Devoir surveillé n 5 19 janvier 2011 Term ES Eercice 1 : (4 points) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On a tracé ci-contre sa courbe représentative C dans un repère orthonormal. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R. Les points A( 1 ; 0) et B(0 ; 2) appartiennent à la courbe C. La courbe C admet en B une tangente parallèle à l ae des abscisses. La fonction f est croissante sur l intervalle ] ; 0]. La fonction f est décroissante et strictement positive sur l intervalle [0;+ [. Pour chaque question une et une seule des trois propositions est eacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie et JUSTIFIER VOTRE REPONSE. Question 1 : Une des trois courbes ci-dessous représente la dérivée f de f. Laquelle? Question 2 : Une des trois courbes ci-dessous représente une primitive F de f sur R. Laquelle? Question 3 : On désigne par ln la fonction logarithme népérien. Soit g la fonction définie par g()=ln[ f ( )]. Un des trois intervalles ci-dessous est l ensemble de définition de la fonction g. Lequel? ]0 ; + [ ] 1 ; + [ [ 1 ; + [ Réponse A Réponse B Réponse C Question 4 : g est la fonction dérivée de la fonction g définie par g() = ln [ f ( )]. Déterminer laquelle de ces affirmations est vraie : g (1) g (2) > 0 g (1) g (2) = 0 g (1) g (2) < 0 Réponse A Réponse B Réponse C
Eercice 2 (4,5 points) Parmi les réponses a, b et c données, une seule est eacte. Indiquer la bonne réponse EN JUSTIFIANT votre choi. a b c 1 ) L ensemble de définition de la fonction ln(3 ) est ]3 ; + [ ]0 ; + [ ] ; 3[ 2 ) ln 36 = (ln 4) (ln 9) 2(ln 2 + ln 3) (ln 6)² 3 ) L ensemble des solutions de l inéquation ln () > ln (2 1) est : ] ; 1[ ] 0 ; 1[ ] 2 1 ; 1[ 4 ) la limite en + de la fonction f ( )=ln( 2 +3) Eercice 3 (11,5 points) Partie A Soit f la fonction définie sur [0;50] par : f ()= 2 + 50 50 ln( +1) 50 +1 On admet que la dérivée de cette fonction est donnée par f '()= 2 (2 +2 24) (on ne demande pas de le démontrer) (+1) 2 On donne également la courbe représentative de la fonction f : 1 ) a) Étudier le signe de f ' sur l'intervalle [0;50]. b) Dresser le tableau de variations de f sur [0;50]. est 0 + 2 ) a) Démontrer que l'équation f ()=0 admet une unique solution sur l'intervalle [10 ;20] b) Donner à l'aide de la calculatrice un encadrement de par deu entiers consécutifs. Pour la suite du problème, on prendra pour la plus petit de ces deu valeurs. c) En déduire le tableau de signes de f sur [0;50] Partie B : Une entreprise fabrique une quantité, eprimée en kilogrammes, d'un certain produit. le coût marginal C M, eprimé en euros, est défini sur [0;50] par C M ( )=2 + 50 +1. 1 ) La fonction coût total, notée C T, est la primitive de la fonction C M sur [0;50] qui prend la valeur 50 pour =0.Donner l'epression de C T (). 2 ) On note Le coût moyen de cette production sur ]0;50]. a) Montrer que ( )= 2 +50 ln( +1)+50 b) Calculer la dérivée de et vérifier que '()= f () 2 3 ) Déduire des résultats précédents le tableau de variations de sur ]0;50] 4 ) Quelle est la production donnant le coût moyen minimal? Calculer dans ce cas le coût total de production.
Correction du Devoir surveillé n 5 Term ES Eercice 1 : (4 points) Question 1 : Les variations de f nous indiquent le signe de f '. f est croissante si et seulement si f ' est positive. Comme f est croissante sur ] ;0[ on en déduit que f ' est positive sur cet intervalle. De même, on prouverait que f ' est négative sur [ 0;+ [ La bonne réponse est donc la réponse B Question 2 : Comme F est une primitive de f, on en déduit que F '= f donc c'est le signe de f qui nous donnera les variations de F. Lorsque f est positive, F est croissante et lorsque f est négative, F est décroissante. On en déduit que F est décroissante sur ] ; 1[ et croissante sur ] 1;+ [ La bonne réponse est la réponse C Question 3 : La fonction ln n'est définie que sur R +, donc la fonction g ne sera définie que pour les valeurs de f () appartenant à R +, c'est à dire uniquement pour les valeurs de vérifiant f ()>0 On en déduit que D g = ] 1;+ [ La bonne réponse est la réponse B. Question 4 : On sait que g '( )= f ' ( ) et sur l'intervalle de définition de g, f est positive donc g' est du signe de f '. f ( ) Or on sait que sur [1;2], f ' est négative donc g ' est négative sur cet intervalle. On en déduit que g '(1)<0, g '(2)<0 et le produit de deu nombres négatifs étant positif alors : g (1) g (2) > 0 La bonne réponse est la réponse A. Eercice 2 (4,5 points) 1 ) la fonction ln(3 ) n'est définie que si 3 >0 > 3 <3 ] ; 3[ Réponse C 2 ) ln(36)=ln(6 2 )=2ln(6)=2ln(3 2)=2[ln(2)+ln(3)] Réponse B. 3 ) ln()>ln(2 1) Domaine dans lequel on doit résoudre l'équation Il nous faut >0 ; on note I =] 0;+ [ Il nous faut également 2 1>0 > 1 On note 2 J=] 1 2 [ ;+ On résout l'équation dans E=I J = ] 1 2 [ ;+ Résolution de l'équation dans E >2 1 2 > 1 > 1 <1 Les solutions de cette inéquation dans E sont les éléments de ] 1 2 ;1[ Réponse C. 2 4 ) lim + et lim X 1 +3 = lim + ln(x )=1 Donc par composition Réponse B. = 1 lim + f ( )=0
Eercice 3 (11,5 points) Partie A 1 ) a) 2 +2 24 est un trinôme =2 2 5 1 24=100 donc deu racines : 1 = 2 100 2 1 2 change de signe en 0 +1 change de signe en -1 =- 6 2 = 2+ 100 =4 2 1 Le trinôme est positif sauf entre ses racines. 0 4 50 2 +2 24-0 + 2.0. + + +1 + + f '().0. 0 + La dernière ligne du tableau donne le signe de f ' b) Le tableau précédent nous permet de trouver les variations de f 0 4 50 f '() 0 + f() 50 6 50ln(5) 2450+ 2500 51 50ln(51) 2 ) a) f est : - continue - strictement croissante sur [10;20] - f(10) -24 et f(20) 245 et 0 [-24;245] D'après la théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f()=0 admet une unique solution sur [10;20] b) A la calculatrice, on trouve 11< <12 ; on gardera donc pour valeur de le nombre 11. c) Le tableau de variations de f et la valeur de nous permettent d'écrire : 0 11 50 f() 0 + Partie B : f ()= 2 + 50 50ln( +1) 50 +1 Une entreprise fabrique une quantité, eprimée en kilogrammes, d'un certain produit. le coût marginal C M, eprimé en euros, est défini sur [0;50] par C M ( )=2 + 50 +1. 1 ) C M =C T ' C T '()=2 +50 1 C +1 T ()=2 1 2 2 +50 ln( +1)+K C T ()= 2 +50ln(+1)+ K Or C T (0)=50 0 2 +50 ln(1)+ K=50 0+K=50 K=50
Donc C T ()= 2 +50 ln(+1)+50 2 ) Le coût moyen est la fonction définie par ( )= C T() a) ( )= C T() = 2 +50 ln( +1)+50 sur ]0;50]. b) est dérivable quotient de fonctions dérivables = u v donc '= u ' v v' u v 2 u()= 2 +50 ln( +1)+50 u'()=2 +50 1 +1 v( )= v '()=1 50 + (2 +1) ( 2 +50ln( +1)+50) = '()= 2 2 + 50 +1 50ln(+1) 50 '()= = f ( ) 2 2 2 2 + 50 +1 2 50 ln(+1) 50 2 3 ) Le tableau de signes de f fait dans la partie A nous permet de trouver le signe de ' ainsi que les variations de 0 11 50 2 + + f '() 0 + ( ) 171+50ln(12) 11 51+ln(51) 4 ) La production donnant le coût moyen minimal est de 11 kg. La production total dans ce cas est égale à C T (11)=11 2 +50ln(11+1)+50=171+50 ln(12) 295,24