux professeurs de mathématiques dès la rentrée. Dois-je faire tous les exercices? Il est fortement conseillé de tous les chercher et de rédiger correctement les réponses. Objectifs : A travers les exercices du livret, seront revus les points suivants : 1. Savoir calculer avec des racines carrées.. Savoir résoudre des équations produits. 3. Savoir résoudre des inéquations produits et quotients à l aide de tableaux de signes. 4. Savoir résoudre un système d équations. 5. Savoir modéliser une situation par une équation, une inéquation ou un système d équations. 6. Savoir et comprendre ce qu est la courbe représentative d une fonction. 7. Savoir déterminer graphiquement, ou par le calcul, les coordonnées des points d intersection de deux courbes. 8. Savoir déterminer graphiquement ou par le calcul les positions relatives de deux courbes. 9. Savoir lire et représenter un tableau de variation. 10. Savoir déterminer les variations des fonctions polynômes de degré et des fonctions homographiques. 11. Savoir interpréter un problème lié aux fonctions. 1. Savoir déterminer l équation réduite d une droite. 13. Savoir déterminer les coordonnées d un point dans un repère quelconque. 14. Savoir montrer de façon analytique ou vectorielle le parallélisme de droites ou l alignement des points. 15. Savoir déterminer et interpréter un intervalle de confiance et un intervalle de fluctuation. 16. Savoir déterminer la probabilité d un événement, d une intersection ou d une réunion d événements. 17. Savoir écrire des relations dans un triangle en utilisant les outils du collège. 18. Savoir démontrer en utilisant différentes méthodes. IND 1
Exercice 1 : 1. Résoudre dansrles équations suivantes : (5x+3)(x 1) (3x+5)(6x 3)=0 (6x 3) (x 1)=0 (4x+3) = (5x 1). Résoudre dansrles inéquations suivantes (5x+3)(x 1) x 4 < 0 16a 4 9<0 3x 16 5x 3x+8 Exercice : On considère la fonction f définie surrpar f (x)=x + 16x+14. 1. Montrer que f (x)=(x+4) 18. (Cette forme s appelle forme canonique de f (x).). En déduire que f admet un minimum. 3. Factoriser f (x) à l aide d une identité remarquable. 4. Résoudre les équations suivantes, en utilisant la forme de f (x) la plus adaptée : f (x)=0 f (x)=14 f (x)= 0 5. Interpréter graphiquement les solutions de f (x)=0. Exercice 3 : On considère la fonction f définie surrpar f (x)= x + 4x+11 1. Montrer que f (x)= (x 1) + 13, pour tout x der.. Déterminer les variations de f, puis donner son tableau de variations. 3. Montrer que si x [1 ; 3] alors f (x) [5 ; 13]. 4. La réciproque est-elle vraie? Justifier. Exercice 4 : Soit f la fonction définie par f (x)= x 5 x 3. 1. Quel est l ensemble de définition de f?. Démontrer que, dans cet ensemble, f (x)=+ 1 x 3. 3. Déterminer les variations de f sur ]3;+ [ : (a) en utilisant la définition (b) par encadrements successifs. Exercice 5 : On considère une fonction f dont le tableau des variations est le suivant : x 7 5 1 0 1 5 7 5 f 0 3 1 0 1 1. Comparer en justifiant : f ( 6) et f (0.5) f (3) et f (4) f ( 5.5) et f (1.5) f ( 5) et f (5). IND
. Donner un encadrement de f (x) pour x [ 5 ; 5]. 3. Tracer la représentation graphique d une fonction vérifiant le tableau de variation précédent. Exercice 6 : On considère les expressions définies pour tout x Rpar : A(x)=(x 3)(x ) et B(x)=x 3 3x 3x+9 1. Montrer que B(x)=(x 3)(x 3), pour tout x der.. Ecrire B(x) sous la forme d un produit de facteurs du premier degré. 3. En déduire les solutions de B(x)=0. 4. Résoudre A(x)<B(x) et A(x) B(x) 0. Exercice 7 : Gaël entraîne son fils, en classe de seconde, pour devenir un grand champion comme lui. Il lui explique que, pour effectuer un service, le joueur lance sa balle verticalement et la frappe lorsqu il la juge à bonne hauteur. Voici le schéma qu il lui expose : Gaël dit à son fils que, grâce aux lois de la physique, on sait que la trajectoire de la balle a pour équation y= f (x) où f est une fonction définie par f (x)= 5 v 0 x + avec v 0 la vitesse en mètres par seconde (m.s 1 ) de la balle au moment de la frappe. 1. Quelle opération permet de convertir une vitesse exprimée en mètres par seconde en une vitesse exprimée en kilomètres par heure (km.h 1 ).. Si le fils de Gaël sert à 108km.h 1, à combien sert-il en mètres par seconde? Cette vitesse permet-elle à la balle de passer le filet? 3. Interpréter, dans le contexte de l exercice, f (1)=0.7, et la recherche de solution f (x)=0. 4. Pour que le service soit valable, Gaël explique à son fils que la balle doit retomber moins de 6 m derrière le filet. Pour quelles valeurs de v 0 le service est-il signalé «juste»? Exercice 8 : Soient f et g deux fonctions définies surr\{3} respectivement par f (x)=x 3x 1 et g(x)=1+ x 3 dont on note P et H les représentations graphiques respectives. On donne ci-dessous les représentations graphiques de ces deux fonctions. IND 3
3 1 3 1 1 3 4 5 1 3 4 1. Résoudre graphiquement les équations suivantes, en décrivant les méthodes : f (x)= f (x)= g(x). Résolutions algébriques : (a) Déterminer les antécédents éventuels (s il en existe) de 1 par f et de 1 par g. (b) Sachant que x x 1=(x 1), démontrer que M(x, y) P H si et seulement si (x 4)(x x 1) x 3 = 0 On rappelle quep H désigne l intersection des courbespeth. (c) En déduire les abscisses des points dep H. (d) Déterminer les positions relatives depeth. Exercice 9 : Un canot automobile met cinq heures pour aller, par voie fluviale, de la ville A à la ville B. En conservant la même vitesse propre v p (vitesse du canot par rapport à l eau), il met sept heures et trente minutes pour le trajet inverse. 1. Combien de temps un radeau, se déplaçant à la vitesse du courant v c, mettrait-il pour relier les deux villes?. Si la vitesse du canot augmentait de 1.6 km.h 1 il mettrait 45 minutes de moins pour aller de B vers A. En déduire v p et v c. Exercice 10 : Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Justifier votre réponse. 1. Si A et B sont deux évenements d un universω, alors P(A B) est toujours supérieur à P(A B).. P(A) est toujours supérieur à P(Ā). 3. Il est possible d avoir P(A)=0, 4, P(B)=0, 6 et P(A B)=0, 5. 4. Deux évenements complémentaires sont incompatibles. 5. Deux évenements incompatibles sont complémentaires. IND 4
Exercice 11 : On choisit au hasard un nombre dans l ensemble des nombres entiers compris entre 1 et 10. Calculer la probabilité des événements suivants : 1. D : "Obtenir un multiple de.". T : "Obtenir un multiple de 3." 3. C : "Obtenir un multiple de 5." 4. K : "Obtenir un carré parfait." 5. N : "Obtenir un nombre qui n a que deux diviseurs positifs (1 et lui-même)." 6. S : "Obtenir un nombre strictement supérieur à 5." 7. I : "Obtenir un nombre inférieur ou égal à 8." 8. C N ; C N ; K S ; K S. Exercice 1 : Une urne contient 50 jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 50. On choisit au hasard un jeton dans l urne. On considère les événements suivants : A : "Le numéro du jeton tiré est inférieur ou égal à 30." B : "Le numéro du jeton tiré est supérieur ou égal à n.", n étant un entier compris entre 1 et 30. Déterminer n sachant que P(A B) = 0, 1. Exercice 13 : En lançant une pièce équilibrée un certain nombre de fois, on obtient une fréquence de "Pile" égale à 0,4. Cette fréquence appartient-elle à l intervalle de fluctuation au seuil de 95% dans les cas suivants? 1. On a lancé la pièce 30 fois.. On a lancé la pièce 100 fois. 3. On a lancé la pièce 1000 fois. Exercice 14 : Dans une réserve indienne du Canada, on a recensé 46 garçons, parmi les 13 enfants de moins de 3 ans. Peut-on condidérer que le déséquilibre entre le nombre de garçons et de filles de moins de 3 ans est dû au hasard, ou peut-on, comme l on fait les habitants de la réserve, suspecter un lien avec la proximité d usines chimiques polluantes? Exercice 15 : 1. Déterminer l équation réduite de la droite ayant pour coefficient directeur 3 et passant par C( 1 ; 1). Déterminer l équation réduite de la droite passant par A(5 ; ) et B( 1 ; 3). 3. Déterminer l ensemble des points M(x ; y) vérifiant : (3x + 5y + 3)(x y ) = 0 Représenter cet ensemble dans un repère. Exercice 16 : Famille de droites A tout réel m 3, on associe la droited m d équation y= m 1 m 3 x+ 7m+6 m 3. Déterminer m et donner l équation ded m pour que 1. D m passe par A(1 ; 1). D m passe par l origine du repère. 3. D m soit parallèle à l axe des abscisses. IND 5
Exercice 17 : x+3y=7 1. Résoudre système suivant : où x et y sont des réels. 4x y= 10. En déduire les solutions de x 1 + 3y=7 4 On pourra poser X= x 1 y= 10 Exercice 18 : 1 x 1. 1. Dans un repère orthonormé (O; I; J), d unité représentée par 3cm, tracer le cercle trigonométrique de centre O.. Soit a un réel de l intervalle [ π; 0]. tel que cos a= 3. Placer le point M associé à a sur le cercle. 3. Calculer la valeur exacte de sin a. En déduire les coordonnées exactes du point M. 4. Ranger dans l ordre croissant les réels a, 5π 6, 3π 4, π 3 et π. Exercice 19 : Soit ABC un triangle non aplati. On considère les points M, N et I définis par : AM= 1 AB ; 3 CI= 3 CM ; 5 BN= BC 3 1. Faire une figure.. Déterminer l expression de AI en fonction de AB et de AC, en utilisant la relation de Chasles. 3. Montrer que 1 AN= AB+ AC. 3 3 4. Que peut-on dire des points A, I et N? Justifier votre réponse. Exercice 0 : Le plan est muni d un repère ( O ; i, j ). 1. Placer les points A( 1; 0), B(; 1) et C(3; ).. Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. (a) Calculer les coordonnées de D (vérifier graphiquement). (b) Calculer les longueurs AB, AC et BC. (c) Démontrer que l angle ÂBC est droit. 3. Quelle est la nature de ABCD? Justifier. Exercice 1 : 1. Proposer un algorithme qui détermine si deux vecteurs sont colinéaires, à partir de leurs coordonnées.. Utiliser cet algorithme pour déterminer si u et v sont colinéaires, dans les cas suivants : (a) u( 5; 4) et v(0, 6; 0, 5) (b) u( 1, 35;, ) et v( 0, 54; 0, 88) ( (c) u 5 ; 4 ( 1 et v 3) ; 5 3) IND 6
Exercice : On considère l algorithme suivant : INITIALISATION : AffecteràXlavaleur 0 TRAITEMENT : Tantque X 1 Placer le point de coordonnées (X; X 1) X prend la valeur X+0, 1 Fin Tantque 1. Expliquer ce que fait cet algorithme.. Le modifier pour qu il trace point par point la même fonction avec un pas p, sur un intervalle [a; b]. Exercice 3 : On considère l algorithme suivant : ENTREE : Saisir un réel a strictement positif Saisir un réel b strictement supérieur à a Saisir l expression f (x) INITIALISATION : Affecterànun réel choisi au hasard entre a et b Affecteràmun réel choisi au hasard entre a et b Affecter à p la valeur f(n) Affecter à q la valeur f(m) TRAITEMENT : Si p<q Alors Afficher " f est strictement croissante sur [a; b]" Sinon Afficher " f n est pas strictement croissante sur [a; b]" Fin Si 1. Pourquoi cet algorithme est-il faux? Trouver un contre-exemple pour justifier votre réponse.. Proposer une modification. IND 7