J. Chim. Rhys. (1999) 96, 1091-1097 EDP Sciences, Les Ulis Circulation de Hadley dans une cavité rectangulaire sous champ magnétique vertical T. Putelat 1 *, S. Kaddeche 2, H. Benhadid 1 et D. Henry 1 ' Laboratoire de Mécanique des Fluides et d'acoustique, UMR 5509 du CNRS, École Centrale de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, ECL, BP. 163, 69131 Écully cedex, France 2 École Polytechnique de Tunisie, BP. 743, 2078 La Marsa, Tunisie * Correspondance et tirés-à-parî. ABSTRACT The convective flow occuring in a fluid layer, due to a horizontal temperature gradient and controled by a vertical magnetic field, is studied. The fluid, enclosed in a rectangular cavity, is a conductive liquid metal with a Prandtl number assumed to be small. Velocity, temperature and electric potential are calculated analytically. With these solutions, the effect of lateral confinement and magnetic field intensity on linear stability thresholds is studied analytically and numerically, key words: Hadley circulation, magnetic field, linear stability RÉSUMÉ Nous étudions les mouvements convectifs d'une couche fluide confinée dans une cavité parallèlépipédique soumise à un gradient de température horizontal et à un champ magnétique vertical. Le fluide est un métal liquide à faible nombre de Prandtl et électriquement conducteur. Les champs de base, vitesse, température et potentiel électrique, sont calculés analytiquement. Nous étudions ensuite par voie numérique et analytique l'effet du confinement latéral et de l'intensité du champ magnétique sur la stabilité linéaire de ces solutions. mots-clés: circulation de Hadley, champ magnétique, stabilité linéaire INTRODUCTION Durant les processus de solidification dirigée, les mouvements de convection qui apparaissent dans la phase fluide sont responsables des inhomogénéités de concentration dans le cristal, en particulier des striations si l'écoulement est oscillatoire. Il
1092 T. Putelat et al. est possible de modifier la dynamique de cette convection en appliquant un champ magnétique qui permet de freiner l'écoulement et par conséquent de retarder I'apparition d'instabilités. OB JET DE L%TUDE Une couche fluide soumise à un gradient horizontal de température est le siège de mouvements convectifs connus sous le nom de circulationde Hadley. Cette étude concerne l'influence conjuguée du confinement latéral (section rectangulaire) et d'un champ magnétique vertical, constant et uniforme (FIG. 1) sur la structure de ces écoulements et leur stabilité. z La couche fluide est limitée var des parois rigides, thermiquement conduc-..,.. " trices et électriquement isolantes. FIG. I - Configuration étudiée Le fluide est un métal liquide conducteur à faible nombre de Prandtl, Pr << 1, considéré comme newtonien, incompressible et de densité p obéissant à l'approximation de Boussinesq p = po (1- cu (T- To)). Pour les métaux, la valeur du nombre de Reynolds magnétique est très faible: Re, = po a, U L «1. Le champ magnétique induit par le mouvement du fluide est alors négligeable devant le champ - - magnétique appliqué Bo, et le champ électrique est irrotationnel: E = -V& Le problème est régi par les équations de Navier-Stokes avec comme force sup- plémentaire la force de Laplace J x Bo, l'équation de la chaleur dont l'effet Joule et les frottements visqueux sont négligés, ainsi que les équations de Maxwell réduites à la loi d'ohm: J = me(-v4, + V x Bo). L'épaisseur de la cavité H, la viscosité cinématique v, le gradient de température imposé ATIL et l'intensité du champ magnétique Bo sont utilisés pour adimensionnaliser les équations. Les nombres sans dimension sont alors le nombre de Grashof Gr, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Hartmann Ha [Il: La dymanique de l'écoulement est ainsi contrôlée par le rapport entre les forces visqueuses, de flottaison et de Lorentz [2]. STRUCTURE DE L~ÉCOULEMENT Hypothèses et équations Des expressions analytiques de V, T et 4, sont calculées en supposant la cavité infinie suivant la direction longitudinale ce qui implique l'indépendance par rap-
Circulation de Hadley sous champ magnétique 1093 port à x des champs de vitesse et de potentiel électrique. L'écoulement est supposé parallèle: V = U(y, z) e, [l, 33. Enfin, comme le nombre de Prandtl est tel que Pr << 1, le transfert de chaleur se fait par conduction dans toute la cavité suivant le profil diffusif adimensionnel T = T, x auquel s'additionne une déviation de température 8 [l, 31: T(x: y, ï) = T, x + Pr 8(y, z). Suivant ces hypothèses, les équations s'écrivent: V*U, - ~ a ' (u, + (6,) - Gr T, - - O où (1) et (2) représentent respectivernent les projections "' = (2) suivant y èl z de 17équationdu V20- UTz = (3) tourbillon, (3) est l'équation v2rbe f = O (4) de la chaleur, (4).. reilrésente. la conservation du courant élec- v2uy + Ha2 J-*n 1:; dy dz = (5) trique. (5) celle de la masse, (6) les conditions limites aux U = 8 = 2 = O (6) parois. a4 dn Le champ magnétique structure les écoulements en individualisant un écoulement de coeur entouré par deux types de couches limites [2]: les couches de Hartmann, perpendiculaires à Bo, où les forces visqueuses équilibrent celles de Lorentz, et les couches parallèles (à Bo) assurant souvent la consemation du courant électrique. Afin de séparer les problèmes, deux cas sont étudiés: le "problème ID en z" où la cavité est aussi supposée infinie suivant la direction y, et le "problbme 2D en y, z" où la cavité est de dimension finie en y et z. Approximation monodimensionnelle L'hypothèse d'un écoulement strictement parallèle à x implique que le courant induit J est transverse. Pour une situation avec parois rigides, la conservation de la masse (5) est automatiquement vérifiée en appliquant une condition d'anti-symétrie en z sur U, ce qui assure aussi la conservation du courant électrique (4). L'absence de parois latérales entraine la nullité du potentiel électrique. La vitesse horizontale U(Z), solution d'une équation différentielle non homogène du troisième ordre à coefficients constants [4], est alors: Cette solution (7) prend en compte les couches de Hartmann de faible épaisseur (hha - Hu-l). À mesure que I'intensitédu champmagnétiqueaugmente,cescouche s'amincissent et l'écoulement de coeur se linéarise et diminue en intensité. La déviation de température 8, obtenue par (3), est aussi fortement diminuée. (cf. FIG. 2)
1094 T. Putelat el al. U(z) T(z) FIG. 2 - Effet du champ magnétique sur la vitesse horizontale et sur la température Approximation bidimensionnelle Les solutions du système (1)-(6) sont cherchéesdans le plan transverse (y, z) sous forme de séries de Fourier [SI en utilisant des idées similaires à celles de Bojarevics [3]. Le confinement latéral induit la création de différences de potentiel générant un courant électrique parallèle à Bo. La force de Lorentz est donc nulle dans une zone de proche paroi, ce qui permet la formation de jets pariétaux caractéristiques des couches parallèles (cf. FIG. 3). FIG. 3 - Vitesse horizontale et potentiel électrique Discussion Pour des cavités 3D de dimensions finies, des solutions ont été obtenues par simulation numérique pour le cas Pr=O [l]. Elles montrent que les hypothèses effectuées
Circulation de Hadley sous champ magnétique 1095 sur le champ de vitesse sont bien vérifiées loin des parois chaude et froide où la recirculation reste limitée, ces effets de bord étant d'autant plus limités que le nombre de Hartmann est élevé [l]. ANALYSE DE STABILITÉ LINÉAIRE Sans champ magnétique, les circulations de Hadley deviennent instables à partir d'une certaine valeur du nombre de Crashof [6], et à faible, Pr présentent deux types de modes instables [7]. Nous étudions ici la stabilité marginale des écoulements sous champ magnétique déterminés précédemment, ce qui permet le calcul du nombre de Grashof critique Gr, au seuil des instabilités. Pour les profils monodimensionnels, la résolution numérique du problème de stabilité vis-à-vis de perturbations de forme générale f (z) exp(i (h, x+h, y)+w t), met en évidence les mêmes types de modes 141: des modes 2D transverses (h,, = 0) stationnaires (w = O) correspondant à des rouleaux d'axe parallèle à y, et des modes 3D longitudinaux(h., = O) oscillatoires (w = i a) correspondant à des rouleaux d'axe parallèle à x (cf. FIG. 4). 11 existe un nombre de Prandtl de transition Prt en-dessous duquel les modes 2D sont les plus instables, et au-dessus duquel ce sont les modes 3D les plus instables. Le champ magnétique a deux effets: il stabilise I'écoulement en augmentant Gr,, et sélectionne le type de modes, Prt diminuant quand Ha augmente ce qui limite la zone d'apparition des modes 2D (cf. FIG. 4). La stabilisation de l'écoulement par le champ magnétique est interprétée comme une diminution du cisaillement dans l'écoulement de coeur liée à la linéarisation du profil de vitesse lorsque Ha augmente. Pic. 4 - Courbes de stabilité neutre FIG. 5 - /?volution de G'v, avec Ha Une méthode analytique approchée [8] permet d'estimer, pour les modes 3D, les tendances des variations de Gr, en fonction du nombre de Hartmann et du nombre de Prandtl en supposant f (z) = cos(.ir z) [4,5](cf. FIG 5): Gr, - Ha2/Pr. Leschamps
1096 T. Putelat et al. de base de température et de vitesse sont moyennes (t z, û z) avec un poids cos 2 (n z) ce qui permet de les rendre constants et de calculer analytiquement une expression de Gr c. En notant k 2 = h 2 + 7r 2, on obtient: Gri = - [k2 {2k 2 + ga 2 ) + ffav][(l + Pr)fc 2 + PrHa 2 ][k A {l + Pr) + PrHa 2 it 2 Pr 2 h 2 [t z(k 4 (l + Pr) + PrHaV) + k 2 û z] Cette méthode [8] est étendue au cas des profils bidimensionnels. En moyennant les profils de base avec un poids cos 2 (7r y/(2yo)) cos 2 (n z), où yo est la demilargeur de la cavité, en supposant une perturbation de nombre d'onde discrétisé, h y = nit y/(2yo), ne satisfaisant pas ainsi la condition limite de non-glissement, FlG. 6 - Effet de la largeur de la cavité CONCLUSION (8) et en négligeant la perturbation de potentiel électrique, le problème se ramène au cas précédent, l'effet du confinement latéral étant inclus dans les profils moyens des champs de base. Il est alors possible d'utiliser l'expression (8) et de tracer l'évolution de Gr c en fonction de y 0 (FlG 6) [5], Ce modèle approché montre ainsi que les modes 3D peuvent exister dans ces conditions et que le confinement sélectionne le nombre de rouleaux. Cette étude met en évidence les caractéristiques classiques des écoulements magnétohydrodynamiques. Le calcul analytique bidimensionnel des champs de base se révèle très satisfaisant, modélisant convenablement toutes les zones de l'écoulement. Cependant, elle montre les limites des différentes approches effectuées. Sur les champs de base, l'approximation monodimensionnelle ne permet pas de prendre en compte les couches parallèles. Sur l'analyse de stabilité, les moyennes effectuées ne permettent pas d'estimer le pouvoir a priori déstabilisant des forts cisaillements générés dans les couches parallèles, ce qui explique les différences avec les résultats numériques de Bojarevics [3] qui montrent des valeurs de Gr c d'un ordre de grandeur inférieur aux nôtres. Dans notre cas, seule la stabilité de l'écoulement de coeur est considérée dont l'analyse monodimensionnelle donne une bonne approximation. Le travail en cours a donc pour but de clarifier ces différents points de vue et d'appliquer nos raisonnements au cas d'une condition limite plus complexe de surface libre avec tension de surface thermodépendante. J. Chim. Phys.
Circulation de Hadley sous champ magnétique 1097 REMERCIEMENTS Nous tenons à remercier J. Scott, professeur à I'ECL, et R. Moreau, professeur à I'INPG, pour leur collaboration à ce travail et pour les discussions enrichissantes que nous avons eues ensemble. Nous remercions aussi P. Gillet, directeur du LST de 1'Ens-Lyon. RÉFÉRENCES [l] BenHadid H., Henry D., Kaddeche S. (1997) J. Fluid Mech. 333,23-83 [2] Moreau R. (1990) Magnetohydrodynamic, Kluwer [3] Bojarevics V. (1994) Energy transfert in MHD flow, Pamir, 37-47 [4] Kaddeche S. (1995) Thèse de doctorat. École Centrale de Lyon [5] Putelat T. (1997) Rapport de éco école Centrale de Lyon-LMFA [6] Hart J.E. (1972) J. Atm. Sc. 29,687-697 [7] Hart J.E. (1983) J. Fluid Mech.132,271-281 [8] Gill A.E. (1974) J. Fluid Mech.64,577-588