LES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS I. Les situations multiplicatives II. Les propriétés des opérations IV. Enseignement des problèmes multiplicatifs 1. Propriétés de la multiplication A. Commutativité On ne change pas la valeur d un produit en changeant l ordre des facteurs. a x b = b x a Des explications pas toujours évidentes... a x n = a+ a+...+ a et n x a = ntermes n+n+...+n atermes Pourquoi 5kg d oranges à 2 /kg coûtent le même prix que 2kg d oranges à 5 /kg? Les arbres de dénombrement et les réseaux de points 3 4 4 3 3 + 3 + 3 + 3 4 + 4 + 4 1. Propriétés de la multiplication B. Associativité On ne change pas la valeur d un produit en changeant le groupement des facteurs. (a x b) x c = a x (b x c) C. Distributivité par rapport à l addition (5 4) + (5 2) (3 5) + (3 2) 3 4 + 3 2 + 2 4 + 2 2 1. Propriétés de la multiplication D. Multiplication par 1 et par 0 Ces multiplications sont difficiles à expliquer par addition réitérée, par les autres situations aussi E. Passage à la multiplication des décimaux On utilise les situations où les nombres mesurent des grandeurs continues (agrandissement ou calcul d aire par exemple). F. Effet de la multiplication sur l ordre Si a > b et si n > 0 alors n x a > n x b 5 (4 + 2) (3 + 2) 6 (3+2) (4+2) Conséquence : Effet de la multiplication sur le multiplicande Soit n > 0 si a > 1 alors n x a > n si a < 1 alors n x a < n
TP. Calculer mentalement 18 x 5 et expliquer (CM1) Quelles sont les propriétés utilisées? Préciser à quels moments. Repérer les erreurs, les interpréter, les corriger. Albert (90) 18 c'est presque 20, je calcule 20 fois 5, ça fait 100. Il faut enlever 5 et encore 5. Bérénice (90) 18 plus 18 ça fait 36 et encore 36, 72, et encore 18, 90. Cindy (45) je compte 5 fois 8 quarante et 5 fois 1 cinq. Ça fait 45. Djamel (90) 5 c'est la moitié de 10, je fais 18 fois 10 ça fait 180 puis je prends la moitié 50 et 40. Elvis (94) je pose dans ma tête: 5 fois 8, 40. 0 je retiens 4. 5 fois 1, 5. Et 4, 9. Fatoumata (90) j'ai fait 20 moins 2 égal 18. 20 fois 5,100. 2 fois 5, 10. Et 100 moins 10 ça fait 90. Gaëlle (90) 18 fois 5 c'est comme 9 fois 2 fois 5. Hugo (540) [pas d'explications ] Iris (72) 18 plus 18, 36 plus 18 c'est comme 20 moins 2 ça fait 54, plus 18, 72 plus 18; 90. J'avais faux. Jules (90) 10 fois 5, 50. 8 fois 5, 40. 40 plus 50, 90. A. Définition de la division euclidienne (entière) Si a et b sont deux nombres entiers (b non nul) alors il existe un unique nombre entier q tel que : b x q a < b x (q + 1) En «français» : étant donnés deux nombres, on peut toujours encadrer l un par deux multiples consécutifs de l autre (à condition que ce dernier ne soit pas nul). Exemple 1 : 38 et 7 Exemple 2 : 63 et 7 7 x 5 < 38 < 7 x 6 et 38 x 0 < 7 < 38 x 1 7 x 9 = 63 < 7 x 10 on écrit alors : 63/7 = 9 Généralement : si a = b x q alors a / b = q A. Définition de la division euclidienne (entière) Si a et b sont deux nombres entiers (b non nul) alors il existe un unique nombre entier q tel que : b x q a < b x (q + 1) on pose alors r = a - b x q et on obtient : a = b x q + r q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne de a par b. Remarque : b x q a < b x (q + 1) entraîne 0 r < b Exemple : 38 divisé par 7 38 = 7 x 5 + 3 5 est le quotient, le reste est 3 B. La division décimale Si le quotient possède n décimales, l encadrement s écrit b x q a < b x (q + 10 -n ) en considérant le reste on obtient toujours : a = b x q + r mais cette fois avec 0 r < b x 10 -n Exemple : division de 38 par 7 avec quotient approché au 100e 38 = 7 x 5,42 + 0,06 le quotient est 5,42 le reste est 0,06
C. Division par 1 et par 0, division de 0 Il découle de a = a x 1 que : a / 1 = a et que : a / a = 1 L égalité a = 0 x q est fausse dès que a n est pas nul, et si a est nul elle est vraie quel que soit q. L écriture a / 0 n a donc pas de sens. Si b n est pas nul, l égalité 0 = b x q est vraie pour q = 0 donc 0 / b = 0 quel que soit b non nul. D. Propriétés algébriques Comme la soustraction, la division n est ni commutative, ni associative. TP. Apprentissage de la technique de la multiplication Analysez les résultats aux questions suivantes (entrée en 6e) 231 305 Réussite (78 %) ; décalage correct avec erreurs de calcul (9 %) pas de décalage avec ou sans erreur de calcul (5 %) 452 107 Réussite (68 %) ; décalage correct avec erreurs de calcul (16 %) pas de décalage avec ou sans erreur de calcul (3 %) 759 109 Réussite (51 %) ; décalage correct avec erreurs de calcul (29 %) pas de décalage avec ou sans erreur de calcul : (3 %) A. Technique usuelle B. Technique «des baguettes» 5 0 3 4 8 4 0 2 4 4 0 2 4 = 5 0 3 8 2 0 1 2 2 0 1 2 0 = 5 0 3 4 0 2 4 1 4 4 2 4 1 4 4 = 4 0 2 4 + 2 0 1 2 0 5 3 20 12 40 24 4 8 2 4 1 2 4 0 + 2 0 -------------- 2 4 1 4 4
C. Technique «per gelosia» D. Technique «russe» 2 4 5 0 3 2 0 1 4 0 0 2 4 0 2 8 0 0 4 1 4 4 503 1006 2012 4024 8048 16096 24144 48 24 12 6 3 1 TP. Enseignement de la technique de la multiplication Analysez la page de manuel (CE2) : objectif, connaissance préalable, démarche, propriété sous-jacente, intérêt et inconvénient. TP. La technique opératoire de la division Questions posées à l entrée en 6e 72 3 RE (24) 75,8% ; AR 18,6% ; NR 5,6% 3968 8 RE (496) 44,3% ; chiffre des centaines exact 20,5% Autres Réponses 9,2% ; Non Réponse 25,9% Questions posées en fin de 6e 7956 48 Quotient (165) 36% ; Reste (36) 33% ; NR 7% Remplace les points par les chiffres qui conviennent.... 7 3... 2 3 2 Dividende 39% ; premier reste 33% ; NR 7%
TP. La technique opératoire de la division Analysez les réponses d un même élève de CM2 quant aux procédures mises en œuvre pour les opérations en ligne ou posées. 2. Techniques de la division A. Technique usuelle 8 2 4 4 2 8 2 4 4 2 4 2 0 = 1 0 4 2 4 0 4 1 9 4 2 1 9 8 2 4 = 1 0 4 2 + 4 0 4 2 6 4 0 4 3 7 8 = 9 4 2 3 7 8 4 0 4 = 9 4 2 + 2 6 0 2 6 8 2 4 = 1 9 4 2 + 2 6 Quotient Reste Dividende Diviseur 2. Techniques de la division B. Technique «égyptienne» (1 850 av. J.- C.) TP. La technique opératoire de la division Étape 1 : Quels sont les objectifs de cette étape? 42 1 824 84 2 672 16 168 4 152 336 8 84 2 672 16 68 42 1 26 19 Reste Quotient
Étape 2 : Quels sont les objectifs de cette nouvelle étape? Étape 3 : Quels sont les objectifs de cette nouvelle étape? Étape 4 : Quels sont les objectifs de cette dernière étape?