e3a 2016 - PSI 1 durée 4 heures - calculatrices interdites Exercice 1 Soit (a n ) n N une suite de réels. Pour tout n N, on pose b n = n(a n a n+1 ), A n = n a k et B n = 1. On prend dans cette question, pour tout n 1, a n = 1 2 n 1. (a) vérifier que n 1 a n converge et calculer sa somme. (b) Déterminer le rayon de convergence de la série entière n 1 nx n 1. (c) Montrer que la série n 1 b n converge et calculer sa somme. n b k 2. On prend dans cette question, a n = 1 n ln(n), n 2 et a 1 = 0. (a) Etudier la monotonie et la convergence de la suite (a n ) n 2. (b) Quelle est la nature de la série n 1 a n? (c) Calculer lim na n. (d) Quelle est la nature de la série b n? n 1 3. On suppose dans cette question que la série n 1 a n converge et que la suite (a n ) n N est une suite décroissante de réels positifs. (a) Pour tout entier naturel n non nul, on note u n = u n. (b) En déduire que lim na 2n = 0. (c) Démontrer alors que lim na n = 0. (d) Montrer que la série b n converge. n 1 (e) A-t-on + a n = + b n? 2n p=n+1 a p. Montrer que n N, na 2n 4. On suppose dans cette question que la série n 1 b n converge et que la suite (a n ) n N est positive, décroissante et de limite nulle. (a) Vérifier que m N, m n, B n A m ma n+1. (b) En déduire que n 1 a n converge. (c) Peut-on en déduire que + a n = + b n? 1
Exercice 2 Pour tout entier naturel n, on note e n : x R + x n e x. Soient N N et E le sous-espace vectoriel de C 1 (R +, R) défini par E = Vect(e 0, e 1,..., e N ). 1. Montrer que B = (e 1, e 1,..., e N ) est une base de E. En déduire la dimension de E. 2. Pour tout élément g de E, on note (g) = g. (a) Démontrer que L(E). (b) Ecrire la matrice A de dans la base B. est-il un automorphisme de E? (c) Déterminer les éléments propres de. L endomorphisme est-il diagonalisable? 3. Soient k [ 0, N ] et x 0. Montrer que la série de terme général w n = e k (x+n) est convergente. 4. (a) Pour tout entier naturel k, on considère une suite (u n,k ) n N telle que la série n 0 u n,k converge. Citer le théorème du cours qui justifie que l on a (pour tout N N) ( + N ) ( N + ) u n,k = u n,k k=0 (b) Soit f E. Démontrer que la série de terme général u n = f(n + x) est convergente pour tout x 0. On note alors F (x) = + k=0 f(n + x) (c) Justifier que la série de terme général n j e n pour tout j fixé de N est convergente. On note alors A j = + n j e n (d) Exprimer F (x) en fonction des A j pour tout x 0. (e) En déduire que F E et que l application Φ : f F ainsi définie est un endomorphisme de E. 5. Ecrire la matrice de Φ dans la base B en fonction des A j. L endomorphisme Φ est-il diagonalisable? Exercice 3 1. Programmes mystères 1. On donne les programmes Python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels P0(5), P1(5) et P0(9), P1(9)? Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1? 1 def P0(N): #N entier naturel 2 if N==1 : 3 return False 4 if N==2: 5 return True 6 for d in range(2,n): 7 if N%d==0: 8 return False 9 return True 1 def P1(N): #N entier naturel 2 if N==1 : 3 return False 4 if N==2: 5 return True 6 for d in range(2,n): 7 if N%d==0: 8 return False 9 return True 2
2. En une phrase, dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le programme P1 précédent : Que renvoie l appel P2(127)? 1 def P2(N): #N entier naturel 2 L=[] 3 k=0 4 n=k*k+1 5 while n<=n: 6 if P1(n): 7 L.append(n) 8 k=k+1 9 n=k*k+1 10 return L 3. Ecrire une fonction nextprime en langage python qui prend en argument un entier N et qui retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement supérieur à N. 4. Nombres jumeaux On appelle couple de nombres premiers jumeaux toute liste [p,q] telle que p,q sont des nombres premiers vérifiant p < q et q = p+2. Par exemple, [3,5] ou [11,13] sont des couples de nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l est pas. (a) Ecrire à l aide de la fonction nextprime précédente, une fonction python nommée jumeau, prenant comme argument un entier N et renvoyant le couple [p,q] de nombres premiers jumeaux tels que p strictement supérieur à N et le plus petit possible. Par exemple jumeau(5) renvoie comme valeur [11,13]. (b) Ecrire avec les mêmes consignes une fonction lesjumeaux prenant en argument un entier N et renvoyant la liste de tous les couples de nombres premiers jumeaux [p,q] tels que q N. Par exemple, lesjumeaux(18) retourne [[3,5],[5,7],[11,13]] (le couple [17,19] n en fait pas partie). 2. Fonction récursive On considère la fonction définie comme suit en python 1. Que fait l appel M(101)? 1 def M(n): 2 if n>100: 3 return n-10 4 else: 5 return M(M(n+11)) 2. Plus généralement, que fait l appel M(N) si N > 100? 3. Que renvoient les appels M(100)? Puis M(99), M(98)? 4. Conjecturer ce que renvoie l appel M(N) où N 100, entier naturel, puis le démontrer. 3
Exercice 4 Dans tout l exercice n est un entier naturel 1. Préliminaires 1. Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel E. Le sous-espace Im(u) est-il stable par l endomorphisme u? Justifiez votre réponse. 2. Soit u l endomorphisme de E = R 4 défini dans la base canonique B = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) de E par u(e 1 ) = e 3, u(e 2 ) = e 4, u(e 3 ) = u(e 4 ) = 0 (a) Déterminer Im(u), ker(u), rg(u). A-t-on E = ker(u) Im(u)? (b) L endomorphisme u est-il diagonalisable? (c) Ecrire dans une base de Im(u) la matrice de l endomorphisme induit par u sur Im(u). 3. Soit A M n (R) et λ une valeur propre de A. Que peut-on dire de la dimension du sous-espace vectoriel ker(a λi n ) où I n désigne la matrice identité de M n (R)? 4. On suppose que A M n (R) possède n valeurs propres distinctes. Donner, en le justifiant, l ordre de multiplicité de chacune de ces valeurs propres dans le polynôme caractéristique. 2. L exercice On identifie le vecteur V R n et la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique. On munit l espace R n du produit scalaire usuel (X Y ) = t XY. M est une matrice de M n (R) possédant n valeurs propres distinctes λ 1,..., λ n. Pour tout k [ 1, n ], on choisit un vecteur non nul V k E k = ker(m λ k I n ). 1. Montrer que t M est diagonalisable dans M n (R) et admet les mêmes valeurs propres que M. On choisit alors pour tout k [ 1, n ] un vecteur W k non nul de ker( t M λ k I n ). 2. Prouver que i j, t V i W j = 0. 3. Démontrer que i, t V i W i 0. Pour tout k [ 1, n ], on note B k = 1 t V k W k (V t k W k ). ( ) 1 1 4. Exemple : soit A =. Vérifier que A possède deux valeurs propres distinctes λ 0 2 1, λ 2 telles que λ 1 < λ 2. Déterminer les matrices B 1 + B 2 et λ 1 B 1 + λ 2 B 2. 5. On revient au cas général Soit k [ 1, n ]. Déterminer le rang de B k. Calculer B 2 k. La matrice B k est-elle diagonalisable dans M n (R)? 6. Déterminer P = n B k et Q = n λ k B k. 7. Soit r N. Déterminer G r = n (λ k ) r B k. 4
Exercice 5 1. Soit x R et ϕ x la fonction qui à tout réel t associe ϕ x (t) = max(x, t). (a) Donner une représentation graphique de ϕ x. (b) Calculer Φ(x) = 1 0 ϕ x(t) dt. (c) Donner une représentation graphique de Φ. Dans toute la suite de l exercice, on considère une variable aléatoire X, définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et on admet que l on définit une variable aléatoire Y, définie sur le même espace probabilisé, par ω Ω, Y (ω) = 1 0 max(x(ω), t) dt 2. Dans cette question, X suit une loi géométrique. Déterminer Y (Ω) pour tout ω Ω. 3. Dans cette question, X suit une loi binomiale B(n, p) où n N et p ]0, 1[. (a) Donner X(Ω), P([X = x]) où x X(Ω), l espérance et la variance de X. (b) Déterminer Y (Ω) et donner la loi de probabilité de Y. 4. On suppose dans cette question que X(Ω) = { 1, 0, 1/2, 2} et que (a) Déterminer la valeur de P(X = 1/2). P(X = 1) = P(X = 0) = 1 8, P(X = 2) = 1 3 (b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y puis calculer son espérance E(Y ). (c) On note Z la variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé par Z = XY. Justifier que Z(Ω) = { 1/2, 0, 5/16, 4}. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Z. (d) Calculer le coefficient de corrélation ρ(x, Y ) des deux variables aléatoires X et Y. 5