ère S Eercices sur l utilisation de règles pour le sens de variation de onctions Recopier et compléter : Sens de variation de sur ] ; ] Sens de variation de sur [ ; + [ On résoudra les eercices,,, 5, 7, 8,, 4, 5 grâce à des tableau de variation (donc quasiment sans rédaction) On résoudra les eercices 4, 6, 9,,, en rédigeant (donc sans utiliser de tableau) On respectera les modèles de rédaction proposés dans chaque eercice Pour tous les eercices sau le, vériier toutes les réponses en traçant les courbes représentatives des onctions à l aide d une calculatrice ou à l aide d un logiciel de tracé de courbes sur ordinateur Faire les tableau et les lèches de variations à la règle En utilisant le sens de variation de onctions de réérence, dresser le tableau de variation des onctions : et g : En utilisant le sens de variation de onctions de réérence, dresser le tableau de variation des onctions : et g : On considère une onction dont le tableau de variations est donné ci-dessous : Variations de resser les tableau de variation des onctions,, Faire un tableau par onction 4 On considère la onction déinie sur par 4 déinies par, ( ), Représenter la onction sur l écran d une calculatrice Conjecturer alors les variations de sur ] ; ] et sur [ ; + [ en recopiant et complétant les phrases cidessous : «après la calculatrice, il semble que la onction soit sur ] ; ] et sur [ ; + [» Le but de l eercice est de démontrer cette conjecture en utilisant les propriétés du cours On pose u( ) et v( ) On a donc ( ) v( ) u est sur ] ; ] onc v est sur ] ; ] On en déduit que la onction est sur ] ; ] u est sur [ ; + [ onc v est On en déduit que la onction est sur [ ; + [ (On notera que dans chaque colonne de ce tableau, on a le même intervalle de déinition) 5 On considère la onction déinie sur l intervalle I = [ ; + [ par ( ) Étudier le sens de variation de sur l intervalle I 6 On considère la onction déinie sur par ( ) ) Justiier que est déinie sur ) Représenter la onction sur l écran d une calculatrice Conjecturer alors les variations de sur ] ; ] et sur [ ; + [ en recopiant et complétant les phrases cidessous : «après la calculatrice, il semble que la onction soit sur ] ; ] et sur [ ; + [» ) Le but de la question est de démontrer cette conjecture à l aide des propriétés sur le sens de variation d une onction a) On pose u et v onner le sens de variations de u sur ] ; ] et sur [ ; + [ En déduire celui de la onction v sur ] ; ] et sur [ ; + [ b) En observant que l on a, déduire directement le sens de variation de sur ] ; ] et sur v [ ; + [ 5 7 On considère la onction déinie sur l intervalle I = ; Étudier le sens de variation de sur l intervalle I par 5 8 On considère la onction déinie sur l intervalle I = ] ; ] par Étudier le sens de variation de sur l intervalle I 9 éterminer le sens de variation sur l intervalle [ ; + [ de la onction : de deu onctions de réérence en utilisant la somme
éterminer le sens de variation sur l intervalle ] ; [ de la onction : 5 en utilisant la somme de deu onctions de réérence On considère la onction déinie sur * par ( ) Étudier le sens de variation de sur chacun des intervalles ] ; [ et ] ; + [ resser le tableau de variation de (aire les lèches de variations à la règle) On n oubliera pas de mettre une double barre pour la valeur qui est valeur interdite Tracer la courbe représentative de la onction à l aide d une calculatrice graphique ou à l aide d un logiciel de tracé de courbes sur ordinateur On considère la onction déinie sur \ par Étudier le sens de variation de sur chacun des intervalles ; et ; On considère la onction : Étudier les variations de 4 On considère la onction : ) émontrer que pour tout, on a : ) Étudier les variations de 5 5 éterminer le tableau de variation des onctions : et g : 6 On considère la onction : 4 6 ) Représenter graphiquement la onction sur une calculatrice ) éterminer à l aide de la calculatrice un encadrement d amplitude, de la solution de l équation 7 On considère l équation () ) Représenter graphiquement les onctions : et g : sur une calculatrice ) éterminer à l aide de la calculatrice un encadrement d amplitude, de la solution de l équation ()
Corrigé + On aborde dans ces eercices le problème de la quantiication et de la rédaction des onctions Il convient de bien distinguer les tableau avec des images ou sans images + Var de g Utilisation de la règle u est une onction monotone sur un intervalle I k est un réel ans le premier tableau de variation, on ne voit pas qu il aut ajouter au valeurs des images de la onction «cube» pour obtenir les images par la onction ans le deuième tableau de variation, on ne voit pas qu il aut ajouter au valeurs des images de la onction «inverse» pour obtenir les images par la onction La onction déinie par u k a les mêmes variations que u sur I : = Utilisation de la règle La onction de réérence associée à est la onction «cube» Le sens de variation de la onction est le même que celui de la onction «cube» onc est strictement croissante sur + u est une onction déinie sur un intervalle I k est un réel non nul La onction déinie par k u a les mêmes variations que u sur I si k >, a les variations contraires de u sur I si k < : = + Var de + Il n y a pas à mettre dans le tableau de variation de variation de la onction cube car il n y a pas de changement de variation en ( ne joue pas de rôle particulier pour le sens de variation de la onction cube) u est la onction «racine carrée» et k + + g : g = * La onction de réérence associée à est la onction «inverse» Les variations de la onction sont les mêmes que celles de la onction «inverse» onc est strictement décroissante sur ] ; [ et sur ] ; +[ Var de
g : g = * u est la onction «inverse» et k = < + + Var de g Bilan des eercices et : ans ce type d eercices, on repère d abord la «onction de base» (onction de réérence) 4 : après la calculatrice, il semble que la onction soit croissante sur Quelques commentaires dans un style parlé : C est une «grosse» onction qui est «composée», «ormée» de plusieurs onctions C est comme si on disait () = v () + Le sens variation est constant On pose u( ) et v( ) On a donc ( ) v( ) On complète les raisonnements enchaînés suivants (il s agit d une suite d implications) ans les deu cas, on part de la onction «carré» Sens de variation de sur ; et décroissante sur ; ; Sens de variation de sur ; Utilisation des règles sur le sens de variation : - de la somme d une onction et d un réel - du produit d une onction et d un réel 4 u est décroissante sur ; onc v est croissante sur ; On en déduit que la onction est croissante sur ; u est croissante sur ; onc v est décroissante sur ; On en déduit que la onction est décroissante sur ; Variations de 6 Sans nommer deu onctions u et v, on pourrait aussi rédiger comme suit Sens de variation de sur ; 4 Variations de La onction est ; La onction est ; La onction est ; 4 Variations de 5 Sens de variation de sur ; La onction est ; La onction est ; La onction est ;
5 : = + Commentaire : L epression de la onction est () = Cette epression peut être décomposée en k k u( ) avec k, k, u( ) Il y a deu étapes obligatoires + ) u a) v u est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; + [ On a : v () = u () + (étape importante qui montre le lien entre u et v) onc v est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; + [ b) ( ) v( ) et v () > () [important à dire pour pouvoir appliquer la propriété du cours] donc est croissante sur ] ; ] et décroissante sur [ ; + [ Remarque : On peut aussi ormuler autrement l inégalité () en disant que la onction v est à valeurs dans ] ; + [ 7 : 5 6 : ) Justiions que est déinie sur Pour tout réel, donc est déinie sur ) C j O i 5 = ; La onction est «associée» à la onction «racine carrée» est une onction associée à la onction «racine carrée» On peut voir la onction comme enchaînement d une onction aine suivie de la onction «racine carrée» 5 * + * Variations d une onction aine La onction 5 est décroissante sur et change de signe en 5 Elle devient négative à partir de 5 On aura donc des valeurs interdites à partir de 5 5 + après la calculatrice, il semble que la onction soit croissante sur ] ; ] et décroissante sur [ ; + [ est décroissante sur I On visualise la courbe représentative de sur l écran d une calculatrice graphique Attention à bien mettre des parenthèses lorsque l on rentre la onction dans la calculatrice : ( 5 * X )
8 : = ] ; ] Étudions le sens de variation de sur ; La onction est «associée» à la onction «racine carrée» u et v sont décroissantes sur ] ; [ (u est une onction aine et le coeicient de est strictement négati) Or u v onc est décroissante sur ] ; [ (Le tableau de variation n est pas demandé) On pourrait dire «strictement décroissante» La onction peut être vue comme l enchaînement de deu onctions : la onction suivie de la onction «racine carrée» : est décroissante sur I + + * Étudions le sens de variation de sur ; On pose u( ) et v( ) u et v sont croissantes sur ; (la onction u est une onction aine, et même linéaire, et le coeicient de est strictement positi ; pour la onction v on eplique son sens de variation par rapport à celui de la onction ) Le but des eercices 9,,, est de rédiger sur les onctions = u + v onc est croissante sur ; 9 : Étudions le sens de variation de sur ; On pose u( ) et v( ) u et v sont croissantes sur [ ; +[ (ce sont deu onctions de réérence) Or u v onc est croissante sur [ ; +[ (Le tableau de variation n est pas demandé) On pourrait dire «strictement croissante» : 5 * Étudions le sens de variation de sur ; L epression de la onction est «ormée» de deu onctions (on a une onction dont l epression est «ormée» de deu onctions) Idem sur ] ; +[ : \ Étudions le sens de variation de sur les intervalles qui constituent Même démarche qu à l eercice précédent On pose u( ) et v( ) u et v sont décroissantes sur chacun des intervalles ; et ; (normalement il audrait de nouveau détailler pour v) Or u v onc est décroissante sur chacun des intervalles ; et ; On pose u( ) 5 et v( )
: Étudions le sens de variation de sur On procède en étapes + () après les + indiquant le signe, + + > onc on peut appliquer la règle du sens de variation de l inverse d une onction ) émontrons que pour tout, on a : \ { } ) Étudions les variations de 5 5 ( ) (on «incruste» le dénominateur au numérateur) 5 5 (orme canonique de la onction homographique) + + 5 + 4 Étude des variations d une onction homographique () : \ est une onction homographique On appelle onction homographique le quotient de deu onctions aines c est-à-dire une epression admettant une epression de la orme a b c d Commentaire : 5 : ; g : g \ ; Étudions les variations de et g On observe que g est l inverse de (on a : \ { ; } g ) Une onction homographique n est pas un cas particulier de onction «inverse» comme me l a dit Amaury Lacaille le -- On peut éventuellement dire que c est une onction associée à la onction «inverse» + () + g () +
On vériie les variations en traçant les représentations graphiques des onctions et g sur calculatrice 6 : 4 6 ) On peut prendre la enêtre graphique suivante : X min = 8 X ma = 5 X grad =,5 Y min = 8 Y ma = Y grad = Y res = ) éterminons à l aide de la calculatrice un encadrement d amplitude, de la solution de l équation () On cherche les coordonnées du point d intersection des courbes de et g La calculatrice aiche : X =,65 Y =,88845 On peut donc écrire,,4 On peut aussi prendre une autre racine ) éterminons à l aide de la calculatrice un encadrement d amplitude, de la solution de l équation () = La calculatrice aiche : X =,55 Y = On peut donc écrire, 5, 5 On ne peut pas donner la valeur eacte de avec le cours de ère On pourrait aussi utiliser : - la méthode de balayage ; - la méthode de dichotomie Certains logiciel de calcul ormel permettent cependant de trouver la valeur eacte de (ce n est pas le cas de XCas) 7 () ) : ; g : On peut prendre la enêtre graphique suivante : X min = X ma = 4 X grad =,5 Y min = Y ma = Y grad = Y res =