NOM et prénom : COMPOSITION MATHÉMATIQUES SECONDES - SUJET A Lundi 06 juin 2011 14h18 à 17h07 Durée : 2h45 Consignes : Le sujet est à rendre avec votre copie. L usage de la calculatrice est autorisé. L utilisation de tout autre document (cours, formulaire, ) est interdit. Les exercices peuvent être traités dans n importe quel ordre, à condition de bien spécifier la numérotation. La rédaction, la précision et la clarté des raisonnements entreront en compte dans la notation de la copie. QCM sans justification Exercice 1 (13,5 points) Entourer sur cette feuille la ou les bonne(s) réponse(s). Une mauvaise réponse enlèvera 0,25 point et si total est négatif il sera ramené à zéro. A B C D H G Pour les questions 1 à 5, utiliser le cube ABCDEFGH ci-contre E D O F C 1. Les droites (AB) et (DG) sont sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 2. Les droites (AG) et (HB) sont sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 3. Les droites (FH) et (DB) sont sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 4. Les plans (ABE) et (AEF) sont sécants confondus parallèles sans point commun 5. La droite (CG) est contenue dans le plan (ABF) (BCG) (DCH) (ADH) 6. Un QCM est composé de 5 questions. Pour chacune d entre elles, trois réponses sont proposées, une seule est vraie. Quelle est la probabilité, si l on répond au hasard, de l événement : «Au moins une réponse est exacte»? 7. Hélène a obtenu les résultats suivants lors de son troisième trimestre en mathématiques (le coefficient du devoir est noté entre parenthèses) : 8/20 (1), 14/20 (0,5), 7/20 (2), 18 (0,5), 11 (3). Quelle est sa moyenne de maths? 8. Dans une équipe de football, on a étudié l âge des 11 joueurs et de l entraîneur. Les résultats sont les suivants : 19 54 33 24 31 37 22 34 20 26 30 26. L âge médian est égal à : 9. La courbe représentative de la fonction définie sur par est une : 10. Dans une classe de 30 élèves, 10 écoutent uniquement du Rap, 12 écoutent uniquement du Rock, et 3 écoutent du Rap et du Rock. On rencontre au hasard un élève de cette classe. Quelle est la probabilité qu il n écoute ni Rap ni Rock? 11. Dans un repère du plan, on considère les points et. Alors la droite (AB) a pour équation : 242 243 102 125 124 125 211 243 10,14 / 20 11,6 / 20 8,29 / 20 14,2 / 20 26 29,7 28 30 Parabole Inverse Hyperbole Droite 5 6 A 1 5 1 6 3 y = x + 5 y = 6x 4 y = x + 1 2 B 9 10 2 5 y = x + 3 3
Partie analyse Exercice 2 (3,5 points) VARIABLES x ; y : nombres réels ENTRÉES Saisir x TRAITEMENT Tant que x > 2 Afficher «ce nombre n a pas d image» Demander x Fin du tant que y prend la valeur SORTIE 4 2x 1) On fait tourner l algorithme ci-contre avec un logiciel capable de simplifier les racines carrées. Compléter ci-dessous : Il s affiche «x=?» On saisit 5 Il s affiche : Il s affiche «x=?» On saisit 2 Il s affiche : Il s affiche «x=?» On saisit -4 Il s affiche : 2) a) Déterminer le domaine de définition de la fonction x 4 2x b) Expliquer ce qui est affiché lorsqu on saisit 5. c) Justifier la condition de la boucle «tant que». Exercice 3 (14,5 points) On considère la fonction définie par f(x) = 0,5 (x 4 )² 2. A Utilisation de l expression algébrique de f 1) Quand on saisit un réel x, déterminer, sans justifier, lequel des trois algorithmes ci-dessous affiche f(x)? ALGORITHME 1 y prend la valeur 0,5x y prend la valeur y 4 ALGORITHME 2 y prend la valeur x 4 y prend la valeur 0,5y ALGORITHME 3 y prend la valeur x 4 y prend la valeur 0,5y 2) Étudier les variations de f sur l intervalle ]- ; 4]. 3) Démontrer que f admet un minimum de 2 atteint en x = 4. 4) Déterminer les antécédents de 0 par f. 5) Montrer que pour tout x réel f(x)=0,5(x 2)(x 6) 6) Résoudre par le calcul f(x) < 0.
B Résolutions graphiques On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. 1) Tracer sur ce graphique la droite (d) d équation y = x 2. 2) Résoudre graphiquement f(x) = 6. 3) Résoudre graphiquement f(x) x 2. C Application Une nageuse doit plonger, récupérer un objet dans la piscine et ressortir à la surface en exhibant son trophée. La position de la nageuse est repérée par ses coordonnées dans un repère orthonormé, d unité le mètre, dont l axe des abscisses est le niveau de l eau (passant par R) et l axe des ordonnées, la verticale du plongeoir (passant par D). La trajectoire décrite par la plongeuse jusqu à ce qu elle ressorte de l eau est, dans ce repère, la représentation graphique de la fonction f des parties A et B. 1) Déterminer l intervalle sur lequel la plongeuse se trouve sous l eau. 2) Déterminer la position du trophée si on admet que la plongeuse l attrape lorsqu elle est à son point le plus bas.
Partie géométrie Exercice 4 (13,5 points) Cet exercice comporte deux parties indépendantes Partie A : Dans un repère orthonormal ( O; I; J ) on considère les points : A(-1 ; -3) ; B(5 ; 1) ; C(3, 4) et D (0, 2) 1 ) Faire une figure dans le repère ci-joint. Cette figure devra être complétée tout au long de l exercice. 2 ) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD. 3 ) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze. 4 ) Calculer les coordonnées de M milieu du segment [AB]. 5 ) Calculer les coordonnées du vecteur BM. 6 ) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère MBCD? 7 ) Calculer les longueurs CB et CD. Que peut-on dire de plus sur le quadrilatère MBCD? 8 ) Calculer BD. Que peut-on dire de plus sur le quadrilatère MBCD? Partie B : Soit ABC un triangle. On définit les points I, J et K par : 1 ) Placer les points I, J et K sur la figure ci-dessous : AI = 3 AB 8 ; 1 AJ = 4 CA 1 et BK = BC 4 3 1 2 ) On donne IK = AB + AC. 8 4 a) Exprimer de même le vecteur IJ en fonction des vecteurs AB et AC. b) En déduire que les points I, J et K sont alignés.
NOM et prénom : COMPOSITION MATHÉMATIQUES SECONDES - SUJET B Lundi 06 juin 2011 14h18 à 17h07 Durée : 2h45 Consignes : Le sujet est à rendre avec votre copie. L usage de la calculatrice est autorisé. L utilisation de tout autre document (cours, formulaire, ) est interdit. Les exercices peuvent être traités dans n importe quel ordre, à condition de bien spécifier la numérotation. La rédaction, la précision et la clarté des raisonnements entreront en compte dans la notation de la copie. QCM sans justification Exercice 1 (13,5 points) Entourer sur cette feuille la ou les bonne(s) réponse(s). Une mauvaise réponse enlèvera 0,25 point et si total est négatif il sera ramené à zéro. A B C D H G Pour les questions 1 à 5, utiliser le cube ABCDEFGH ci-contre E D O F C 1. Les droites (AG) et (HB) sont sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 2. Les droites (FH) et (DB) sont sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 3. Les droites (AB) et (DG) sont sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 4. Les plans (ABE) et (AEF) sont parallèles sans point sécants confondus commun 5. La droite (CG) est contenue dans le plan (DCH) (ADH) (BCG) (ABF) 6. Un QCM est composé de 6 questions. Pour chacune d entre elles, trois réponses sont proposées, une seule est vraie. Quelle est la probabilité, si l on répond au hasard, de l événement : «Au moins une réponse est exacte»? 7. Hélène a obtenu les résultats suivants lors de son troisième trimestre en mathématiques (le coefficient du devoir est noté entre parenthèses) : 7/20 (2), 14/20 (0,5), 8/20 (2), 18 (1), 11 (3). Quelle est sa moyenne de maths? 8. Dans une équipe de football, on a étudié l âge des 11 joueurs et de l entraîneur. Les résultats sont les suivants : 18 65 33 22 31 36 22 32 22 19 20 26. L âge médian est égal à : 9. La courbe représentative de la fonction définie sur par est une : 10. Dans une classe de 35 élèves, 10 écoutent uniquement du Rap, 12 écoutent uniquement du Rock, et 3 écoutent du Rap et du Rock. On rencontre au hasard un élève de cette classe. Quelle est la probabilité qu il n écoute ni Rap ni Rock? 11. Dans un repère du plan, on considère les points A( 3; 2) et B ( 1; 4) (AB) a pour équation :. Alors la droite 242 243 11,6 / 20 17,6 / 20 10,35 / 20 6,82 / 20 22 24 28.8 26 Droite Hyperbole Parabole Inverse 5 7 A 1 5 2 10 y = x + 3 5 3 3 y = x + y = 4x + 6 y = x + 1 2 2 B 1 6 2 7
Partie analyse Exercice 2 (3,5 points) VARIABLES x ; y : nombres réels ENTRÉES Saisir x TRAITEMENT Tant que x > 3 Afficher «ce nombre n a pas d image» Demander x Fin du tant que y prend la valeur SORTIE 6 2x 1) On fait tourner l algorithme ci-contre avec un logiciel capable de simplifier les racines carrées. Compléter ci-dessous : Il s affiche «x=?» On saisit 5 Il s affiche : Il s affiche «x=?» On saisit 3 Il s affiche : Il s affiche «x=?» On saisit -3 Il s affiche : 2) a) Déterminer le domaine de définition de la fonction x 6 2x b) Expliquer ce qui est affiché lorsqu on saisit 5. c) Justifier la condition de la boucle «tant que». Exercice 3 (14,5 points) On considère la fonction définie par f(x) = 0,5 (x 4 )² 2. A Utilisation de l expression algébrique de f 1) Quand on saisit un réel x, déterminer, sans justifier, lequel des trois algorithmes ci-dessous affiche f(x)? ALGORITHME 1 y prend la valeur 0,5x y prend la valeur y 4 ALGORITHME 2 y prend la valeur x 4 y prend la valeur 0,5y ALGORITHME 3 y prend la valeur x 4 y prend la valeur 0,5y 2) Étudier les variations de f sur l intervalle ]- ; 4]. 3) Démontrer que f admet un minimum de 2 atteint en x = 4. 4) Déterminer les antécédents de 0 par f. 5) Montrer que pour tout x réel f(x)=0,5(x 2)(x 6) 6) Résoudre par le calcul f(x) < 0.
B Résolutions graphiques On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. 1) Tracer sur ce graphique la droite (d) d équation y = x 2. 2) Résoudre graphiquement f(x) = 6. 3) Résoudre graphiquement f(x) x 2. C Application Une nageuse doit plonger, récupérer un objet dans la piscine et ressortir à la surface en exhibant son trophée. La position de la nageuse est repérée par ses coordonnées dans un repère orthonormé, d unité le mètre, dont l axe des abscisses est le niveau de l eau (passant par R) et l axe des ordonnées, la verticale du plongeoir (passant par D). La trajectoire décrite par la plongeuse jusqu à ce qu elle ressorte de l eau est, dans ce repère, la représentation graphique de la fonction f des parties A et B. 1) Déterminer l intervalle sur lequel la plongeuse se trouve sous l eau. 2) Déterminer la position du trophée si on admet que la plongeuse l attrape lorsqu elle est à son point le plus bas.
Partie géométrie Exercice 4 (13,5 points) Cet exercice comporte deux parties indépendantes Partie A : Dans un repère orthonormal ( O; I; J ) on considère les points : A(-1 ; -3) ; B(5 ; 1) ; C(3, 4) et D (0, 2) 1 ) Faire une figure dans le repère ci-joint. Cette figure devra être complétée tout au long de l exercice. 2 ) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD. 3 ) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze. 4 ) Calculer les coordonnées de M milieu du segment [AB]. 5 ) Calculer les coordonnées du vecteur BM. 6 ) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère MBCD? 7 ) Calculer les longueurs CB et CD. Que peut-on dire de plus sur le quadrilatère MBCD? 8 ) Calculer BD. Que peut-on dire de plus sur le quadrilatère MBCD? Partie B : Soit ABC un triangle. On définit les points I, J et K par : 1 ) Placer les points I, J et K sur la figure ci-dessous : AI = 3 AB 8 ; 1 AJ = 4 CA 1 et BK = BC 4 3 1 2 ) On donne IK = AB + AC. 8 4 a) Exprimer de même le vecteur IJ en fonction des vecteurs AB et AC. b) En déduire que les points I, J et K sont alignés.