Lycée de Souassi DEVOIR DE SYNTHESE N 4/3/9 SECTIONS : 4 éme Sciences de l informatique EPREUVE : Mathématiques DUREE : 3 heures PROFESSEUR : Mr FLIGENE Wissem EXERCICE N : (3 points) Cet exercice est un Q.C.M (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Barème : Une mauvaise réponse enlève la moitié des points attribués à la question. L'absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total des points de l exercice est négatif, la note globale attribuée à l exercice est ramenée à. Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction f définie et dérivable sur 3,. On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère. x 3 3 + f(x) + Q Q Q3 F désigne une primitive de f sur 3,. F est : La courbe (C) admet pour asymptote la droite d équation : g est la fonction définie par g( x) ln f ( x) l intervalle 3,. On peut affirmer que : sur a) strictement décroissante sur ;3 b) strictement décroissante sur 3; c) strictement croissante sur ;3 a) y 3 b) x c) x 3 a) g( x) b) g( x) c) g( x) EXERCICE N : (5 points) En annexe, on donne le graphique représentant la courbe (Cf) d une fonction bijective de, sur, La courbe (Cf) admet une asymptote D : y x On désigne par f la fonction réciproque de f - Que peut-on dire de la dérivabilité de f à droite en? en déduire la dérivabilité de - Déterminer lim f ( x) x et lim f ( x) x x 3- Dresser le tableau de variations complet de 4- Tracer, sur le graphique, la courbe C f de f f f à droite en Page sur 6

EXERCICE N 3: (6 points) I. Soit g la fonction définie sur, par : g( x) x ln x. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g.. Calculer g (). En déduire le signe de ( ),. g x pour x appartenant à l intervalle ln x x II. Soit f la fonction définie sur, par : f ( x). On note C f sa courbe représentative dans x un repère du plan.. a. Calculer la limite de f à droite en. Interpréter graphiquement ce résultat. b. Calculer la limite de f en +. x c. Montrer que la droite D d équation y est asymptote à la courbe C f au voisinage de +. d. Etudier les positions relatives de la droite D et de la courbe C f.. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle g( x),, f '( x). x b. En déduire le signe de f '( x) puis dresser le tableau de variations de la fonction f. 3. Tracer la droite D et la courbe C f dans le repère fourni en annexe. EXERCICE N 4: (6 points) L espace est rapporté à un repère orthonormé O, i, j, k. On considère les points A,,, B,,4, C,, et E,, 5 5. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D passant par E et de vecteur directeur u AB b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite c. Montrer que les droites D et AB ne sont pas coplanaires. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés 3 b. Soit le vecteur n 4. Vérifier que n est orthogonal aux vecteurs AB et AC En déduire une équation cartésienne du plan ABC 3. Soient P et P les plans d équations respectives x y z et x y 6z a. Montrer que les plans P et P sont sécants selon la droite D P P ABC b. Déterminer Page sur 6

ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE Nom : Prénom : 4 Sc.Inf EXERCICE N : EXERCICE N 3: 3 4 5 6 7 - - -3-4 Page 3 sur 6

Correction Solution-Exercice Q a) ; Q c) ; Q 3 c) Solution-Exercice - (Cf) admet au point d abscisse une demi-tangente verticale donc f n est pas dérivable à droite en Par symétrie par rapport à la droite d équation y = x, C f admet au point d abscisse f()= une demitangente horizontale donc - lim f ( x) x 3- f et 4- et f x x f est dérivable à droite en et d lim ( ) x f () f ont même sens de variations, et puisque f est strictement croissante sur, alors : x f Solution-Exercice 3 I- g( x) x ln x ; ܦ = ], + [ - g est dérivable sur ], + [ (comme étant somme de deux fonctions dérivables sur ], + [ ) g ᇱ ݔ = (ݔ) ଵ < pour tout > ݔ. Donc g est strictement décroissante sur ], + [ ௫ - () = = x + x + D où g(x) g(x) + ln x x II- f ( x) ; ܦ = ], + [ x - a- lim f ( x). L axe des ordonnées est une asymptote verticale à C f b- c- x ln x x lim f ( x) lim lim x x x x x ln x x lim f ( x) lim x donc D : y est asymptote à C f au voisinage de + x x Page 4 sur 6

ln x d- f ( x) ݔ est celui de ݕ (ݔ), le signe de > ݔ y donc pour tout x Si < < ݔ alors < ݕ (ݔ) et par suite C f est en dessous de D Si > ݔ alors > ݕ (ݔ) et par suite C f est au dessus de D = (ݔ) ᇱ - a- 3- C f Si = ݔ alors C f ܦ = ܣቄ ቀ, ଵ ଶ ቁቅ భ ଶ௫ ଶ௫ ସ௫ మ ଵ ଶ = ଶ ଶ௫ ସ௫ మ ଵ = ଵ ௫ ଵ = ଵ ௫ ௫మ = (௫) ଶ ଶ௫ మ ଶ ଶ௫ మ ଶ௫ మ (ݔ) est celui de (ݔ) ᇱ, le signe de > ݔ b- pour tout x + f '(x) + f(x) admet en ܣ ቀ, ଵ ቁune tangente horizontale ଶ ଵ ଶ Solution-Exercice 4 ହ ߙ ଶ = ݔ - a- :ܦ ߙ + ଵ = ݕ R ߙ ; ହ ߙ = ݖ b- (AB) est la droite passant par A et dont un vecteur directeur est ሬ ܤܣ ൭൱ alors = ݔ R ߚ ; ߚ = ݕ :(ܤܣ) ߚ + = ݖ Page 5 sur 6

c- u est un vecteur directeur de D et ሬ ܤܣ ൭൱ est un vecteur directeur de (AB) alors ሬ ݑ et ሬ ܤܣ ne sont pas colinéaires et par suite D et (AB) ne sont pas parallèles ( ) ଶ ଵ ଶ Étudions l intersection de D et (AB) : soit ܦ (ݖ,ݕ,ݔ) ܯ (ܤܣ) alors ଶ ହ ଵ ହ () = ߙ () ߚ = ߙ + (3) ߚ = + ߙ () donne = ߙ ଶ = ߙ = ଵ () donne ߚ = ଵ = ହ Remplaçons les valeurs de ߙ et ߚ dans (3) : = ଵଶ ( ) = (ܤܣ) ܦ ce qui est impossible donc ଵ ଵ ( ) et ( ) donnent D et AB ne sont pas coplanaires - a- ሬ ܤܣ ൭൱ ; ሬ ܥܣ ൭ ൱ alors ሬ ܤܣ et ሬ ܥܣ ne sont pas colinéaires et par suite A, B et C ne sont pas alignés ଶ ଵ ଵ 3 b- n 4 ሬ ܤܣ ሬ ሬ ܤܣ ൭൱ : 3 + 4 + ( ) = 4 4 = donc ; 3 n 4 ሬ ܥܣ ሬ ሬ ܥܣ ൭ ൱ : 3 ( ) + 4 + ( ) ( ) = 6 + 4 + = donc ; Comme ሬ ܤܣ et ሬ ܥܣ sont deux vecteurs du plan (ABC) et qui ne sont pas colinéaires alors ሬ est un vecteur normal à (ABC) d où (ABC) = +ݖ ݕ 4 + ݔ 3 : or (,, )ܣ (ܥܤܣ) alors 3 + 4 + = d où = = +ݖ ݕ 4 + ݔ 3 :(ܥܤܣ) : Conclusion ହ ߙ ଶ = ݔ 3- P : x y z ; P : x y 6z ; :ܦ R ߙ ; ߙ + ଵ = ݕ ହ ߙ = ݖ a- Etudions l intersection de P et D = + ߙ + ቁߙ + ଵ + ቁߙ ቀ ଶ ଵ alors ቀ ܦ (ݖ,ݕ,ݔ) ܯ Soit ܦ = donc = + ߙ + ߙ + ଵ ߙ 4 ସ ଵ Etudions l intersection de P et D = ߙ + 6 ߙ 4 ହ + ଶ ߙ ହ ଶ = ߙ 6 + ቁߙ + ହ ቀ ଵ ߙ ହ ଶ alors ଶ ܦ (ݖ,ݕ,ݔ) ܯ Soit = donc ܦ ଶ Comme ଵ et ଶ ne sont pas confondus (puisque leurs équations ne sont pas équivalentes) alors P et P sont sécants selon la droite D b- On a : ଵ ଶ =,ܦ étudions donc l intersection de D et le plan (ABC) = + ߙ ቁߙ + ଵ + ቁߙ 4 ቀ ଶ alors 3 ቀ (ܥܤܣ) ܦ (ݖ,ݕ,ݔ) ܯ Soit = (ܥܤܣ) ܦ = Impossible donc = + ߙ ߙ 8 + ସ ߙ 6 = (ܥܤܣ) ଶ D où ଵ Page 6 sur 6