DOSSIER N 78 Question : Présenter un choix d'exercices sur le thème suivant : Exemples de recherche de primitives par des méthodes variées. Consignes de l'épreuve : Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les ches mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces ches interviendra dans l'appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s'agir d'applications directes du cours, d'exemples ou contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d'autres disciplines. Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez la pertinence des diérents outils mis en jeu. Cet exposé est suivi d'un entretien (20 minutes minimum). Annexes : Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes ainsi qu'une documentation conseillée. Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références au programme ne constituent pas le plan de l'exposé. 1
2 Références aux programmes : ANNEXE DU DOSSIER N 78 Extraits de programmes de Terminales S : Intégration Pour une fonction f positive sur [a, b], introduction de la notation b f(x)dx comme aire sous la a courbe. (...) On indiquera que l'aire sous la courbe peut être approchée en l'encadrant par deux suites adjacentes en quadrillant le plan de plus en plus nement. (...) (...) Intégration et dérivation. Notion de primitive. Théorème : si f est continue sur un intervalle I, la fonction F telle que F (x) = x a f(t)dt est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a. Calcul de b d'une primitive de f. Intégration par parties. a f(x)dx à l'aide On démontera que F est une primitive de f dans le cas où f est continue et croissante, et on admettra le cas général. Tableau primitives-dérivées des fonctions usuelles (fonctions x x n, x x, x ln x, x e x, sinus, cosinus). Application de la dérivation des fonctions composées à la primitivation de u u, u e u, u u n. L'intégration permet d'établir l'existence des primitives des fonctions continues et d'en donner des méthodes numériques de calcul ; inversement, la connaissance d'une primitive d'une fonction continue donne une formule explicite pour le calcul des intégrales : les élèves devront percevoir l'intérêt de cette double démarche. On se limitera à des cas simples où l'élève aura à trouver lui-même le recours à la technique d'intégration par parties. Documentation conseillée : Manuels de terminales S. Annales de baccalauréats.
3 Il ne s'agit en aucun cas d'une correction, mais seulement de mon point de vue sur le sujet. Le calcul intégral est, d'une certaine façon, l'aboutissement de l'enseignement de l'analyse dans le secondaire. Il fournit un outil puissant pour calculer des grandeurs jusqu'alors inaccessibles et rares sont les sujets de Baccalauréat qui ne comportent pas d'intégrale. Il est introduit en s'appuyant sur l'aire sous la courbe représentative d'une fonction continue positive. Le lien avec les primitives est établi par la suite. On insistera sur le fait qu'il n'est pas toujours possible de donner une formule explicite pour une intégrale. Néanmoins, la recherche d'une primitive reste un outil important pour calculer explicitement des intégrales. Cette activité d'inversion de la dérivation est dicile : elle est multivoque, l'inconnue est une fonction, les fonctions engendrées par les fonctions usuelles ne sont pas stables par primitivation (contrairement à la dérivation). Pour la mener à bien, il est donc raisonnable de dégager des méthodes qui pourront nous guider dans nos recherches. Je les ai organisées en deux familles : les méthodes générales et les méthodes particulières. I. Méthode(s) générale(s). Par dénition, la recherche de primitive sur un intervalle est l'opération inverse de la dérivation : Dénition : Soit I un intervalle et f une fonction dénie sur I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que : ( x I), F (x) = f(x). De ce fait, tous les résultats sur les calculs de dérivés ont leur pendant pour la recherche de primitives. La correspondance entre fonction constante et dérivé nulle nous donne, par exemple, le fait que deux primitives d'une fonction sur un intervalle dièrent d'une constante. De fait, toutes les techniques de calcul de dérivées se transposent pour la recherche de primitives. Ce sont ces méthodes que je veux mentionner ici : 1-) Lecture inverse des tableaux de dérivation des fonctions usuelles. 2-) Formule d'intégration par parties ou dérivée d'un produit de deux fonctions. 3-) Reconnaissance de forme, lecture inverse de tableaux (changement de variable élémentaire). 4-) Changement de variable ou dérivée d'une composée de deux fonctions. Seules les méthodes 1-) et 3-) sont exigibles des élèves, avec l'intégration par parties dans des cas simples. Il est néanmoins possible, en le guidant, de mener à bien un changement de variable.
4 II. Méthodes particulières. Ces méthodes sont spéciques à plusieurs familles de fonctions, comme les fractions rationnelles ou les polynômes en fonctions trigonométriques. Chaque famille a sa méthode adaptée qui permet à coup sur de trouver une primitive de toute fonction qui lui appartient. J'ai proposé dans mes exercices des illustrations de deux méthodes accessibles aux élèves de Terminale : 1-) la linéarisation pour rechercher une primitive d'un monôme en sin et cos, 2-) la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles. On pourait continuer la liste avec les fonctions qui sont produit d'un polynôme et d'une exponentielle ou une fonction trigonométrique. Mais, plus qu'être exhaustif, j'ai voulu donner un aperçu représentatif de ce qui peut être fait au lycée sur le sujet. Le cas des fractions rationnelles est de plus important pour la suite du cursus mathématiques des élèves. Aucune de ces méthodes particulières n'est exigible d'un élève de Terminale. Pour nir, j'ai choisi mes exercices pour illustrer, du mieux possible, les méthodes que j'ai mentionnées ci-dessus. Il est à noter que le découpage que j'ai utilisé, général et particulier, est relativement arbitraire, puisque de nombreuses méthodes particulières consistent à faire un changement de variable particulier, ce qui constitue, en soit, une méthode quasi-générale. La pratique de méthodes permettra ainsi aux élèves d'aborder plus sereinement ces recherches de primitives. Signalons toutefois deux écueils à éviter : 1-) la meilleure méthode est quelquefois l'astuce : un léger changement d'écriture permet quelquefois de faire beaucoup d'économie ; 2-) il ne faut pas, à travers ces activités de recherches de primitives, laisser penser que l'on sait calculer une primitive de toute fonction qui en possède. Pour ce dernier point, on insistera sur le fait que certaines fonctions usuelles ne possèdent pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui nous amènera naturellement à la nécessité de faire des approximations de leurs intégrales.
5 EXERCICES : Exercice 1 : Reconnaissance d'une forme (exp u)u, u α u, u u... Transmath TS n 69 page 228 ; Transmath TS 98 n 14, 18, 23 page 106 ; voir aussi Terracher TS page 138. Déterminer des primitives sur R des fonctions f, g et h dénies par : f(x) = tan x + tan 3 x, g(x) = 4x 2 x 2 x + 1, h(x) = (1 x)(x2 2x + 2) 3. Exercice 2 : Intégration par parties. Terracher TS n 53 page 139 ; Transmath 98 TS n 3 page 227. A l'aide d'un intégration par parties, déterminer la primitive qui s'annule en 1 de la fonction ln sur ]0, + [. Exercice 3 : Linéarisation. Transmath TS n 98 page 229. Déterminer des primitives sur R des fonctions f et g dénies sur R par : f(x) = cos 4 x 2 sin2 x, g(x) = sin x cos 3x. Exercice 4 : Décomposition en éléments simples. Transmath TS n 76 et 100 pages 228 et 230 ; Terracher TS n 82 page 141. On se propose de déterminer une primitive de la fonction f dénie sur ]0, + [ par : f(x) = x3 + x + 1 x(x 2 + 1). Déterminer quatre constantes rélles a, b, c et d telles que : x ]0, + [, f(x) = a + b x + cx + d x 2 + 1. En déduire une primitive de f sur ]0, + [. Exercice 5 : Reconnaissance d'écriture ou changement de variable. Transmath 98 TS, n 82 page 112 ; Terracher n 113 page 146. On se propose de déterminer une primitive sur R de la fonction f dénie par : f(x) = (x + x 2 + 1) 2 x 2 + 1 Pour cela, on pose : u(x) = x + x 2 + 1. Calculer u et en déduire une primitive de f.
6 Exercice 6 : Changement de variable. On considère les fonctions suivantes : f : ] 1, 1[ R t 1 (1 t 2 ) 3 2 G : ] π/2, π/2[ R θ 1-) Calculer la dérivée de G sur ] π/2, π/2[. sin θ 2-) En déduire que pour tout réel x ] π/2, π/2[, G(x) = tan x 0 f(t)dt 3-) En utilisant la bijectivité de sin sur ] π/2, π/2[, déterminer la primitive F de f qui s'annule en 0.