Éléments de calcul actuariel

Éléments de calcul actuariel Master Gestion de Portefeuille ESA Paris XII Jacques Printems printems@univ-paris2.fr 3 novembre 27

Valeur-temps de l argent Deux types de décisions duales l une de l autre : épargner pour une consommation future ou bien emprunter en vue d une consommation courante. Besoin de déterminer, soit le montant de l épargne, soit le coût de l emprunt. Cas général : besoin d évaluer des transactions concernant des sommes présentes ou futures. La valeur-temps de l argent est un concept qui permet d établir des relations entre différents flux de trésorerie de dates différentes. 2

Plan. Taux d intérêt. 2. Valeur future d un montant ou d un flux de trésorerie Prêt. 3. Valeur aujourd hui d un montant future ou d un flux de trésorerie future Emprunt. 4. Exercices. 3

Les taux d intérêt. L idée d une équivalence entre sommes associées à des dates différentes est simple. Soit l alternative : Payer $ aujourd hui et recevoir 9 5 $ aujourd hui? Payer $ dans un an et recevoir 9 5 $ aujourd hui? Il est juste d amputer la valeur à payer dans un an d un montant basé sur le temps passé avant que l argent soit versé. Taux d intérêt r = ( $ - 9 5 $)/9 5 $ =.526 = 5,26%. 4

Les taux d intérêt peuvent être vu de trois façons : taux minimum : c est le montant minimum qu un investisseur estime recevoir à terme pour pouvoir accepter l investissement. taux de remise ( discount ) : du point de vue du prêteur, recevoir une somme (ex : $) dans un an en versant une somme aujourd hui (ex : $95) implique un taux de remise de 5/95.526, soit 5.26 %. coût d opportunité : renoncer à épargner une somme pour une consommation courante revient à renoncer à x% de gain d épargne. C est le coût d opportunité de la consommation. 5

Détermination par le marché. r = taux réel d intérêt risque-neutre + prime d inflation + prime de risque de défaut + prime de liquidité + prime de maturité Taux réel risque-neutre : reflète la sensibilité des gens à l alternative épargne/consommation (dans un monde sans inflation). La prime d inflation : rétribue l investisseur du risque d inflation attendue (sa moyenne) sur la période considérée. La somme de la prime d inflation et du taux réel risque-neutre est le taux nominal risque-neutre. 6

En fait, +R nominal = (+R risque neutre )(+R inflation ) +R risque neutre +R inflation Exemple : le livret A. r =.25 + (EURIBOR + inflation), 2 arrondi à.25 par excès. Exemple : Bons du trésor U.S. Treasury bills : taux d intérêt à 9 jours des bons du trésor américain représente le taux risque-neutre nominal sur cette période. Bons du Trésor à taux fixe et à intérêts précomptés (gouvernement français) : maturité 3, 6 et 2 mois. Finanzierungsschätze des Bundes (dim. Schätze) (gouvernement allemand) : maturité jusqu à 24 mois. Treasury bill du gouvernement brittanique : de à 365 jours. 7

La prime de risque de défaut : rétribue l investisseur du risque de défaut de l emprunteur. Facteurs secondaires : La prime de liquidité La prime de maturité 8

2 Valeurs futures d un flux de trésorerie. P = valeur présente d un investissement (Principal) F N = valeur future de l investissement initial après N périodes r = taux d intérêt par période Exemple : Principal $. Intérêt de la ère année ($.5) $ 5. Intérêt de la 2ème année basé sur le montant principal ($.5) $ 5. Intérêt de la 2ème année basé sur les intérêt gagné pdt la ère année (.5 $5. d intérêt sur les intérêts) $.25 Total $.25 9

L intérêt gagné sur chaque période : intérêt simple, P ( + rn). L intérêt gagné durant la période est réinvesti dans la période suivante : intérêts composés (ou capitalisables) () F N = P ( + r) N Exemple : F 2 = $ (.5) 2 =.25$. Remarque Dans (), te taux r et le nombre de période N doivent être compatible. Ex : si N est en mois alors r doit être le taux d intérêt mensuel.

Fréquences des compositions Les paiements d intérêt peuvent avoir lieu plus d une fois par an. Par exemple, beaucoup de banques propose des taux d intérêt composés 2 fois par an. r d = taux d intérêt annuel déclaré Ex : r d =.8% composé 2 fois par an taux d intérêt mensuel.8/2 =.67 ou.67%. ( +.67) 2 =.83.8. Ainsi le terme ( + r d ) ne représente plus une valeur future lorsque la fréquence de composition des taux est plus d une fois par an.

Soit m la fréquence de compositions par an, la valeur future pour N périodes est ( (2) F N = P + r ) mn d. m r d m = taux annuel déclaré / nombre de périodes par an mn = nombre de périodes par an nombre d années Remarque 2 Encore ici, le taux périodique et le nombre de périodes de compositions doivent être compatibles. 2

Calcul de la durée Les règles de calcul de la durée sont : une année compte 36 jours, 24 quizaines, 2 mois. Si la durée est calculée en jours, le compte est exact (ex : sans indication contraire, le mois de février compte 28 jours). Si la durée est calculée en quinzaines : on compte les quinzaines à partir du er ou du 6 qui suit le dépôt, à partir du er ou du 6 qui précède le retrait. Si la durée est calculée en mois, on ne tient pas compte de la durée réelle des mois. 3

Exemple : Valeur future avec capitalisation mensuelle Une banque australienne vous offre 6% capitalisable tous les mois. Vous décidez d investir A$ sur un an. Questions :. Quelle est la valeur future de votre investissement si les intérêts des paiements sont réinvestis à 6%? 2. Comparez avec le même taux composé une fois par an. 4

Composition continue Si le nombre de compositions par an devient infini, alors le taux est dit être composé continuement. Pour généraliser la formule (2), il faut faire tendre m vers l infini à N fixé. On obtient (3) F N = P e r dn On remarque dans le tableau que plus la fréquence des capitalisations augmente, plus le montant futur augmente, la composition en temps continue donnant le montant maximal. De plus, $ investi à 8.6% avec composition annuel donne la même valeur que $ investi à 8% avec composition semi-annuel : on distingue le taux d intérêt annuel déclaré et le taux annuel effectif ou effective annuel rate, soit EAR. 5

Ici, 8% de ( taux déclaré annuel équivaut à 8.6% de taux EAR : EAR = + r ) m d ou EAR = e r d } {{ m } {{ } } avec m compositions avec une infinité de compositions. Tab. Effet de la fréquence de compositions des taux sur une valeur future. Fréquence r s /m mn Valeur future de $ Annuel 8%/ = 8% = $.(.8) = $.8 Semi-annuel 8%/2 = 4% 2 = $.(.4) 2 = $.86 Trimestriel 8%/4 = 2% 4 = $.(.2) 4 = $.82432 Mensuel 8%/2 =.6667% 2 = $.(.667) 2 = $.83 Quotidien 8%/365 =.29% 365 = $.(.29) 365 = $.83278 Continue $.e.8() = $.83287 6

Valeur future d un flux de trésorerie. On considère un flux de trésorerie avec versements constants de $ sur 5 ans avec un taux de 5%. 2 3 4 5 $ $ $ $ $ (.5)^4 $ (.5)^3 $ (.5)^2 $ (.5)^ $ (.5)^ Fig. Valeur future après 5 ans d un flux constant. 7

Formule générale : flux A, N périodes, taux d intérêt r, on a F N = A [ ( + r) N + ( + r) N 2 + + ( + r) + ( + r) ], [ ( + r) N ] = A. r Preuve : On a F N = AS avec S = On écrit N k= q k où q = + r >. S = + q + q 2 + + q N qs = q + q 2 + q 3 + + q N. En soustrayant et en divisant par q, on obtient S = qn q. 8

3 Valeur de l emprunt Généralement, lorsque l on emprunte (ou prête) c est pour une durée limitée et selon des modalités fixées à l avance. N t t2 t3 T F F2 F3 Fn Fig. 2 Flux de l emprunteur. N = valeur de l emprunt d échéance T = t n à t =, F k = flux à la date t k Le contrat stipule que l emprunt est au taux r capitalisable à chaque date t k. 9

Valeur de N? Point de vue de l emprunteur : Soit N k la somme due au lendemain du remboursement de flux F k. On a le tableau suivant N = N N = N ( + r) t F. N k+ = N k ( + r) t k+ t k F k+. N n = N n ( + r) t n t n F n = 2

On divise la ligne de chaque N k pour k par ( + r) t k. On obtient le tableau N = N N ( + r) t = N F ( + r) t N 2 ( + r) t 2 N k+ ( + r) t k+ N n ( + r) t n =.. =. = N ( + r) t F 2 ( + r) t 2 N k ( + r) t k F k+ ( + r) t k+ N n ( + r) t n F n ( + r) t n = 2

On somme le tout : N n k= F k ( + r) t k =, soit N = n k= F k ( + r) t k. Point de vue du prêteur : Prêter, c est placer au taux r durant la période [, T ]. D où N( + r) T } {{ } = ( + r) T t F } {{ } +...+ ( + r) T t n F n } {{ } valeur en T de la valeur en T de la = F n reçue à t n somme reçue en t = somme reçue à t = t En simplifiant par ( + r) T, on obtient la même formule : (4) N = ( + r) t F + + ( + r) t k F k + + F n = n k= F k ( + r) t k. 22

Pour une valeur de N donnée, combien de flux possibles? Réponse : une infinité.. Annuités constantes : F k = A, t k = k (années) N = A n k= On en tire la valeur de (5) A = rn ( + r) k = A +r (+r) n+ +r ( + r)n ( + r) n = rn 2. Remboursement du principal in fine : F k = A, k n F n = N + A ( = A (+r) n r (+r) n ).. N = A n k= ( + r) k + N + A ( + r) n = A r 23 ( ) ( + r) n + N ( + r) n,

soit A = rn où encore r = A N. 3. Prêts étudiants Les remboursements n ont lieu qu à partir d une date dans le futur, disons t = k. Tout se passe comme si la somme à rembourser était devenue N( + r) k. On applique l équation (5) en remplaçant N par N( + r) k, soit A = rn ( + r)k +n ( + r) n 24

Tableau d amortissements Méthode de suivi du remboursement d un emprunt. Capital prêté $, taux annuel 5% sur 5 ans. Méthode de remplissage : On rappelle la formule : N k = N k ( + r) F k, soit N k }{{} = N k } {{ } (F k rn k ) } {{ }. capital dû au début capital dû au début capital amorti de l année k de l année k = annuité intérêt payé 25

. Cas du remboursement in fine. Année Capital restant Capital amorti Intérêt à payer Annuité Capital restant i dû au début de i à la fin de i au début de i à la fin de i 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 Annuités Capital amorti Intéret 2 3 4 5 t Fig. 3 hachure = intérêts, blanc = capital amorti 26

2. Cas des fractions égales. Année Capital restant Capital amorti Intérêt à payer Annuité Capital restant i dû au début de i à la fin de i au début de i à la fin de i 2 5 25 8 2 8 2 4 24 6 3 6 2 3 23 4 4 4 2 2 22 2 5 2 2 2 Annuités 2 3 4 5 t Fig. 4 Fractions constantes. 27

3. Cas des annuités constantes. Année Capital restant Capital amorti Intérêt à payer Annuité Capital restant i dû au début de i à la fin de i au début de i à la fin de i 8 97 5 23 97 8 93 2 8 93 9 2 4 95 23 97 62 9 3 62 9 9 952 3 45 23 97 42 949 4 42 949 2 95 2 47 23 97 2 999 5 2 999 2 997 23 97 2!!! Annuités t 2 3 4 5 Fig. 5 Annuités constantes. 28

. Remboursement à la fin. F k = rn k, k 4, F n = rn n + N 2. Fractions égales. Capital amorti/an = constant = C = F k rn k = C = N n. De même N k = N k N n. Soit C = 2 et N k = kc. 3. Annuités constantes. A = rn ( + r)n ( + r) n = $23 97. 29

4 Exercices. Exercice : Calcul d un taux de croissance En 998, une entreprise a acquis un bénéfice net de $8 436 millions. En 22, elle empoche $ 8 445 millions. Quel est le taux de croissance annuel des bénéfices nets de l entreprise? Exercice 2 : Calcul d un nombre de périodes Combien de temps une somme de $ placée à 7% avec capitalisation annuelle met pour doubler de valeur (soit $2 )? En général, cela dépend-t-il du montant initial? 3

Exercice 3 : Calcul d annuités () On souhaite acquérir une maison de $2 en payant d abord $2 et en empruntant le reste sur 3 ans `8 % avec paiements mensuels. Quel sera le montant des mensualités (constantes)? Quel est le taux annuel effectif? Exercice 4 : Calcul d annuités (2) M. Dupond a 22 ans et prévoit de prendre sa retraite à 63 ans. Il prévoit d économiser $2 par an sur les 5 prochaines années. Il veut pouvoir bénéficier de $ de revenu par an pendant 2 ans durant sa retraite avec le premier paiement à la première année. Combien devra-t-il économiser chaque année à partir de la 6ème année? On suppose qu il prévoit d investir dans un fond à 8% par an en moyenne. 3

Exercice 5 : Vous allez recevoir F=$ dans ans. Votre fils projette d acheter une maison dans 4 ans. Vous voulez savoir quelle sera la valeur de F à ce moment. Avec un taux à 8%, quelle sera la valeur de F dans 4 ans? Exercice 6 : Un manager de fonds de pension Canadien sait que le fonds doit réaliser une somme de C$5 million d ici ans. Il souhaite investir un montant aujourd hui de façon à récupérer cette somme dans ans. Le placement envisagé propose 6% composable mensuellement. Combien doit-il investir aujourd hui? 32

Exercice 7 : Vous prenez votre retraite aujourd hui et vous devez choisir entre une somme globale ($2 ) et un versement annuel ($2 ) pendant 2 ans avec le premier cette année. Le taux d intérêt de la banque est 7% composable annuellement. Quelle option vous paraît-elle la plus intéressante (vue d aujourd hui)? Exercice 8 : Un manager de fonds de pension allemand prévoit un versement de EUR par an pour des retraites. Les premiers départs en retraite n arriveront pas d ici ans (à partir de maintenant), soit t =. Les versements seront alors payés tous les ans jusqu à t = 39. Quelle est la valeur aujourd hui de ce plan de retraite si le taux est de 5% composable annuellement? 33