Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD 4 : accélération, mouvement parabolique, mouvement oscillant 1 Exercices d introduction 1. Evolution de la population mondiale Année (1er janvier) 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013 Population (10 9 ) 0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100 Dans la table 1 est indiquée l évolution de la population mondiale, en milliard(s) d habitants, de l an 1500 à nos jours. 1. Vitesse (a) Sans chercher à être rigoureux, définir, puis calculer la vitesse moyenne d accroissement de la population mondiale en fonction du temps, jusqu à l an 2013 inclus, en précisant les unités choisies. (b) Cette vitesse est-elle constante? (c) Définir, puis calculer la vitesse moyenne d accroissement de cette vitesse, en fonction du temps, en conservant le même choix d unités. (d) Au premier janvier 2014, quelle sera selon vous la population mondiale? 2. Représentation graphique (a) Représenter graphiquement l évolution de la population en fonction du temps. (b) Même question pour la vitesse. 3. Accélération (a) Rappeler la définition mathématique de la dérivée première d un fonction f(x). (b) Quelle est la définition mathématique d une vitesse? (c) En déduire la définition mathématique d une accélération. (d) Calculer l accélération de la population mondiale. 2. Mouvement rectiligne (a) Rappeler les relations mathématiques (dérivées et intégrales) entre la position, la vitesse et l accélération. (b) Représenter graphiquement le mouvement (position, vitesse et accélération) en fonction du temps, d un corps se déplaçant à vitesse constante le long d une droite.
(c) Même question pour un corps se déplaçant à accélération constante. 3. train Un train de banlieue circule sur une voie rectiligne reliant deux gares. Sa vitesse en fonction du temps est représentée sur la figure 1. 1. Décrire qualitativement chaque phase du mouvement 2. Calculer algébriquement l accélération pour chaque phase en fonction des paramètres : v 1, v 2, t 1, t 2, t 3, t 4, t 5. Faire ensuite l application numérique. On donne : v 1 = 108km/h, v 2 = 36km/h, t 1 = 50s, t 2 = 300s, t 3 = 310s, t 4 = 500s, t 5 = 520s. 3. Calculer algébriquement puis numériquement la distance parcourue pendant chaque phase. Représenter la distance parcourue x(t) en fonction du temps. Quelle est la distance entre les deux gares? Quelle est la vitesse moyenne du train pendant le trajet? 4. Freinage d un véhicule. 1. Une automobile roule à la vitesse de 50 km/h. Lorsqu elle se trouve à 50 m d un feu de circulation, celui-ci passe au rouge. Le conducteur ne commence à freiner qu après un temps de réaction t 0 = 0.5s, la décélération vaut 5m.s 2. Est ce que le véhicule s arrêtera avant le feu? Même question si la vitesse initiale est de 80 km/h. 5. Mouvement oscillant sinusoidal On considère la membrane d un haut-parleur qui émet un son à la fréquence f. Pour cela, la membrane oscille de façon sinusoïdale à la fréquence f et cette vibration est transmise à l air environnant. 1. Le mouvement d un point M de la membrane s écrit x(t) = x 0 sin(ωt). Quelle est la relation entre ω et f? 2. Calculer la vitesse v(t) du point M et son accélération a(t). Représenter x(t),v(t) et a(t) sur un même graphe. Commenter. Comment varient v(t) et a(t) en fonction de la fréquence f? 3. Citer d autres exemples de mouvements oscillatoires sinusoïdaux. 6. Voyageur en retard Un voyageur en retard court le long du quai à vitesse constante V = 6m/s. Quand il est à 20 m du dernier wagon, le train démarre avec une accélération constante a = 1m.s 2 (le train et le voyageur ont des trajectoires rectilignes parallèles.) Page 2
1. Écrire les équations horaires du voyageur et du dernier wagon considérés comme des points matériels. Représenter graphiquement leurs positions en fonction du temps. 2. Montrer que le voyager ne peut pas rattraper le train. Quelle sera la distance minimale entre le voyageur et le dernier wagon? 7. part Particule chargée soumise à une accélération constante... (?) 8. Mouvement plan La figure 1 représente une trajectoire suivie par un objet dans un plan. A l instant t 0 l objet se trouve au joint M 0, à l instant t 1 = t 0 + t, il se trouve au point M 1 ; plus généralement, à l instant t i = t 0 + i t ( t = 1s), il se trouve au point M i. Figure 1: Trajectoire suivie par un objet, dans un plan. Les points M 1 (... M 10 ) sont atteints 1 (... 10) seconde(s) après le passage par le point M 0. L origine des coordonnées est initialement située en O (voir texte). (a) Donnez l expression de la vitesse moyenne entre M1 et M2, puis entre M8 et M9. Représentez qualitativement la vitesse instantanée v en chacun de ces points. (b) En utilisant un raisonnement analogue, représentez qualitativement le vecteur accélération a aux points M1 et M8. Page 3
9. 2D (c) Comment les résultats précédents sont-ils modifiés si on prend comme origine des coordonnées le point O? Un objet A a une trajectoire dans le plan, repérée, dans un repère cartésien (Oxy), par ses coordonnées en fonction du temps t : x(t) = αt y(t) = γt 2 + δt (a) Déterminer les dimensions des paramètres α, γ et δ. (b) En éliminant la variable de temps t, déterminer l équation y(x) de la trajectoire. (c) Tracer la trajectoire en prenant les valeurs α = 2, γ = 1/2 et δ = 1 dans le système international d unités (on pourra se limiter à l intervalle de temps [ 3 s, 4 s]. (d) Déterminer les coordonnées (v x, v y ) du vecteur vitesse instantanée v(t). (e) Quelle est la vitesse de l objet aux temps t = 1 s, t = 0 s, et t = 1 s. Tracer les vecteurs vitesse correspondants. (f) Quelle est l accélération moyenne entre l intervalle de temps [ 1 s, 0 s]? Et dans l intervalle [ 1 s, 1 s]? (g) Déterminer le vecteur accélération instantanée a(t) et comparer avec la question précédente. (h) Dans le cas où les coordonnées de l objet sont de la forme x(t) = αt + β y(t) = γt 2 + δt + ɛ montrer que l on peut se ramener au cas précédent en prenant l origine du système de coordonnées en un point O dont on donnera les coordonnées dans le repère (Oxy). 2 Mise en application 10. fusée Une fusée miniature est placée sur sa rampe de lancement au niveau du sol (z=0) et mise à feu à l instant t = 0. Sa trajectoire est verticale et son accélération s écrit a(t) = A + Bt, avec A = 5m.s 2, B = 0.5m.s 3. A l instant t 1 = 30s, le moteur de la fusée s arrête faute de carburant. 1. Calculer sa vitesse v(t) et son altitude z(t) en fonction du temps, entre t = 0 et t = t 1. Représenter a(t), v(t) et z(t) sur un graphe. Calculer la vitesse v 1 et l altitude z 1 atteinte à t = t 1 Page 4
2. Que se passe-t-il pour t > t 1? Est ce que la fusée va retomber immédiatement? 3. Au delà de t 1, la fusée n est plus soumise qu à l accélération de la pesanteur dont le module vaut g = 10m.s 2. Quelle est l altitude maximale z 2 atteinte par la fusée? Au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol? Note : pour toutes les questions, on donnera l expression littérale de la réponse avant de faire l application numérique 11. Saut à l élastique... 12. Fête foraine Dans une fête foraine, une cage est attachée à un grand élastique tendu verticalement. A l instant t 0 = 0 la cage est lâchée à vitesse nulle depuis le sol. Elle prend alors un mouvement vertical ascendant. A l instant t 1 = 2 s, alors qu elle a atteint une vitesse v 1 = 15 m s 1, l élastique est détaché de la cage. (a) Calculer l accélération moyenne de la cage entre t 0 et t 1. (b) En supposant que la cage est soumise à une accélération constante entre t 0 et t 1, calculer la hauteur à laquelle elle se trouve à l instant t 1. (c) La cage continue ensuite à monter sur sa lancée, alors qu elle est maintenant soumise à la seule force de la pesanteur. Jusqu à quelle hauteur monte-t-elle? On note t 2 l instant où elle atteint cette hauteur maximale. (d) Après t 2, la cage retombe. Quelle est sa vitesse à l instant t 3 = t 2 + 1 s? (e) A partir de l instant t 3, la cage est freinée par un dispositif adéquat de sorte qu elle arrive à vitesse nulle au niveau du sol. A quelle accélération, supposée constante, la cage doit-elle être soumise pendant le freinage? 13. Lancer de ballon Depuis un point O situé sur sa tête, un joueur lance un ballon. Ce dernier a une vitesse initiale v 0 faisant un angle θ avec l axe horizontal, noté Ox, orienté dans le sens du mouvement du ballon. On note Oz l axe vertical, orienté dans le sens ascendant. (a) En négligeant les frottements du ballon avec l air, écrire l équation qui permet de déterminer sa trajectoire. (b) Calculer la portée du lancer du ballon. (c) Pour quelle valeur de θ cette portée est-elle maximale, v 0 étant fixée? (d) Quelle est la vitesse minimale v 0 que doit avoir le ballon pour qu il parvienne sur la tête d un autre joueur de même taille, placé à une distance D du premier. (e) Pour une vitesse initiale plus grande que cette vitesse minimale, déterminer en fonction de v 0 et de D les deux valeurs possibles de θ (tir "tendu" ou en "cloche"). Page 5
14. Voilier Un voilier baisse les voiles à l instant t = 0, alors que sa vitesse vaut v 0. Freiné par les frottements dans l eau, le voilier ralenti. Plus précisement, l accélération du voilier est proportionnelle au carré de sa vitesse. (a) Représenter graphiquement les vecteurs vitesse et accélération mis en jeu. (b) Déterminer la distance parcourue en fonction du temps. (c) Calculer sa vitesse en fonction de la distance parcourue. (d) Après quelle distance parcourue le voilier s arrête-t-il? (e) Proposer une résolution physique de ce paradoxe. 15. part Mouvement d une particule chargée (+) se dirigeant vers une autre particule chargée de même signe (exp de Rutherford linéaire)... 3 Approfondissement 16. manège Un manège est constitué d une nacelle fixée à l extrémité d un bras qui tourne autour de l autre extrémité fixée au sommet d un pylône. O y L x θ N On cherche à déterminer les caractéristiques du mouvement de la nacelle, que l on repère par le point N, et qui tourne donc autour du point O choisi comme origine du repère cartésien Oxy décrit sur la figure ci-dessus. On repère la position du bras, de longueur L = 10 m, par l angle θ(t) que fait le bras avec l axe Ox à l instant t. (a) Quelle est la trajectoire de la nacelle? (b) Déterminer les coordonnées (x(t), y(t)) de la nacelle au temps t en fonction de L et de θ(t). Page 6
(c) En déduire les coordonnées du vecteur vitesse instantané v(t) et sa norme en fonction de L, θ et θ, la dérivée par rapport au temps de θ. (d) En déduire les coordonnées du vecteur accélération instantanée a(t) et sa norme en fonction de L, θ, θ et θ. (e) À quelle condition le mouvement est-t-il uniforme? Dans ce cas, déterminer le produit scalaire ON a et en déduire la direction de l accélération. À l instant initial, la nacelle est au plus bas avec une vitesse nulle. Le moteur du manège est alors mis en marche et impose une rotation telle que θ = 4π/100 rad.s 2. 17. Tir (f) Que vaut la norme de l accélération de la nacelle? (g) Déterminer θ(t) puis θ(t). (h) Au bout de combien de temps la nacelle a-t-elle fait un tour complet? Quelle est alors sa vitesse? (i) À ce moment là, le moteur maintient sa vitesse de rotation θ constante. Déterminer la période de rotation de la nacelle dans cette phase. Dans l expérience illustrée ci-dessous, un projectile est tiré en même temps que la cible est lâchée sans vitesse initiale. Montrer que si le canon vise la position initiale de la cible, celle-ci est atteinte comme le montre la photo. 18. Bip-Bip Le coyote est plus que jamais déterminé à capturer l insaisissable grand géocoucou (alias Bip-Bip le roadrunner). Le coyote s est acheté une paire de patins à roulettes à réaction (de la marque Acme), qui lui fournissent une accélération horizontale constante de 15 m/s 2. Le coyote est à l arrêt à 70 m du bord d une falaise quand le roadrunner file devant lui dans la direction de la falaise. Page 7
(a) Si le roadrunner se déplace à vitesse constante, déterminer la vitesse minimum qu il doit avoir pour parvenir à la falaise avant le coyote. Au bord de la falaise, le roadrunner s écarte brusquement tandis que le coyote continue tout droit. (b) La falaise surplombe un canyon dont le fond est situé 100 m plus bas. Déterminer où atterrit le coyote dans le canyon (en supposant que ses patins restent à l horizontale et continuent à fonctionner quand il est en "vol"). (c) Déterminer les composantes de la vitesse d impact du coyote. Page 8