Approximation hyperbolique de l équation de Vlasov uniquement en espace

Approximation hyperbolique de l équation de Vlasov uniquement en espace Nhung PHAM avec Philippe HELLUY et Laurent NAVORET IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, le 14 février 2013 Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 1 / 46

Approximation hyperbolique de l équation de Vlasov uniquement en espace Nhung PHAM avec Philippe HELLUY et Laurent NAVORET IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, le 14 février 2013 Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 2 / 46

Outline 1 Modèle mathématique 1.1 Modèle simplifié de Vlasov-Poisson 1D 1.2 Modèle de Vlasov-Ampère 1D 2 Développement dans une base en vitesse 2.1 Interpolation par la méthode des éléments finis 2.2 Discrétisation en vitesse de l équation de Vlasov 2.3 Calcul pratique de M, A, B 3 Méthode volumes finis 3.1 L équation de Vlasov 3.2 Le champ électrique 4 Cas test 4.1 L équation de transport 4.2 Amortissement Landau 4.3 Instabilité double faiseau Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 3 / 46

I. MODÈLE MATHÉMATIQUE Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 4 / 46

Modèle simplifié de Vlasov-Poisson 1D On considérer l équation de Vlasov : t f + v x f + E v f = 0 (1) f (x, v, t) : la fonction de distribution E(x, t) : le champ électrique est donné par l équation de Poisson ˆ x E = 1 + fdv (2) On suppose que x ]0, L[ et v ] V, V [, on peut considère Les conditions aux limites périodiques Les conditions aux bords v E(0, t) = E(L, t), f (0, v, t) = f (L, v, t). (3) E(x, t) > 0 f (x, V, t) = 0; E(x, t) < 0 f (x, V, t) = 0. (4) La condition de moyenne nulle : x E = 0. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 5 / 46

Modèle simplifié de Vlasov-Poisson 1D Le modèle de Vlasov-Poisson { t f + v x f + E v f = 0 x E = 1 + v fdv (5) Avec les condition initiales E(x, 0) = E 0 (x), f (x, v, 0) = f 0 (x, v). (6) Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 6 / 46

Modèle de Vlasov-Ampère 1D On considère aussi le modèle de Vlasov-Ampère { t f + v x f + E v f = 0 t E = v fvdv + 1 L v vfdvdx (7) x Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 7 / 46

Modèle de Vlasov-Ampère 1D On considère aussi le modèle de Vlasov-Ampère { t f + v x f + E v f = 0 t E = v fvdv + 1 L v vfdvdx (7) x => Avantage : Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 7 / 46

Modèle de Vlasov-Ampère 1D On considère aussi le modèle de Vlasov-Ampère { t f + v x f + E v f = 0 t E = v fvdv + 1 L v vfdvdx (7) x => Avantage : On peux utiliser la résolution numérique d une simple équation différentielle. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 7 / 46

II. DÉVELOPPEMENT DANS UNE BASE EN VITESSE Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 8 / 46

Interpolation par la méthode des éléments finis Quelques notations ˆQ =] 1, 1[ : l élément de référence ˆN i = 1 + 2 i 1 d, i = 1 d + 1 : nœuds de référence (Q i ) i=1 N : N éléments de l intervalle ] V, V [ N j = V + 2V dn (j 1) : P = d N + 1 nœuds de l intervalle ] V, V [ τ i : une transformation affine de ˆQ dans Q i (ϕ i ) i=1 P : les fonctions de base Les fonctions de base (ϕ i ) i=1 P satisfont ϕ i (N j ) = δ ij (8) Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 9 / 46

Discrétisation en vitesse de l équation de Vlasov La fonction de distribution f (x, v, t) est approchée par : P f (x, v, t) = w j (x, t)ϕ j (v) (9) j=1 On a P f (x, N i, t) = w j (x, t)ϕ j (N i ) = w i (x, t) (10) j=1 donc, on peut écrire la condition initiale comme w j (x, 0) = f (x, N j, 0) = f 0 (x, N j ) (11) Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 10 / 46

Discrétisation en vitesse de l équation de Vlasov L équation de Vlasov devient où M t w + A x w + EB(E)w = 0 (12) w = (w 1, w 2,..., w P ) T Les matrices M, A, B sont des matrices de taille PxP et sont définies par ˆ ˆ M ij = ϕ i ϕ j, A ij = vϕ i ϕ j, (13) et avec v (B(E)) ij = E + 2E ϕ j( V )ϕ i ( V ) E ˆ 2E ϕ j(v )ϕ i (V ) + ϕ i ϕ j, (14) v E + = max(0, E), E = min(0, E). (15) Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 11 / 46 v

Discrétisation en vitesse de l équation de Vlasov Propriétés du système : M t w + A x w + EB(E)w = 0 (16) Le système est écrit dans l espace de x et pas dans l espace de (x,v) => On peut simplifier les calculs Appelons le nouveau système : équation de Vlasov réduite. On a démontré que ce système est hyperbolique => On peut utiliser les méthodes numériques pour les systèmes hyperboliques pour résoudre ce système Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 12 / 46

Calcul pratique de M, A, B On observe que : Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 13 / 46

Calcul pratique de M, A, B On observe que : Les matrices M, A et B sont des matrices creuses. => On doit seulement prendre l éléments non nuls dans les matrices M, A et B. Les matrices M, A et B ont les même structure. => On doit seulement calculer la structure pour une matrice. Principe : Premièrement : Le stockage les matrices par ligne de ciel Deuxièmement : Remplir les matrice Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 13 / 46

Calcul pratique de M, A, B Intégration de Gauss-Legendre Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 14 / 46

Calcul pratique de M, A, B Intégration de Gauss-Legendre Les polynômes de Legendre (normalisées) sont définis par n + 1 2 d n l n (x) = n!2 n dx n ((x 2 1) n ) (n 0). (17) Les n-zéros (ξ i ) i=1 n de l n sont distincts et appartiennent à ] 1, 1[. Les poids sont définis par On a la formule de quadrature ω i = 2n + 1 2n + 3 (n + 1)l n(ξ i )l n+1 (ξ i ). (18) ˆ 1 1 g(v)dv n ω i g(ξ i ). (19) Cette formule est exacte si g est un polynôme de degré 2n 1. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 14 / 46 i=1

Calcul pratique de M, A, B On considère d + 1 points d intégration ˆξ i de Gauss-Legendre sur l élément de référence ˆQ avec (ˆω i ) i=1 d+1 les poids. Les calculs sur chaque élément Q i sont donc : Pour la matrice M ˆ ϕ j1 ϕ j2 = v Q i Pour la matrice A ˆ Pour la matrice B ˆ 1 ˆv= 1 v Q i vϕ j1 ϕ j2 = ˆ d+1 dv ˆL k1 ˆL k2 d ˆv = d+1 l=1 v Q i ϕ j1 ϕ j 2 = l=1 ˆω l ˆLk1 (ˆξ l )ˆL k2 (ˆξ l )τ i (ˆξ l ) (20) ˆω l ˆLk1 (ˆξ l )ˆL k2 (ˆξ l )τ i (ˆξ l )τ i (ˆξ l ) (21) d+1 ˆω l ˆL k1 (ˆξ l ) d d ˆv ˆL k2 (ˆξ l ) (22) l=1 Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 15 / 46

III. MÉTHODE VOLUMES FINIS Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 16 / 46

Quelques notations C i =]x i 1/2, x i+1/2 [ : les cellules x i : le point centre de la cellule C i x = x n i 1/2 x n i+1/2 : pas d espace t : pas de temps, t n+1 = t n + t w(x, t), x C i, t = t n : l approximation du vecteur w dans la cellule C i wi n (w a, w b ) F (w a, w b ) : flux numérique Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 17 / 46

Résoudre de l équation de Vlasov On considère l équation de Vlasov réduite M t w + A x w + EB(E)w = 0 M t w = A x w EB(E)w M t w = A x w + S, (23) où S(w) = EB(E)w le terme source. Le schéma semi-discret en espace s écrit où M t w i = F (w i, w i+1 ) F (w i 1, w i ) x w i (t) w(x, t), x C i + S(w i ), (24) est l approximation constante par morceaux de w dans la cellule C i. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 18 / 46

Résoudre de l équation de Vlasov On considère les deux schémas en temps : Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 19 / 46

Résoudre de l équation de Vlasov On considère les deux schémas en temps : Méthode d Euler M w n+1 i M w n+1 i w n+1 i t w n i = w n i = F (w i n, wi+1 n ) F (w i 1 n, w i n ) + S(wi n ) (25) x t ( M 1 F (wi n, w n x i+1) M 1 F (wi 1, n wi n ) ) + + tm 1 S(wi n ) Méthode d Euler améliorée (Runge-Kutta) t M w n+1/2 i w n i t/2 w n i = F (w i n, wi+1 n ) F (w i 1 n, w i n ) + S(wi n ), (26) x n+1/2 F (wi, w n+1/2 i+1 ) F (w n+1/2 i 1, w n+1/2 = x i ) + S(w n+1/2 i ). (27) Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 19 / 46

Résoudre de l équation de Vlasov Flux numériques Flux centré Flux décentré F (w L, w R ) = A w L + w R 2 (28) F (w L, w R ) = A + w L + A w R (29) où A + et A sont les matrices de convection upwind et downwind de la matrice A ˆ A ± = ( v ± ϕ i ϕ j ), (30) avec v v + = max(v, 0), v = min(v, 0). Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 20 / 46

Le champ électrique Pour calculer le champ électrique, on peut résoudre L équation d Ampère ˆ t E = fvdv v On a ˆ P ˆ P fvdv = w j (x, t) vϕ j (v)dv = w j (x, t)ζ j, (31) v v avec j=1 ˆ ζ j = v vϕ j (v)dv. Pour la discrétisation en temps de cette équation, on peut utiliser le schéma d Euler (ordre 1) ou bien le schéma d Euler amélioré (ordre 2). L équation de Poisson. Pour l équation de Poisson, on peut utiliser l algorithme de la transformé de Fourier rapide pour le résoudre. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 21 / 46 j=1

IV. CAS TEST Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 22 / 46

L équation de transport On considère l équation de Vlasov : Si t f + v x f + E v f = 0. (32) x f = 0 et E(x, t) = E 0 (x), t on obtient l équation v-transport suivante t f + E(x) v f = 0. D après la méthode des caractéristiques, on a la solution f (x, v, t) = f 0 (x, v E(x)t) E(x, t) = 0, t, x, on obtient l équation x-transport suivante dont la solution est donnée par t f + v x f = 0, f (x, v, t) = f 0 (x vt, v). Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 23 / 46

L équation de transport Les conditions initiales sont La fonction de distribution 1 f 0 (x, v) = (1 + εcos(kx)) e v2 2 2π Le champ électrique E 0 (x) = 1 La domaine L = 2π k v ] 6, 6[ Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 24 / 46

L équation de v-transport Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 25 / 46

Léquation de v-transport Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 26 / 46

Léquation de x-transport Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 27 / 46

Amortissement Landau Les conditions initiales sont La fonction de distribution 1 f 0 (x, v) = (1 + εcos(kx)) e v2 2 2π Le champ électrique E 0 (x) = ε k sin(kx) Le domaine de x est L = 2π k v ] 6, 6[ Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 28 / 46

Amortissement Landau Pour un petit ε, on peut considérer une approximation linéaire du système de Vlasov-Poisson non-linéaire. La solution analytique du champ électrique est donnée par la formule suivante (voir "E. Sonnendrucker Approximation numerique des equations de Vlasov-Maxwell, Notes du cours de M2, 18 mars 2010") E(x, t) = 4ɛre ω i t sin(kx) cos(ω r t ϕ), où ω r la partie réelle et ω i : la partie imaginaire de ω. La table de valeurs numériques de ω, r et ϕ est Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 29 / 46

Amortissement Landau L énergie électrique est définit par ˆ L Ξ(t) = 0 E(x, t) 2 dx. On choisit les paramètres k = 0.5 et ε = 5 10 3. On va étudier notre méthode (méthode de Vlasov-Poisson réduit) en comparant l énergie électrique de notre méthode avec la solution analytique. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 30 / 46

Amortissement Landau : Comparaison de schémas d ordre 1 et d ordre 2 en temp Énergie électrique au cours du temps : modèle Vlasov-Poisson réduite (en rouge) et la solution analytique (en vert) après un temp t = 20. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 31 / 46

Amortissement Landau : Système Vlasov-Ampère réduite Énergie électrique au cours du temps : Le schéma explicite (à gauche) et le schéma semi-implicite (à droite). Modèle Vlasov-Poisson réduit (en rouge) et la solution analytique (en vert) après un temp t = 20. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 32 / 46

Amortissement Landau : Comparer avec la méthode PIC On choisit les paramètres k = 0.2 et ε = 5 10 2. On va comparer la méthode de Vlasov réduite avec la méthode PIC La fonction de distribution f. L énergie électrique. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 33 / 46

Amortissement Landau : Comparer avec la méthode PIC Amortissement Landau - Fonction de distribution : modèle Vlasov-Poisson réduite (à gauche) comparé à la méthode PIC (à droite) au temps t = 0. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 34 / 46

Amortissement Landau : Comparer avec la méthode PIC Amortissement Landau - Fonction de distribution : modèle Vlasov-Poisson réduite (à gauche) comparé à la méthode PIC (à droit) au temps t = 100. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 38 / 46

Amortissement Landau : Comparer avec la méthode PIC Amortissement Landau - Énergie électrique au cours du temps : modèle Vlasov-Poisson réduit (en rouge) comparé à la méthode PIC (en vert) après un temp t = 20. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 39 / 46

Instabilité double faiseau Dans ce cas test, la fonction de distribution initiale est 1 f 0 (x, v) = (1 + ɛcos(kx)) 2 2π (e (v v 0 )2 2 + e (v+v 0 )2 2 et on choisit les paramètres k = 0.2, ε = 5 10 3 et v 0 = 3 et le domaine d étude est L = 2π k. ), Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 40 / 46

Instabilité double faiseau : Comparer avec la méthode PIC Fonction de distribution : modèle Vlasov-Poisson réduite (à gauche) comparé à la méthode PIC (à droit) au temps t = 0. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 41 / 46

Instabilité double faiseau : Comparer avec la méthode PIC Fonction de distribution : modèle Vlasov-Poisson réduite (à gauche) comparé à la méthode PIC (à droite) au temps t = 20. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 42 / 46

Perspectives Passer le calcul en dimension 2 Utiliser un schéma Galerkin Discontinue d ordre élevé. Étude d un modèle non-linéaire Étude de l équation Vlasov-Poisson avec la transformé de Fourier en vitesse et condition PML. Nhung PHAM, Philippe HELLUY Journée CALVI Strasbourg, le 14 février 2013 45 / 46

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