TD: Référentiel non galiléen : Forces d inerties Relation fondamentale de la dynamique, Energie Exercice 1: Pendule dans une voiture Un fil de plomb de longueur l, de masse m100g (figure 1) est suspendu dans une automobile qui démarre sur une route horizontale et droite, et acquiert une vitesse de 72kmh -1 sur l100m. L accélération étant supposée constante sur le parcours, on demande l inclinaison du fil θ eq par rapport à la verticale et sa tension. Trouver l'équation du mouvement en θ; on pourra présenter deux méthodes. Quelle est la période des petites oscillations quand on déplace la masse m de sa position d équilibre Exercice 2: Lancement d un obus dans le référentiel terrestre En un lieu A de latitude λ48,un canon tire un obus à la vitesse v 0 300ms -1 suivant la verticale ascendante Az. On désigne par Axyz un repère orthonormé lié à la terre. Ax étant dirigé vers le nord. On néglige la résistance de l air et la variation de g avec l altitude. g10ms -2. 1. Etudier le mouvement de l obus en considérant le référentiel lié à la terre comme galiléen. Quelle est l altitude maximum atteinte par l obus? 2. Reprendre l étude précédente en tenant compte de la force de coriolis et en considérant l expression de la vitesse obtenue à la question 1. comme une première approximation. Donner une expression approchée de y à la date t. 3. A quelle distance de A l obus retombe t-il?. Exercice 3 : Mouvement d un point matériel le long d une tige en rotation Un axe matériel Ox est animé par rapport à un axe vertical D faisant un angle α avec lui, d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ω. Soit M une particule de masse m qui coulisse sans frottement sur l'axe Ox. 1. Déterminer la position d'équilibre relatif M 0 de M. On pose Ω ω sin(α). 2. M étant abandonné sans vitesse relativement à Ox à une distance a de M 0, donner l'expression de x en fonction du temps t. Quelle est la nature de la position d'équilibre M 0 : stable ou instable? (on pourra présenter deux méthodes). 3. Calculer à l'instant t, la composante de l'action de M sur Ox perpendiculaire au plan. Exercice.4: Mouvement d un anneau sur un cerceau en rotation
Un anneau de masse m assimilable à un point matériel glisse sans frottement sur un cerceau en rotation uniforme ω autour d'un diamètre vertical. 1. Déterminer les positions d'équilibre de l'anneau, étudier la stabilité de ces équilibres (deux méthodes possibles). 2. Déterminer la période d'oscillation autour des positions d'équilibre stable. Exercice 5: Equilibre d une bille dans un tube en rotation On considère un tube, dont la forme peut être décrite dans le plan par l'équation y ax 2, tournant à la vitesse constante ω autour de l'axe Oy. Une bille de masse m est introduite dans le tube en un point donné sans vitesse initiale. Calculer la valeur de ω pour que la bille soit en équilibre dans le tube sachant que la bille peut glisser sans frottement. Exercice 6: Le sismographe Le sismographe est un dispositif qui a pour but de mesurer les vibrations de la terre dues aux secousses sismiques. On modélise le système par une boite dans laquelle on accroche un ressort et une masse m. Le mouvement de la masse est amorti par un frottement visqueux. L'ensemble est posé sur la surface du sol. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. La surface de la terre a un mouvement D(t) D 0 cos(ωt). Le référentiel R' lié à la boite est donc non galiléen. 1. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans R' et déduire l'amplitude X' m du mouvement. 2. Tracer X' m f(ω) et interpréter le résultat pour pouvoir analyser les secousses.
Eléments de réponse : Ex.1 : accélération a2ms -2 Le référentiel R lié a la voiture est en translation non uniforme, donc R est non galiléen. Equation du mouvement dans R : Projection sur les vecteurs e r et e θ : On peut résoudre cet exercice avec le théorème de l énergie mécanique. Le système est conservatif dans R, l énergie mécanique se conserve. Il faut déterminer l énergie potentielle liée à la pesanteur, à la tension et à la force d inertie d entrainement (Ep (tension) Cte car la tension ne travaille pas, elle est perpendiculaire au déplacement) et écrire que de mécanique /dt0. On trouve alors l équation du mouvement. On peut aussi obtenir l équation du mouvement avec le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen. Ex.2 :1. En considérant le référentiel terrestre comme galiléen, le mouvement de l obus est un rectiligne suivant OZ : 2. Le référentiel terrestre n est plus considéré comme galiléen et on admet que la vitesse est donnée par. Les équations du mouvement sont :.L obus tombe z0 y est positif, la déviation est vers l ouest ce qui n est pas en contradiction avec le cours lorsqu on a vu qu un corps en chute libre était dévié vers l est. Ici le corps n est pas en chute libre car il est une vitesse initiale. Ex.3 : Cet exercice peut être traité soit par la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel lié à la tige qui est non galiléen et on la projette sur l axe OX ( la composante de la force d inertie de Coriolis est donc nulle), soit à l aide du théorème de l énergie mécanique qui se conserve car la force de Corioslis et la réaction de la tige sur M ne travaillent pas, la force d inertie d entraînement est conservative et le poids est conservatif
Ex.4 : L étude est faite dans le référentiel lié à l anneau qui est non galiléen, les forces qui s exercent sont les forces d inerties d entrainement et de Coriolis (Fi coriolis ne travaille pas), la réaction du support qui ne travaille pas et le poids. On peut traiter cet exercice soit en appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel lié à l anneau,soit à l aide du théorème de l énergie mécanique, soit avec le théorème du moment cinétique. On présentera ici la méthode avec le théorème de l énergie mécanique. z x θ Ex.5 : La bille est e n équilibre si
Ex.5 : Etude dans le référentiel lié au tube, référentiel non galiléen. Système : La bille : point matériel M de masse m. Les forces : Poids, réaction du support sur la masse qui est perpendiculaire au déplacement (au vecteur T) car M se déplace sans frottements ; forces d inerties d entrainement et de coriolis. La bille est en équilibre, donc la force d inertie de coriolis est nulle. On projette la RFD sur le vecteur tangent T et le vecteur normal N. On repère le point M par ses coordonnées (x, yax 2 ) Ex,6 : On écrit dans le référentiel R non galiléen, le PFD : les forces sont la tension du ressort, le poids, la force d inertie d entrainement et le frottement. On obtient : m x k (x l 0 ) + mg α x m( D) + x αm x + km (x l ) g + D 0 on pose l 1 l 0 + mg k et X x l 1 X + αm X + k m X D ω 2 cos(ωt) On utilise la méthode des complexes pour déterminer l amplitude de X(t)Xmcos(ωt+ϕ) X m ω 2 D 0 ω 0 2 ω 2 + j ω 0 Q ω df du 0 1 u 1 1 2 2Q 2 X m ω 2 D 0 (ω 0 2 ω 2 ) 2 + ( ω 0 Q ω)2 il faut donc 1 u 1 1 2 2Q 0 Q 1 ω 2 max ω 0 (1 1 2) 1 2 2 2Q QD 0 (1 1 u 2)2 Q 2 + 1 u 2 QD 0 f(u) avec u ω ω 0 Xm est croissante pour ω< ωmax et décroissante pour pour ω> ω max avec Xm qui tend vers D 0 pour ω qui tend vers l infini.. Donc pour des pulsations élevées, le système restitue les vibrations excitatrices. Quand il y a un tremblement de terre, la pulsation du séisme ω>>>> ω max XmD 0 donc on mesure l intensité du séisme. Pour des pulsations beaucoup plus faible que ω max, le système amortit les vibrations excitatrices. Pour un véhicule en contact avec une route, (excitation : D 0 cos(ωt) on se place ω<<ωmax pour amortir au maximum les oscillations de la route?