AP ère ES L Nombre dérivé 2 Exercice : La courbe représentant la fonction f est représentée ci-dessous. ) Donner par lecture grapique f( 2) et f(6). 2) Donner par lecture grapique f ( 2), f (2) et f (6). 3) Déterminer l équation de la tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 2, puis au point d abscisse 6. Exercice 2 : La courbe représentant la fonction f est représentée ci-dessous. ) Donner par lecture grapique f(3), f( 2) et f( 9). 2) Donner par lecture grapique f (3), f ( 2) et f ( 9). 3) Déterminer l équation réduite de la tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 3 puis au point d abscisse 9. Exercice 3 : La courbe représentant la fonction f est donnée ci-dessous : Exercice 4 : ) Déterminer grapiquement : f(0) et f (0) f( ) et f ( ) f(2) et f (2) l équation de la tangente à Cf au point d abscisse l équation de la tangente à Cf au point d abscisse 0 2) La droite T, tangente à Cf au point d abscisse 2 et d ordonnée passe par le point C ( ; 26). a) Déterminer par le calcul une équation de T. b) En déduire f ( 2). f est une fonction définie sur IR et Cf sa courbe représentative dans un repère. f est dérivable en 2,5 et la tangente T à la courbe Cf au point d abscisse 2,5 a pour équation y = 4x. ) Quelle est la valeur du nombre dérivé f (2,5)? 2) Calculer f(2,5). Exercice 5 : g est une fonction définie sur IR et Cg sa courbe représentative dans un repère. g est dérivable en et la tangente T à la courbe Cg au point d abscisse a pour équation y = 2x + 5. ) Quelle est la valeur du nombre dérivé g ( )? 2) Calculer g( ). Exercice 6 : Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 2x² + x. On admet que g (0,5) = 3. Déterminer l équation de la tangente à la courbe représentant la fonction g au point d abscisse 0,5.
Exercice 7 : Sur la figure ci-dessous, Cf est la courbe représentative d une fonction f dérivable sur IR. Les droites d, d 2, d 3 et d 4 sont tangentes à la courbe Cf. 3) Prolonger la courbe sacant que f() = 4, f(5) =, f () = 2 et f (5) = 3. ) Déterminer grapiquement f( 4), f( 2) et f(2). 2) Déterminer grapiquement f ( 4) et f (2). 3) La tangente à la courbe Cf au point A d abscisse 2 passe par l origine du repère. Déterminer f ( 2). 4) La tangente T à la courbe Cf au point B ( 6 ; 3 8 ) est parallèle à la droite d 4. Déterminer f ( 6) puis donner une équation de T, tracer T. Exercice 8 : On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative d une fonction f. ) Donner les coordonnées des points A et B de la courbe. Interpréter ces résultats en utilisant la fonction f. 2) Tracer les tangentes en A et en B sacant que f ( 2) = et f ( ) = 0. Exercice 9 : Tracer une courbe représentant une fonction f définie sur l intervalle [ 2 ; 3] et telle que : f( 2) = ; f( ) =,5 ; f(0) = 0,5 ; f() =,5 ; f(2) = 3 ; f(3) =. f ( 2) = 3 ; f ( ) = 0 ; f () = 2 et f (2) =0. Exercice 0 : On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x² + 5x. ) Calculer le nombre dérivé de f en. 2) Calculer le nombre dérivé de f en 3. 3) Déterminer l équation de la tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 3. Exercice : Soit g la fonction définie par g(x) =, sur IR {2}. x 2 Calculer le nombre dérivé de g en 3.
AP ère ES L Correction : Nombre dérivé 2 Exercice : ) f( 2) = et f(6) = 3. 2) f ( 2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d abscisse 2. f ( 2) = 4 3 f (2) = 0 et f (6) = 2. 3) La tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 2 : y = f ( 2)(x ( 2)) + f( 2) = 0,75(x + 2) + = 0,75x 0,5 La tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 6 : y = f (6)(x 6) + f(6) = 3(x 6) + 2 = 3x 6. Exercice 2 : ) f(3) =, f( 2) = 4 et f( 9) =. 2) f (3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d abscisse 3. f (3) =,5 f ( 2) = 0,25 et f ( 9) = 0. 3) La tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 3 : y = f (3)(x 3) + f(3) =,5(x 3) + =,5 x + 5,5. La tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 9 : y = f ( 9)(x ( 9)) + f( 9) = 0(x + 9) + = Exercice 3 : ) f(0) = f (0) = 3 f( ) = 3 f ( ) = 0 f(2) = 3 f (2) = 9 Tangente en : y = 0 Tangente en 0 : y = 3x + 26 2) a) m = = 9 et p = 26 9 = 7 donc tangente en 2 : 2 y = 9x + 7 b) f ( 2) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d abscisse 2 ainsi f Exercice 4 : ) f (2,5) = 4 2) f(2,5) = 4 2,5 4 = 6. Exercice 5 : ) g ( ) = 2 2) g( ) = 2 2 + 5 = 9. Exercice 6 : Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 2x² + x. On admet que g (0,5) = 3. g(0,5) = 2 0,5² + 0,5 = La tangente à la courbe représentant la fonction g au point d abscisse 0,5 : y = g (0,5)(x 0,5) + g(0,5) = 3(x 0,5) + = 3x 0,5 Exercice 7 : ) f( 4) = 6, f( 2) = 4 et f(2) = 8. 3
2) f ( 4) = 0 et f (2) = 0 4 0 3) f ( 2) = = 2 2 0 4) T est parallèle à d 4 donc les coefficients directeurs sont les mêmes : f ( 6) = 4. De plus B est un point de T donc : 8 80 p = 4 ( 6) = 3 3 Exercice 9 : Exercice 8 : ) A ( 2 ; 2) et B( ;,5). f( 2) = 2 et f( ) =,5. 2) Cf courbe 3) Cf courbe Exercice 0 : ) f ( + ) f () ( + )² + 5( + ) (² + 5) f ( ) = lim = lim = lim + 7 = 7 2) f (3 + ) f (3) (3 + )² + 5(3 + ) (3² + 5) f ( 3) = lim = lim = lim + = 3) Tangente à la courbe représentant f au point d abscisse 3 : y = f (3)(x 3) + f(3) = x 9 Exercice : g(3) = et g(3 + ) = + g(3 + ) g(3) g (3) = lim lim = + = lim = +